有理数和代数式练习题

1、期末测试姓名:、填空题（每题2分，共26分）341、在数+8.3、4、0.8、5、 0、 90、I 24| 中,是正数,不是整数。52.3的倒数的绝对值是3.用号填空：(D0.02 1 .?(2)(3)(4)22(0.75)_ 3.14；(4)7。,它们互为4.数轴上，到原点的距离等于4个单位长度的点所表示的数是3、一个数和它的倒数相等，则这个数是（1 C . ± 1 D . 士 1 和 0,下列成立的是（-115、计算(2)/ c、10（2）的值是（2106、有理数则（aa、b在数轴上的对应的位置如图所示: ）b1*-10a b = 0ab>07、下列各式中正确的是A . a

2、2（ a）2 B .)(a)3; C33 .a |a |8、卜列说法不正确的是21表小x、y、xy2的积的式子是2B、a2+b2的意义是a、b两数的和的平方1 1C、ab的意义是a、b两数的倒数D、表示a、b两数的平方差的式子为a2-b29、卜列计算结果中,符合书写规则的是（A、14 x2y1ax 23im、a+ b110、如果 a-b= 2 ,那么-3 (b-a)的值是（).3A. - 5三、计算（每小题3分,共24分）(1) | 2| X(2)(2)12 | X5.(4)(5)1199811 0.5 -335 -)9 12+36| 7|(-)1( 4)29 - 35325X 尹(一25)

3、X / 25X( 1) 2-(1+x)+(1+x+x 2-x2)四、解答题（每小题5分，共30分）1、若 2 a 0,化简1a 2| |a 2|2、若a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是1,求（a b）cd 2009m的值。2 Lcc 2,3、已知x 2y 5的值是7,求代数式3x 6y 4的值5544- 33,4、a 3，b 4，c 5 ,比较 a，b，c 的大小。5、体育课上，全班男同学进行了 100米测验，达标成绩为15秒，下表是某小组8名男生的成绩斐然记录，其中“+"表示成绩大于 15秒.+10达标率问：（1）这个小组男生的达标率为多少?达标人数总人数）（2）这个小

4、组男生的平均成绩是多少秒?6、已知x是最大的负整数，y是绝对值最小的有理数，求代数式2x3 5x2y 3xy2 15y3 的值。有理数培优题基础训练题一、填空：1、在数轴上表示一2的点到原点的距离等于（）。2、若 I a I = a,贝U a （）0.3、任何有理数的绝对值都是（）。4、如果a+b=0,那么a、b一定是（）。5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次，列式表示厚度是（）。6、已知 |a| 3,|b| 2,|a b| a b ,则 a b （）7、|x 2| |x 3|的最小值是（）。1 18、在数轴上，点A B分别表示 ,，则线段AB的中点所表示的数是（）04 22010a bc9、

5、右a,b互为相反数，m, n互为倒数，P的绝对值为3,则 mn p （）。P10、若abcw。，则回 空J LcJ的值是（）.a b c11、下列有规律排列的一列数：1、3、2、5、3、，其中从左到右第100个数是（）4 3 8 5二、解答问题：1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4, z对应的点到-2对应的点的距离是7,求x、y、z这三个 数两两之积的和。3、若 2x |4 5x| |13x|4的值包为常数，求x满足的条件及此时常数的值。4、若a,b,c为整数,|ab |2010| c a|2010 1 ,试求 |c a | | a b | | b c| 的值。5、计算：一十291113

6、1517612 . 2030 + 4256 + 726。应用拓展：将七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下。现要求每次翻转其中任意 四只，使它们杯口朝向相反，问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下？能力培训题知识点一：数轴例1：已知有理数a在数轴上原点的右方，有理数 b在原点的左方，那么（）A. abb B.abb C.ab 0 D.ab 0拓广训练：1、如图a,b为数轴上的两点表示的有理数，在a b,b 2a, a b,b a中，负数的个数有（）（“祖冲之杯”邀请赛试题）“,1,a0 bA. 1 B . 2 C . 3 D . 4 3、把满足2 a 5中的整数a表示在数轴上，并用不等号

7、连接。2、利用数轴能直观地解释相反数；例2:如果数轴上点 A到原点的距离为 3,点B到原点的距离为5,那么A、B两点的距离为 。 拓广训练：1、在数轴上表示数 a的点到原点的距离为 3,则a 3 .2、已知数轴上有 A、B两点，A、B之间的距离为1,点A与原点。的距离为3,那么所有满足条件的点B与原点。的距离之和等于 。（北京市“迎春杯”竞赛题）3、利用数轴比较有理数的大小；例3：已知a 0,b 0且a b 0 ,那么有理数a,b, a, b的大小关系是 。（用“ ”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题）拓广训练：1、若m 0, n 0且m n,比较 m, n,m n, m n,n m的大小，并用

8、“”号连接。例4：已知a 5比较a与4的大小拓广训练：1、已知a 3,试讨论a与3的大小2、已知两数a, b ,如果a比b大，试判断a与b的大小4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。例5：有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，式子 a b a b b c化简结果为（）>A. 2a 3b c B.3bc C.bc D.cb-1aO 1 b c拓广训练：1、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则化简a b b 1 |a c 1 c的结果为11-Ab a O c 12、已知a b a b 2b ,在数轴上给出关于 a,b的四种情况如图所示，则成立的是 。a 0bb 0a3、已知有理数a,b

9、,c在数轴上的对应的位置如下图：则0 ab0 bac 1 a c a b化简后的结果是(（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）-1 c O a bb 2c D . 1 2cbA. b 1 B . 2a b 1 C . 12a三、培优训练1、已知是有理数，且x 1 2 2y 1 20,那以x y的值是(A.1B , 3C . 1或 3D ,1或 322222B,再向右移动5个单位长度到达点C .若5B ITIaC ,0 12、（ 07乐山）如图，数轴上一动点 A向左移动2个单位长度到达点点C表示的数为1,则点A表示的数为（）A. 7 B. 3 C. 3 D. 21个单位，点A、B、CC D对应的数分别

10、是整数 a,b,c,dAA B C D3、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距且d 2a 10,那么数轴的原点应是（）A. A点 B . B点 C . C点 D . D点4、数a,b,c,d所对应的点A, B, C, D在数轴上的位置如图所示，那么a c与b d的大小关系是（a. a c b d ba c b d C.acbd d.不确定的5、不相等的有理数 a, b,c在数轴上对应点分别为 A, B, C,若a b b c a c,那么点B （）A.在A、C点右边 B .在A、C点左边 C .在 A C点之间 D .以上均有可能6、设y x 1 x 1 ,则下面四个结论中正确的是（）（全

11、国初中数学联赛题）A. y没有最小值B.只一个x使y取最小值C.有PM个x （不止一个）使 y取最小值D .有无穷多个x使y取最小值1 17、在数轴上，点 A B分别表示 1和1,则线段AB的中点所表示的数是。3 58、若a 0,b 0,则使x a x b a b成立的x的取值范围是 。9、x是有理数，则x 1 x 的最小值是2211221110、已知a,b,c,d为有理数，在数轴上的位置如图所示:d b O a c且 6a 6b 3c 4d 6,求 3a 2d 3b 2a 2b c 的值。11、（南京市中考题）（1）阅读下面材料:点A、B在数轴上分另IJ表示实数 a,b, A、B两点这间的距

12、离表示为 AB ,当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点，如图1, AB OB b如图2,点A、B都在原点的右边 AB OB如图3,点A B都在原点的左边 AB OBa b ；当A、B两点都不在原点时，OA b a b a a b ；OA b a b a a b ;O (A)oO Ao aB Ab a如图4,点A、B在原点的两边 AB OA OB aba综上，数轴上 A B两点之间的距离 AB a b。（2）回答下列问题:数轴上表示2和5两点之间的距离是 ,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 数轴上表示 x和-1的两点A和B之间的距离是 ,如

13、果 AB 2,那么x为当代数式x 1 x 2取最小值时，相应的 x的取值范围是 求x 1997的最/、值。聚焦绝对值一、阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根 可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与 解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。去绝对值符号法则：aa0a0a0aa02、恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看a表示数a的点到原点的

14、距离； a b表示数a、数b的两点间的距离。3、灵活运用绝对值的基本性质 a 0 a2 a2 a2 ab a b a b a b二、知识点反馈1、去绝对值符号法则例1 ：已知a 5, b 3且abb a那么a b 拓广训练:1、已知a1,b 2,c3,且ac,那么（北京市“迎春杯”竞赛题）2、若a8, b5,且a b 0,那么ab的值是（A. 3 或 13 B . 13 或-13 C .3或-3D . -3 或-132、恰当地运用绝对值的几何意义例2:X 1的最小值是（解法1、分类讨论X 1时,1 X 1 时,2x比较可知,1的最小值是解法2、由绝对值的几何意义知2x 2;2;2。2,故选Ao

15、X 1表示数X所对应的点与数1所对应的点之间的距离;所对应的点与数-1所对应的点之间的距离；X 1值。如图易知当1 X 1时，X 1 X 1的值最小，最小值是拓广训练：1、已知X 3 X 2的最小值是a , X 3 X三、培优训练1、如图，有理数a, b在数轴上的位置如图所示:X 1表示数XX 1的最小值是指X点到1与-1两点距离和的最小X -1 X 1 X2故选A。2的最大值为b ,求a b的值。-2 a -10 b 1则在a b,b 2a, b a, a b,a 2, b 4中，负数共有（）（湖北省荆州市竞赛题）A. 3个B.1个C.4个D.2个2、若m是有理数，则 m m一定是（）A.零

16、B .非负数 C .正数D .负数3、如果x 2 X 2 0,那么x的取值范围是（）A. x 2 B . x 2 C . x 2 D . x 24、a,b是有理数，如果a b,那么对于结论（1） a一定不是负数；（2） b可能是负数，其中（）（第15届江苏省竞赛题）A.只有1）正确 B .只有（2）正确 C . （1） （2）都正确 D . （1） （2）都不正确5、已知aa ,则化简a 1 a 2所得的结果为（）A.1 B . 1 C . 2a 3 D . 3 2a6、已知0 a 4,那么a 2 3 a的最大值等于（）A. 1 B . 5 C . 8 D . 97、已知a,b,c都不等于零，

17、且 xabcabc根据a,b,c的不同取值,A.唯一确定的值B . 3种不同的值C . 4种不同的值D . 8种不同的值8、满足a b a b成立的条件是（）（湖北省黄冈市竞赛题）13、阅读下列材料并解决有关问题:A. abx 5x 2Ixl9、若2 x 5,则代数式U的值为x 52 xxabab10、若ab 0 ,则一的值等于 abab11、已知a,b,c是非零有理数，且 a0, abcabcabc的值。12、已知a, b, c, d是有理数，a b9, c d 16,且 abcd25,求 bc的值。xx 0我们知道|x 0 x 0 ,现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简

18、代数式 xx 0x 1 x 2时，可令x 1 0和x 2 0,分别求得x 1,x 2 （称 1,2分别为x 1与x 2的零点值）。在有理数范围内，零点值 x 1和x 2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）当 x1 时，原式=x 1 x 2 2x 1;当1 x 2时，原式=x 1 x 23；（3）当 x 2时，原式=x 1 x 2 2x 1。2x 1 x 1综上讨论，原式=31 x 22x 1 x 2通过以上阅读，请你解决以下问题：（1） 分别求出x 2和x 4的零点值；（2）化简代数式x 2 x 414、（1）当x取何值时，x 3有最小值？这个最小值是多少？（2）当x取何值时

19、，5 x 2有最大值?这个最大值是多少？ （ 3）求x 4 x 5的最小值。（4）求x 7 x 8 x 9的最小值。15、某公共汽车运营线路 AB段上有A D、C、B四个汽车站，如图，现在要在 AB段上修建一个加油站 M,为了使加油站选址合理，要求 A, B, C, D四个汽车站到加油站 M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好?在一条直线上有依次排列的 n n 1台机床在工作，我们要设置一个零件供应站巳 使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：AiA2A1 A2 （P） DA3一印P N审 N ” 而 如图，如果直线上有 2台机床（甲、乙）时，很

20、明显P设在庆和庆2之间的任何地方都行，因为甲和乙分别到P的距离之和等于 A1到A2的距离.如图，如果直线上有3台机床（甲、乙、丙）时，不难判断，P设在中间一台机床 A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲和丙分别到 P的距离之和恰好为 Ai到A3的距离；而如果 P放在别处，例如 D处，那么甲和丙分别到P的距离之和仍是 A到A3的距离，可是乙还得走从 A2到D近段距离，这是多出来的，因此P放在A2处是最佳选择。不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置。问题（1）:有n机床时，P应设在何处？问题（2）根据问题（1）的结论，求x 1 x 2

21、x 3 x 617的最小值。有理数的运算一、阅读与思考在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有 理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算 每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算。数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合， 灵活选用算法和技巧， 提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有: 1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；

22、5、巧用公式等。二、知识点反馈1、利用运算律：加法运算律加法交换律abba加法结合律ab c a b乘法运算律c乘法交换律a b b a乘法结合律a b c a b c乘法分配律a b c ab ac例1：计算:2354 22.75322解：原式=4.6 4 2.75 7 一33拓广训练：4.6 2.75 3 4.6 5.751.151、计算（1）0.6 0.08 - 27 0.92 2 5111131 59 13 -11411例2:计算:n249 50251解：原式=10 5025拓广训练：110 505025500 24981、计算：2 3 4 52、裂项相消(1)a bab(2)(4)例

23、3、计算1 2 2 3 3 41111解：原式=1111122 33111111 一一 一一一2 2 3 3 4d 120091 2010 201012009 20101142009112009201012010拓广训练:11、计算：13、以符代数例4:计算:1727解：分析：17 2712 门 17 令 A=13 8 -17 原式=2A272拓广训练:1、计算:4、分解相约例5：计算:解：原式=27 172007 2009113713”391734 J”24 “3716 ,2726,112717173938,5，贝3 9 2 6 182 13 9n 2n8"

24、; 5 382739s761039“37 c3411 163927“242617s7610392A200524nn 3n 9n3 9 1220061200564729三、培优训练1、a是最大的负整数,b是绝对值最小的有理数，则a2007.2009b200811997 19993_ 4822640.253、若a与b互为相反数,221898a99b4、5、计算：2226、7、（1997 1998,“五羊杯9798A.3140 B8、（“希望杯”A.9、（“五羊杯”1997ab9798 98982324252627282921019981999,98部这四个数由小到大的排列顺序是99计算：3.14

25、31.4628 0.686 68.66.86=(628 C . 1000 D12 3 421C .4计算:4125.120022010、（2009鄂州中考）为了求222324计算出152535200911 、 a1,a2,a3,Naa2A. M N一14 15等于(28 30122_=(9 8 1 4.5 4402223c2008 ,2 的值,可令222322008 ,则 2S=2 2009 ,因此2S-S=220091,所以12223。2008。20092= 21仿照以上推理52009的值是（520101C、52009 14201054a2004都a200412、设三个互不相等的有理数,的值

26、（“希望杯”邀请赛试题）a2a3既可表不为a2a2003a2a3a2004，a2003，那么M ,N的大小关系是b .1,a b,a的形式，又可表不为 0,b的形式,a1999, 2000a b13、计算(1) 5.7 0.000360.19 0.00657000.000000164（2009年第二十届“五羊杯”竞赛题）(2)_40.252313136.51二 （北京市“迎春杯”竞赛题）3214、已知m,n互为相反数，a,b互为负倒数,x的绝对值等于3,、3.2求 x 1m n ab x2001 m n x,2003ab 的值一. 一-八115、已知 ab 2 a 2 0,求一 ab1a 20

27、06 b 2006的值（香港竞赛）16、（2007,无锡中考）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层.将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图中所有圆圈的个数为1 2 3 - nn(n 1)2图1图2图3图4如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1,2,3,4 ,，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ; （2）我们自上往下，在每个圆圈中都按 图4的方式填上一串连续的整数23, 22, 21,，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和.【专题精讲】【例11计算下

28、列各题,、3 323 3 25123 333 3(-)3 0.75 0.52 ( -)3 (1 ) (-)3 43 ( -)344372544(0.125)12 (13)7(8)133 9(5)【例 2】计算：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2005 2006 2007 2008130199 101,1111【例3】计算：1 12 6 12 201111 99001 3 3 5 5 7如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同,(- n n k反思说明：一般地，多个分数相加减, 可以用裂项相消法求值。3) n(n1)(n 2) 1n(n 1)(nI13)(n

29、 1)(n 1)【例4】（第18届迎春杯）计算:11024【例5】计算:1(12)(1231234)2334445555_1 _2_ A60 60 6058 59、)60 60【例6】（第8届“希望杯”）计算:(111)(2009 2【例7】请你从下表归纳出132333【实战演练】1、用简便方法计算：9992、（第10届3、已知a4、计算:201043998998999“希望杯”训练题）（20041999 1999 1999 u,b1998 1998 199811 1315 13 15 175、（“聪明杯”试题）6、(1A.B.提示:(n1)22n(199820093n3的公式并计算出:999

30、99999811) (2003 1)2000 20001(一 10022000,c1999 1999 199929 31 338 n 2n 4n3 9 2 6 18 n 3n 9n)2尸（11998 2000)(1C. 319 2111)(2010 213 233311) (两 1)2001 200110431215(10002000 2000 20001999 2001D. 42009503的值。1216201)101520252001 则 abc）的值得整数部分为（481216407、8、计算：S 1 2 2223 22010111, 一9、计算 1 12 1 2 31 2 3100.10

31、、计算:121 12(13)141 11(1)(1)(1)2 3412010111(1)(1)-(1)232010的值。参考答案基础训练题、填空1、2;2、W; 3、非负数；6、5或 1;7、5; 8、1；9、8二、解答题。1、 25 或 87;3、当1 x 4时，常数值为7;356、不可能，因为每次翻转其中任意，4、互为相反数； 5、0.1 220毫米;-8;10、±3, ±1;11、 o2004、 2；5、 9个，无论如何翻转，杯口朝上的个数都是奇数个，所以不可能让杯口朝上的杯子个数为偶数零，故不可能能力培训题知识点一：数轴例1、D拓广训练：1、B;3、因为 2 a 5

32、, 5 a 2,所以 543 3 4 5例2、8或2拓广训练：1、0或6;2、12例 3、b a a b拓广训练：1、题目有误。例4、解：当4 a 5时，a 4;当4 a 4时，a 4;当a 4时，a 4.拓广训练：略。拓广训练：1、2; 2、3、D三、培优训练1、C2、D3、B4、A7、8、b x a；9、1510、 5; 11、3, 3, 4; x5、C 6、D195 2211| , 1 或3; 1 x 2；997002聚焦绝对值例 1、一 2 或一8.拓广训练：1、4或0;2、A例2、A拓广训练：1、通过零点值讨论得 a=5,b=5;所以a+b=10.三、培优训练1、A; 2 、B; 3

33、、D; 4、A; 5、A; 6、B; 7、B; 8、C9、1; 10、1 或3;11 、0; 12、7;13、零点值分别为2, 4.略。（分三种情况讨论）14、3;、-2;、1;、215、加油站应建在 D,C两汽站之间（包括D,C两汽车站）16 、95172有理数的运算例1、拓广训练：1.2 ; 詈例2、拓广训练：34例3、拓广训练：幽20092006例4、拓广训练：,1、-1；2 、998-8;3、1；4、25997 '6、199819979897*7、C;8、D;199919989998，三、培优训练5、6;9、B;1例6、5201010、5-（原题无答案）；11、A；12、0; 解析如下：由题意：v 1 a b a且0 b b aa b 0或a 0 又；a不能为0(分母不能为0)b一 ba b 0 a b -1 又，11,即