-推理与证明测试题

1、数学选修2-2推理与证明第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的.）1、下列表述正确的是（）.归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理.A. B.2、分析法是从要证明的结论出发A .充分条件B 必要条件C.D.，逐步寻求使结论成立的（）C 充要条件D 等价条件3、在 ABC 中，sinAsinC cosAcosC ,则厶 ABC 一定是（）A.锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 不确定4、 下

2、面使用类比推理正确的是（）A. 直线 a,b,c,若 a/b,b/c,则 a/c.类推出：向量 a,b,c,若 ab,bc,则 a/cB. 同一平面内，直线a,b,c,若 a丄c,b丄c,则a/b.类推出：空间中，直线a,b,c,若 a丄c,b丄c,则a/b.C.实数a,b,若方程x2 ax 5=0有实数根，则a_4b.类推出：复数a,b,若方程2 2x ax 0有实数根，则a -4b .x2y2二r2.类推出:以点（0, 0, 0）为球D.以点（0, 0）为圆心，r为半径的圆的方程为心,r为半径的球的方程为 x2 y2 z r2.5、（1）已知pq3=2,求证p q < 2 ,用反证法

3、 证明时，可假设p q > 2 ;（2）已知a, R , a b ：1,求证方程x2ax F=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根石的绝对值大于或等于 1,即假设 > 1,以下结论正确的是（）A.(1)的假设错误,(2)的假设正确C.(1)的假设正确,(2)的假设错误6、观察式子：1 4 ：3 ,1 * 122231 1 1 1S，1A .1 丐丐山二 -(n > 2)23n2n -11 112n 1、C .1222(n > 2)2 3n n7、已知扇形的弧长为l ,所在圆的半径为B.（1）与的假设都正确D.（1）与（2）的假设都错误1117-2 :

4、-，则可归纳出式子为 （）441111-2-匕-（n > 2）23n2n11 11 2n 、2（n > 2）2 3n 2n 11r ,类比三角形的面积公式：S二-底 高，可得22232B .1D .1扇形的面积公式为（）A丄r22B丄|22D .不可类比8、定义A BB C, C D, D A的运算分别对应下图中的F图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是(1)、(2)、(3)、(4),那么D. C D, A " D9、观察下列各式：1 =12,2 3 4 =32,3 4 5 6 7 =52,4 5 6 7 8 9 10 =72, 可以得出的一般结论是()2A. n (

5、n 1) (n 2)(3n 2) = n2B. n (n 1) (n 2)(3n 2)=(2n 1)22C. n(n1)(n2)山(3n -1)= n2D. n(n1)(n2)HI(3n -1)=(2n1)10、用数学归纳法证明（n +1）（n+2川|（n+n） =2n1 （2n1）,从k到k+1，左边需要增乘的代数式为（）A. 2(2 k 1) B. 2k 1Cd2k 3k 111、正整数按下表的规律排列则上12510数应丨4 3611II9 8 712I16 1514 1317181920起第2009行,左起第2010列的为（）A. 2009212、为 25 24 23 22 21B.20

6、102C.20092010D.2009 2010了保证信息安全传输，有一种秘密密钥密码系统（PrivateCryptosystem）,其加密、解密原解密密钥密码密文明文A.12B.13C.14D.15Key理如下图：加密密钥密码发送明文密文现在加密密钥为y=loga（x，2）,如上所示 朋文“6通过加密后得到密文“ 3再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“ 6”问:若接受方接到密文为“4则解密后得明文为（）第H卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分把答案填在题中的横线上.)13、数列2,5,11,20, x,47,中的x等于.1 11111314、 已知经过计

7、算和验证有下列正确的不等式:1,11 ,1,2 2323721111 .2厂，根据以上不等式的规律，写出一个一般性的不等式231515、已知命题：若数列:an 是等比数列 ，且 a. aO ,则数列 bn = Ja1a2 HI an (n 匕 N*)也是等比数列”可类比得关于等差数列的一个性质为 .16、 若数列 a 匚的通项公式 an2(n NJ,记 f (n) = (1 a)(1 a?) (1 -&*),(n +1)试通过计算f(1), f(2), f (3)的值 推测出f(n) =.三、解答题(本大题共6小题，共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及 演算步骤.)17、(1

8、2 分)”20202。3已知:sin 30 sin 90 sin 150 :2sin 21O sin2 70 sin2130 =-23sin25 sin2 65 sin2125 :2通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明18、(12 分)如图(1),在三角形 ABC中，AB_AC,若AD_BC,则AB2=BDBC;若类比该命题，如图 (2),三棱锥A - BCD中，AD _面ABC，若 A点在三角形BCD所在平面内的射影为 M，则有什 么结论？命题是否是真命题.a, b, c, d 满 足ab = 1, ac bd d，求证a, b, c, d中至少有一个是负数20、(1

9、2 分)已知数列 an满足Sn+ an= 2n+ 1.(1)写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；用数学归纳法证明所得的结论.21、(12 分)已知命题：若数列 a 1 为等差数列，且am =a, an =b (m式n,m, N )则am n =ma _nb ”现已知数列:bn/(bn0, nNJ为等比数列，m n且 bm 二 a, bn 二 b(m= n,m, n N ).(1)请给出已知命的证明；类比的方法与结论，推导出bm -n .22、(14 分)在中学阶段，对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义 运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容现设集合A

10、由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素=(a,b)： =(c,d),规定:-J -二(ad bc,bd -ac).(1) 计算：(2,3)(-1,4)；(2) 请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；若“A中的元素|=(x,y) ”是对Wo A,都有a 口 | = | 口 a = a成立”的充要条件,试求出元素I .参考答案1. D由归纳推理、演绎推理和类比推理的概念知正确2. A由分析法的定义知 A正确.3. B 由已知得 sin AsinC-cosAcosC - -cos(A C) 0, cos(A C) ： 0, A C为锐角，得B为钝角， A

11、BC为钝角三角形.4. D若向量b=0,则allc不正确;空间内，直线a与b可以相交、平行、异面，故B不正确； 方程Xo2 ixo (-1 i) =0有实根，但 a2 4b不成立；设点P(x, y, z)是球面上的任一点，由OP = r，得 Jx2 +y2 + z2 = r ,d 正确.5. A用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定.所以p q < 2的假命题应为p q 2.6. C由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知，选C.7. C三角形的高类比扇形半径，三角形的底类比扇形的弧.8. B观察知A表示“

12、| ”，B表示“”表示”，味示“O故选B.9. B等式右边的底数为左边的项数.10. A 当 n =k 时，左边=(k - 1)(k2)川(k k)当n =k 1 时，左边二(k 1) 1(k 1) 2 | (k 1) (k 1)=(k2)(k3)(kk)(k k1)(kk 2)(k +k +1)(k +k +2)=(k1)(k2)(kk)'k +1=(k1)(k2)(kk)2(2 k1),从k到k 1,左边需要增乘的代数式为2(2k 1).11. D由上的规律可知，第一列的每个数为所该数所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1依题意有，左起第2010列的第一个数为200

13、92 1 ,故按连线规律可知，上起第2009行,左起第2010列的数应为200922009 = 2009 2010 .12. C由其加密、解密原理可知，当x=6时,y=3,从而a =2;不妨设接受方接到密文为“ 4的明文”为 b,则有 4 =log2(b 2)从而有 b =24 -2 =14.13.325 -2 =3,11 -5 =6,20 -11 =9,. x - 20 =12,47 - x = 15 , x = 321 11n.14. 一般不等式为:1-(N ).2 32 -1215. 若数列fa-是等差数列，则数列b-'1比 山a-也是等差数列-证明如下：设等差数列 江的公差为d

14、 ,则/比山 2-(-_1)d2-d?(- -1)，所以数列ib-是以Q为首项，d为公差的等差数列.216. f (-)1 1 1 1a122，a223 ,a3(1+1)2(2+1)31 12 2(3 1)2421 113=(1二)(1 -) ,2 222111同理 f (2) =(1 _a1)(1 a?) =(1 _右)(1 _p)=-23211f(3)二(1 -aj(1 -a2)(1 -as) =(1-認(1 -孑)(123f(1) =1-a1 =1 _122324X X X 2331132435422233441 1 1伽尹亏)(-1)1111 1 1=(1- )(1 )" )

15、(1 ) (1 )(1 ) 2233n¥113243n n 2 n 2=X X X X X XX =22334n 1 n 1 2n 217.解:一般性的命题为 sin2(-60)in2鳥"sin2(二 >60'') =?2证明：左边1-cos(2： T20°)21 -cos(2 :- -120°)1 -cos 2：2 23cos(2: -120°) cos2: cos(2: -120°)23-2所以左边等于右边18. 解:命题是：三棱锥A -BCD中，AD _面ABC若A点在三角形 BCD所在平面内的射影为M，则

16、有Sa abc Sbcm * bcd是一个真命题 证明如下： 在图中连结DM，并延长交BC于E ,连结AE,则有DE _ BC . 因为AD _面ABC ”所以AD _AE.又 AM _DE，所以 AE2 =EM - ED .是 sAabc 二 1bcae2二 bc-em2BC' ED = Sa bcm ° Sabcd .19. 证明 假设a, b, c, d都是非负实数，因为a c d =1,所以 a, b, c, d - 0,1,所以 ac W ac W -_c , bd W bd W -_c 2 2所以 ac bd W -_c - =1 ,2 2这与已知ac bd .1

17、相矛盾，所以原假设不成立，即证得a, b, c, d中至少有一个是负数.3715120. 解:(1) a1=, a2=, a3=，猜测 an=2 n2482n(2)由(1)已得当n = 1时，命题成立；1假设n= k时，命题成立，即ak= 2 k ,2k当 n = k+ 1 时,a1 + a2 + ak+ ak+1+ ak +1= 2(k+ 1) + 1,且 a1 + a2+ +ak = 2k+1 ak1 12k + 1 ak + 2ak +1 = 2(k + 1) + 1 = 2k + 3,- - 2ak + 1 = 2 + 2 - , ak + 1 = 2 2k 2即当n= k+1时，命题

18、成立.1根据得n N+ , an= 2 -都成立.a十n：,又aa,ab=an +md2n21. 解:(1)因为在等差数列an中，由等差数列性质得amn" nd,得 mam.ma mnd,两式相减得(m _ 门心ma - nb, am n = b mdnam n =nb mnd在等比数列；bn /中，由等比数列的性质得bm n :=bmnqbm n :=bnmqnmm mnbm n = a qbm n = a qj彳曰m '得.nn cmnbm n =b qbm n =b q，两式相除得m _n bm nbn又 * = a,b n = b)ma -nbam <1m n22解:(1) (2,3) O (_1,4) =(5,14) 交换律：- P=PQ« ，证明如下：设：=(a,b) , ： = (c,d)则：LI : = (ad bc, bd - ac),：U : =(c,d)LI (a,b) =(cb da,db - c