博士试题2011-矩阵论_最终版_

1、矩阵论考试试题20 分)已知Ft3=f(t)=a0+a1t+a2t2|a0,a1,a2R为所有次数一 (小于3的实系数多项式所成的线性空间，对于任意的Ft3中的元素f(t)=a0+a1t+a2t2，定义Ft3上的线性变换T：Tf(t)=(a1+a2)+(a2+a0)t+(a0+a1)t21.求T在基1,t,t2下的矩阵A；2.求象子空间T(Ft3)和核T1(0)的维数；3.是否可以求出Ft3的一组基，使得线性变换T在这组基下的矩阵为对角阵？如果不可以，请说明原因。1010,b=1， 011二（20分） 已知A=10111.求矩阵A的满秩分解;2.求;3.用广义逆矩阵方法判断方程组Ax=b是否有

2、解; 4.求方程组Ax=b的最小二乘解，并求其极小最小二乘解。308316A= (15)三分已知矩阵。2051.求A的行列式因子，不变因子，初级因子；2.求A的Jordan标准形；3.求A的最小多项式。126四 (15分)已知A=103。1141.求sinAt；d2.计算sinAt。 dt121001A= (10)五分求矩阵的QR分解。121T(V)T1(0) 六（10分）设T是n维线性空间V上的线性变换，证明：的充要条件是T2=0。七 (10分) 设是Cn×n上的F-范数。证明：若A<1, E为n阶单位阵，则矩阵EA可逆，且111(EA)。 1AEA矩阵论参考答案一、（20分

3、）1. （5分）T1=011t+1t2Tt=11+0t1t2Tt2=11+1t+0t2于是有 -3分011T(1,t,t2)=(1,t,t2)101，故T在基下的矩阵都是110011A=101. -5分1102. （5分）因为矩阵R(A)=2可逆，故dimT(Ft3)=dimR(A)=3 从而有dimT1(0)=3dimT(Ft3)=0-5分 3. (10分) A的特征值为1=2=1,3=2-2分111所对应的特征向量分别为1=1,2=0,3=1-7分011令1=1t,2=1t,3=1+t+t，则其为Ft3的一组基，且线性变换T在这组基下的矩阵为对角阵B=diag(1,1,2)。-10分二、(

4、20分，每一小题5分) 221011011.A=011011，所以满秩分解为10100010101=BC=2，=1A=01 1. -5分 230111021H20,BB=2. A=C(CC)(BB)B,CC= 1201+HH1H1HH2221A+=141-5分 61211/2+3.因为AAb=1b-3分 1/2所以方程组Ax=b无解；4.方程组AHAx=AHb的增广矩阵为20211011/20111(AAH,AHb)=0111，由此得到最小二乘解为 2132000011/2+1x=k1-3分 100 =A+b=1/2-5分 极小最小二乘解为x1/2三、(15分) （每小题5分）1.（8分）由E

5、A得A的行列式因子为 D1()=1,D2()=+1,D3()=(+1)3-4分 于是得到不变因子为d1()=1,d2()=+1,d3()=(+1)2-6分得到初级因子为：+1,(+1)-8分2. （4分）矩阵的Jordan标准形为 2100J=011-4分0013.（3分）矩阵的最小多项式为：mA()=d3()=(+1)-3分四.(15分)1.（12分） 解：由2IA=(1)3 -2分22又AE0,(AE)=0，所以A的最小多项式为mA()=(1)-4分设g()=c0+c1,f()=sint，由g(1)=c0+c1=sint=f(1)c0=sinttcost，解得-8分 g'(1)=c

6、1=tcost=f'(1)c1=tcost于是，sinAt=g(A)=(sinttcost)E+(tcost)A2tcost6tcostsint2tcost-12分 =tcostsinttcost3tcosttcostsint+3tcosttcostcost+2tsintd2.（3分）sinAt=cost+tsintdtcost+tsint五（10分）解: 令 A=(1,2,3), 做正交化，单位化得 2cost+2tsint6cost6tsinttsint3cost3tsint cost+tsint4costtsint1=1=(1,0,1)T, 1=1/2=2(2,1)1=(0,0,

7、0)T, 2=T-6分 3=3(3,1)1(3,2)2=(0,1,0)T,3=3T从而1(2,1)A=(1,2,3)200=001000000最后取A=00(3,1)(3,2)301-8分010001000即为所求的QR分解-10分 1六、（10分） 证明：先证明必要性。设T(V)T(0)。对于任意的V，有TT(V)T1(0)，于是有T2=T(T)=T(0)=0 -5分再证明充分性。设T2=0。对于任意的T(V)，有V,=T T=T2()=0-8分由此T(0)，从而，T(V)T(0)-10分七、（10分）证明：考虑E+A+A2+.。由于A<1，所以E+A+A2+.收敛，从而 11B=E+A+A2+.Cn×n-2分12由(EA)B=E知EA可逆，且(EA)=B=E+A+A