哈尔滨工业大学 04 结构力学——平面有限元1ppt课件

1、HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY 浅梁浅梁深梁深梁平截面假设成立平截面假设成立杆类问题分析杆类问题分析平面问题分析平面问题分析平截面假设未必成立平截面假设未必成立构造力学与弹性力学的区别构造力学与弹性力学的区别q4lh l4lh xyyzlq一、平面应力问题一、平面应力问题xyztabzybtba ,外表力作用在薄片边缘上且平行薄片，不沿厚外表力作用在薄片边缘上且平行薄片，不沿厚度变化，体积力亦如此。度变化，体积力亦如此。0 z 0 zx 0 zy 三个应力分三个应力分量只发生在量只发生在xy面上，故面上，故称平面应力称平面应力问题。问题。弹性力学平面问题的两种类型

2、弹性力学平面问题的两种类型PFPF二、平面应变问题二、平面应变问题xyablba ,0 z 0 zx 0 zy 无限长柱体，荷载作用在柱体侧面上且垂直柱轴无限长柱体，荷载作用在柱体侧面上且垂直柱轴线。沿垂直纵线方向切出一薄片线。沿垂直纵线方向切出一薄片由于对称由于对称三个应变分三个应变分量只发生在量只发生在xy面上，故面上，故称平面应变称平面应变问题。问题。l 一个复杂的弹性物体可以看成是由无限个质点组一个复杂的弹性物体可以看成是由无限个质点组成的延续体，它具有无限多自在度。为了进展解算，成的延续体，它具有无限多自在度。为了进展解算，可以将它简化为有限个单元组成的集合体，这些单元可以将它简化为

3、有限个单元组成的集合体，这些单元只在有限个结点处铰接，这个集合体就只具有有限个只在有限个结点处铰接，这个集合体就只具有有限个自在度。由无限个质点的延续体转化为有限个单元的自在度。由无限个质点的延续体转化为有限个单元的集合体，就称为离散化。在数学意义上说，就是把微集合体，就称为离散化。在数学意义上说，就是把微分方程的延续方式转化为代数方程组。分方程的延续方式转化为代数方程组。规定规定 单元之间仅在结点处铰接；单元之间仅在结点处铰接； 单元之间的力只经过结点传送；单元之间的力只经过结点传送； 外荷载只加在结点上外荷载只加在结点上三角形三结点单元三角形三结点单元矩形四结点单元矩形四结点单元四边形单元

4、四边形单元三角形六结点单元三角形六结点单元曲边四边形八结点单元曲边四边形八结点单元 单元划分越细，结点布置越多，计算结果越准确，但计算量添加。所以在划分单元时应兼顾这两个方面。调查一受弯板梁调查一受弯板梁结点数结点数准确解准确解223446 在边境比较曲折，应力比较集中，应力变化较大区域，单元应划分的细一些，而在应力变化平缓区单元可划分的大一些。调查单元分布密度调查单元分布密度细长比细长比 = 最大尺寸最大尺寸/ 最小尺寸最小尺寸 三角元三条边长应尽量接近，不应出现钝角；矩形单元的长宽比不宜过大，长宽比越接近，精度越高。准确解准确解调查单元边长比的影响调查单元边长比的影响 恣意一个三角形单元的

5、角点必需同时也是相邻单元的角点，而不能是相邻单元的边上内点。其它单元划分亦循此原那么。 如计算对象具有不同的厚度或不同的弹性系数，那么厚度或弹性突变处应是单元的边线。 应在分布荷载有突变处或是受有集中荷载处布置结点，其附近单元也应划分的小一些 问题问题 由于在外形复杂的弹性体内，各点位移变化情况也非常由于在外形复杂的弹性体内，各点位移变化情况也非常复杂，很难选择一个恰当的函数来表示整个弹性体内复杂，很难选择一个恰当的函数来表示整个弹性体内位移的变化。位移的变化。 提示提示 假设弹性体比较规整规模也比较小，那么可以采用比较假设弹性体比较规整规模也比较小，那么可以采用比较简单的函数近似地表示区域真

6、实位移简单的函数近似地表示区域真实位移 思绪思绪 将弹性体整个区域分割成许多小区域，以满足规整和小将弹性体整个区域分割成许多小区域，以满足规整和小规模的要求，那么在每个小区域部分范围内就可以采规模的要求，那么在每个小区域部分范围内就可以采用比较简单的函数近似地表示区域真实位移。用比较简单的函数近似地表示区域真实位移。 再将各区域的位移衔接起来，便可近似地表示整个区域再将各区域的位移衔接起来，便可近似地表示整个区域的真实位移。的真实位移。定义定义 这个划分的小区域称单元。在小单元范这个划分的小区域称单元。在小单元范围内把某一点的位移近似地表达为结点坐围内把某一点的位移近似地表达为结点坐标的函数，

7、这表达式称为位移方式。标的函数，这表达式称为位移方式。这种化繁为简，结合部分逼近整体的思想，正是有限元的绝妙之处。 AAAdFAEdd21TbTP eeSFSdF TTSd 单元间靠结点传送位移，故结点可视为铰结点。 在各种单元方式中，以三角形单元最简单，且经过调整边长能对任不测形边境作准确描画。jujviuiv)(kky,x)(iiy,x)(jjy,xkukvjki)(y,xuv结点位移：结点位移： rrrvu 单元结点位移：单元结点位移：单元内点位移：单元内点位移： vud T kjie 结点力：结点力： ryrxrFFF单元结点力：单元结点力：单元体积力：单元体积力： yxeFFFbbb

8、 T kjieFFFFixF)(kky,x)(iiy,x)(jjy,xjki)(y,xiyFjxFjyFkxFkyFxFbyFb三角形单元共有三角形单元共有6 6个结点位移，所以有个结点位移，所以有6 6个自在度。个自在度。应选位移方式：应选位移方式：yxu321 yxv664 讨论单元内恣意一点的位移方式讨论单元内恣意一点的位移方式 65432110000001 yxyxvud 0N 待定系数广义坐标结点坐标矩阵将单元结点坐标代入：将单元结点坐标代入： 654321100000011000000110000001 kkkkjjjjiiiikjieyxyxyxyxyxyx 1N eN 11 3

9、21111 kkjjiikjieuyxyxyxuuu uN 2 654111 kkjjiikjievyxyxyxvvv vN 2 AyxyxyxDkkjjii2111 ijk保证三角形面积为正保证三角形面积为正)()(kijkijkkkjjiyxyxyxyxyxyx kkkjjjiiiyxuyxuyxuD 1kkjjiiyuyuyuD1112 kkjjiiuxuxuxD1113 )(2111kkjjiiuauauaADD )(2122kkjjiiubububADD )(2133kkjjiiucucucADD AyxyxyxDkkjjii2111 kkkjjjiiiyxvyxvyxvD 4kkj

10、jiiyvyvyvD1115 kkjjiivxvxvxD1116 )(2144kkjjiivavavaADD )(2155kkjjiivbvbvbADD )(2166kkjjiivcvcvcADD AyxyxyxDkkjjii2111 kjikjikjikjikjikjicccbbbaaacccbbbaaaAN0000000000000000002111 eN 11 jkkjkkjjiyxyxyxyxa kjkjiyyyyb 11jkkjixxxxc 11a,b,c 分别是分别是D的代数余子式的代数余子式ijk eeNN Nd 110 kjikjiNNNNNNN000000)(21ycxbaA

11、Niiii )(21ycxbaANjjjj )(21ycxbaANkkkk 单元形函数单元形函数单元位移外形单元位移外形函数矩阵函数矩阵 INININkji kkjjiiuNuNuNu kkjjiivNvNvNv kkjjiikjikjivuvuvuNNNNNNvu000000 eNd 由行列式性质：行列式任一行列的元素与由行列式性质：行列式任一行列的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值；而行列式任一行列的元素与其它行值；而行列式任一行列的元素与其它行列对应的代数余子式的乘积之和等于零。列对应的代数余子式的乘积之和等于零。留意：留意： a,b

12、,c a,b,c 分别是分别是2A2A的代数余子式的代数余子式外形函数的性质外形函数的性质1. 形函数在单元结点上具有“本点为1，它点为零的性质。0)(21)( jijiijjiycxbaAy,xN0)(21)( kikiikkiycxbaAy,xN1)(21)( iiiiiiiiycxbaAy,xN)(21)(ycxbaAy,xNiiii 类似有类似有0 ),(iijyxN1 ),(jjjyxN0 ),(kkjyxN0 ),(iikyxN0 ),(jjkyxN1 ),(kkkyxNijk1 iu),(yxNiijk1 ju),(yxNjijk1 ku),(yxNk2. 2. 在单元内任一点三

13、个形函数之和等于在单元内任一点三个形函数之和等于 1 1即即1 ),(),(),(yxNyxNyxNkji阐明只需阐明只需2 2个结点的形函数是独立的。个结点的形函数是独立的。假设假设1 kjiuuukjiNNNyxu ),(那么那么yxyxu321 ),(yDDxDDDD321 0321 DDDD;1 ),(yxu由此可知由此可知: :所设所设位移可反映单元位移可反映单元的刚体位移的刚体位移. .如在如在 ij ij 边边3. 3. 在三角形单元内任一边上的形函数只与该边的两端在三角形单元内任一边上的形函数只与该边的两端点坐标有关且是线性的，而与其它结点坐标无关。点坐标有关且是线性的，而与其

14、它结点坐标无关。ijkijiijixxxxyyyy iikkyxxcby )(i、j边的直线方程为 )(21)(iikkkkkkyxxcbcxbay,xN 021 ikikkycxba在在i、j边上形函数边上形函数根据性质根据性质1留意运用留意运用ijiixxxxyxN 1),(ijijxxxxyxN ),(0 ),(yxNkjkkjkkjjiyxyxyxyxa kjkjiyyyyb 11jkkjixxxxc 11那么有那么有ijk在在 ij ij 边的位移边的位移jjiiuyxNuyxNu),(),( jjiivyxNvyxNv),(),( 由此性质可知：单元边境是线性变化的。由此性质可知：

15、单元边境是线性变化的。相邻单元在公共结点有一样位移，所以能相邻单元在公共结点有一样位移，所以能保证相邻单元的位移协调。保证相邻单元的位移协调。为以后方便了解和确定复杂单元内恣意一点处形函数的值，在此引入面积坐标的概念ijkPiAjAkAkjiAAAA AALii AALjj AALkk 1 kjiLLL在单元内任一点在单元内任一点 P(x , y) 可可用三个数用三个数Li，Lj，Lk来确定来确定)(21ycxbaAAALiiiii 由于由于)(2111121ycxbayxyxyxAiiikkjji 所以所以)(21ycxbaAAALjjjjj )(21ycxbaAAALkkkkk 可见面积可

16、见面积坐标就是坐标就是形函数形函数ijkP 由面积坐标的定义不难发现，平行于某边直线ik上的一切点具有一样的坐标Lj，并且该坐标就等于“该直线到至ik边的间隔与“点 j 到ik边的间隔之比。0 jL1 jL43/ jL21/ jL41/ jL三个结点的面积坐标分别为：三个结点的面积坐标分别为： i001 kjiLLL,010 kjiLLL,100 kjiLLL, j k不难验证面积坐标与直角坐标的变换关系不难验证面积坐标与直角坐标的变换关系 yxcbacbacbaLLLkkkjjjiiikji121kkjjiiLxLxLxx kkjjiiLyLyLyy 1 kjiLLL vuxyyxxyyx0

17、0 kkjjiikjikjibcbcbccccbbbAB00000021 dA T ee BNA T kjiBBB 微分算子矩阵几何矩阵只与结点坐标有关，它的元素都是常几何矩阵只与结点坐标有关，它的元素都是常数，所以单元内每点的应变也必为常数，所以数，所以单元内每点的应变也必为常数，所以三结点三角元称常应变三角元三结点三角元称常应变三角元. . iiiiibccbAB0021 jjjjjbccbAB0021 kkkkkbccbAB0021 D e B D e S 应变势能应变势能 e eVB DB AtVV TTT21d21 外力势能外力势能 )dd(STSTbT SVesdFVdFFV 体系

18、势能体系势能 VVEP e eB DB t A TT21 )dd(STSTbT SVesdFVdFF 由最小势能原理由最小势能原理0P E eeeeFFkE t AB DBk eT 0)(TETTT FFB DB t A e 1 1单元上恣意点的集中荷载单元上恣意点的集中荷载 yxFFFP直接加在相应位移方向上直接加在相应位移方向上 DP EP非结点荷载等效到结点上非结点荷载等效到结点上ijk PT0ETFdPe ijk)(00y,xOyFxF ey,xNd )(000 PT00E)(Fy,xNP 所以所以2 2单元上体积力单元上体积力 ),(),(yxqyxqqyx yxtyxqFdd),(

19、dP PTEd),(dFyxNP 所以所以 AyxtyxqyxNPdd),(),(TE 单元应力单元应力 xyyxeS x xy yx yn应力圆半径应力圆半径平均应力平均应力222xyyxR )(最大主应力最大主应力2myx R m1 最小主应力最小主应力R m2 主方向角主方向角)(211 yxyctg)(212 yxyctg 2 1 2 y m x O xy?一一. .结点的选择和单元划分结点的选择和单元划分1.1.集中力作用点、分布力突变点、支承点应选集中力作用点、分布力突变点、支承点应选作结点。作结点。2.2.不同厚度、不同资料的部分不应划在同一不同厚度、不同资料的部分不应划在同一个

20、单元。个单元。3.3.应力变化大处单元应密集一些。结点的多少应力变化大处单元应密集一些。结点的多少与疏密要思索计算机的容量和计算精度。与疏密要思索计算机的容量和计算精度。4.4.单元边境的边长之比应尽能够接近单元边境的边长之比应尽能够接近1 1。不宜不宜5.5.相邻单元的尺寸尽能够接近。相邻单元的尺寸尽能够接近。6.6.结点所衔接的单元个数尽能够一致。结点所衔接的单元个数尽能够一致。适宜适宜适宜适宜不宜不宜二二. .结点编码结点编码尽能够使相关结点的结点编码差值最小，以减尽能够使相关结点的结点编码差值最小，以减少刚度矩阵的带宽。从而提高储存和运算效率少刚度矩阵的带宽。从而提高储存和运算效率总刚

21、半带宽总刚半带宽=(=(相关结点最大差值相关结点最大差值+1)+1)* *结点位移数结点位移数总刚半带宽总刚半带宽=(=(相关结点最大差值相关结点最大差值+1)+1)* *结点位移数结点位移数总刚半带宽总刚半带宽=16=16总刚需占用的总刚需占用的存贮空间为存贮空间为: :161614142=4482=448总刚半带宽总刚半带宽=6=6总刚需占用的总刚需占用的存贮空间为存贮空间为: :6 614142=1682=1681 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 141 3 5 7 9 11 132 4 6 8 10 12 14三三. .充分利用构造的对称性充分利用构造的对称性FP

22、FPFPFPFP四四. .应力结果的整理应力结果的整理以交于同一结点各单以交于同一结点各单元此结点处某应力分元此结点处某应力分量的代数平均值，作量的代数平均值，作为此结点该实践应力为此结点该实践应力的近似值。对于边境的近似值。对于边境处的结点，由内结点处的结点，由内结点结果的外得到。结果的外得到。 )(611111111FEDCBA 结点结点4 4的应力由结点的应力由结点1 1、2 2、3 3的应力外插得到的应力外插得到1 1、绕结点平均法相关单元应力平均值作为、绕结点平均法相关单元应力平均值作为结点应力值结点应力值ABCDEF12342 2、两单元平均法相邻单元应力平均值作为、两单元平均法相

23、邻单元应力平均值作为边境应力值边境应力值ABCDEF12345678例题例题1 1Page 104 希望随着离散网格的逐渐细分，所得到的解答能收敛于问题的准确解。 单元外形确定后，位移方式的选择非常关键由于荷载的位置、应力矩阵、刚度矩阵的建立都依赖于单元的位移方式，要尽量与位移分布相吻合。 计算阅历阐明，在给定位移方式后计算的刚度系数通常比准确值大，所以在给定荷载作用下，计算模型的应变将比实践构造的变形小。当网格分得越来越细时，位移的近似解将由下界趋于真解。为保证计算的收敛，要求位移方式必需满足以下条件1 位移方式必需包含单元的刚体位移。保证产生刚体位移时，弹性体内不会产生应变。2 位移方式中

24、必需包含单元的常应变。保证随单元尺寸的减少，单元应变应趋于常数。3 位移方式在单元内要延续，且在相邻单元间位移协调。通常当单元交界面上的位移取决于该交界面上结点的位移时，就能保证位移的协调性。能满足1、2条件的单元称完备单元能满足3条件的单元称协调单元优点：可以方便地拟和各种不规那么边优点：可以方便地拟和各种不规那么边境境缺陷：因应力、应变为常数，普通与实缺陷：因应力、应变为常数，普通与实践物体受力相差较大，为得到称心践物体受力相差较大，为得到称心构造，必需把网络划分得很密，因构造，必需把网络划分得很密，因此自在度增大，运算时间加长。此自在度增大，运算时间加长。常应变三角元的应力是常数，当用它

25、分析变化大的常应变三角元的应力是常数，当用它分析变化大的问题时，必需加密网格的划分才干得到较好的计算问题时，必需加密网格的划分才干得到较好的计算结果。这样做将使结点数添加，未知量增多，任务结果。这样做将使结点数添加，未知量增多，任务量增大。假设采用的单元的形函数为线性或高次多量增大。假设采用的单元的形函数为线性或高次多项式，那么单元精度会提高，单元个数会减少，分项式，那么单元精度会提高，单元个数会减少，分析效率提高。但对复杂边境的描画不如三角元好。析效率提高。但对复杂边境的描画不如三角元好。实践任务中梁和剪力墙等都为规那么的矩形外形，实践任务中梁和剪力墙等都为规那么的矩形外形，因此采用矩形单元

26、进展网络划分是非常方便的。下因此采用矩形单元进展网络划分是非常方便的。下面引见的双线性矩形单元得到的应力是线性变化的，面引见的双线性矩形单元得到的应力是线性变化的，比三角形单元更接近于实践物体的应力形状。比三角形单元更接近于实践物体的应力形状。xyOaabb1243 O11211143ax by 正那么正那么( (自自然然) )坐标系坐标系 )4321(,i vuiii 4321 e单元结点位移向量单元结点位移向量 4321FFFFFe单元结点力向量单元结点力向量 )4321(,i FFFyixii 由结点位移确定广义座标由结点位移确定广义座标1.1.单元位移方式单元位移方式 广义座标法xyyxy,xvxyyxy,xu87654321)()( eNd 由广义座标确定形函数由广义座标确定形函数由形函数表示位移场由形函数表示位移场正那么座标下单元四条边的方程：正那么座标下单元四条边的方程： 函数试凑法01010101 )1)(1(1 N根据形函数性质：本点为根据形函数性质：本点为1，它点为，它点为0)1)(1(2 N)1)(1(3 N)1)(1(4 N代入结点座标得代入结点座标得41 )1)(1(00 iN引人引人)4321(00,i ii 那么有那么有)4321(,i 广义座标法和试凑法得到的形函数完全一样，广义座标法和试