按(x4)的幂展开多项式x45x3x23x4

1、习题3-3 1. 按(x-4)的幂展开多项式x4-5x3+x2-3x+4. 解 因为f(4)=-56, f ¢(4)=(4x3-15x2+2x-3)|x=4=21, f ¢¢(4)=(12x2-30x+2)|x=4=74, f ¢¢¢(4)=(24x-30)|x=4=66, f (4)(4)=24, 所以按(x-4)的幂展开的多项式为 =-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4. 2. 应用麦克劳林公式, 按x幂展开函数f(x)=(x2-3x+1)3. 解 因为 f ¢(x)=3(x2-3x+

2、1)2(2x-3), f ¢¢(x)=6(x2-3x+1)(2x-3)2+6(x2-3x+1)2=30(x2-3x+1)(x2-3x+2), f ¢¢¢(x)=30(2x-3)(x2-3x+2)+30(x2-3x+1)(2x-3)=30(2x-3)(2x2-6x+3), f (4)(x)=60(2x2-6x+3)+30(2x-3)(4x-6)=360(x2-3x+2), f (5)(x)=360(2x-3), f (6)(x)=720; f(0)=1, f ¢(0)=-9, f ¢¢(0)=60, f ¢

3、¢¢(0)=-270, f(4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f(6)(0)=720, 所以 =1-9x+30x3-45x3+30x 4-9x 5+x 6. 3. 求函数按(x-4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 解 因为, , , ,所以 (0<q<1). 4. 求函数f(x)=ln x按(x-2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式. 解 因为 f ¢(x)=x-1, f ¢¢(x)=(-1)x-2, f ¢¢¢(x)=(-1)(-2)x-3 , ×

4、× × , ; (k=1, 2, × × ×, n+1)所以 . 5. 求函数按(x+1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式. 解 因为 f(x)=x-1, f ¢(x)=(-1)x-2, f ¢¢(x)=(-1)(-2)x-3 , × × × , ; (k=1, 2, × × ×, n), 所以 (0<q<1). 6. 求函数f(x)=tan x的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 解 因为 f ¢(x)=sec2x,

5、f ¢¢(x)=2sec x×sec x×tan x=2sec2x×tan x, f ¢¢¢(x)=4sec x×sec x×tan2x+2sec4x=4sec2x×tan2x+2sec4x, f (4)(x)=8sec2x×tan3x+8sec4x×tan x+8sec4x×tan x ; f(0)=0, f ¢(0)=1, f ¢¢(0)=0, f ¢¢¢(0)=2, 所以 (0<q&l

6、t;1). 7. 求函数f(x)=xex 的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式. 解 因为 f ¢(x)=ex+x ex, f ¢¢(x)=ex+ex+x ex=2ex+x ex, f ¢¢¢(x)=2ex+ex+x ex=3ex+x ex, × × ×, f (n)(x)=nex+xex; f (k)(0)=k (k=1, 2, × × ×, n), 所以 . 8. 验证当时, 按公式计算ex 的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求的近似值, 使误差小于0.01. 解 因为公式右端为ex的三阶麦克劳林公式, 其余项为 , 所以当时，按公式计算ex的误差 . . 9. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差: (1); (2)sin 18°. 解 (1)设, 则f(x)在x0=27点展开成三阶泰勒公式为 (x介于27与x之间). 于是 , 其误差为 .