ch4 多维随机变量及其分布

1、第4章 多维随机变量及其分布4.1多维随机变量及其分布实际中，某些试验结果需要同时用两个或者两个以上的随机变量来描述例：(1) 研究某地区儿童的发育情况，需测量身高与体重，写成 ；X(e)(2) 用导弹打飞机，爆炸点 e二维随机变量：试验E，样本空间， X Y(e) 为定义于上的两个随机变量， Y称为二维随机变量（或向量）本章研究的整体性质一分布函数分布函数：是随机向量，称 为的分布函数，或称 X与Y的联合分布函数 y y y2 (x1, y2) (x2, y2) y (x, y) (x1,y1) (x2, y1) o x x o x 的基本性质：(1) 关于x、关于y 是单调非减函数；(2)

2、 ，；(3)关于x、关于y 是右连续函数：；(4) ， 有 (说明之)二二维离散随机变量只取有限多对或可列多对值 ，记，满足：(非负性)； (规范性) 称为的联合分布律 列表：Y X YX1 3 01230 0 0 0 例1. 将一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中出现H的次数，以Y表示在三次中出现H次数与T次数之差的绝对值 求 的分布律解：X取值 ； Y取值 由概率乘法公式得：； ； ； 三二维连续随机变量，分布函数，存在可积函数，满足， 称为连续随机变量概率密度函数概率密度函数的性质：(非负性)；(规范性)；若为平面区域，则 ；若在处连续， 则 几何意义：曲面 ， z D o y x 例2.

3、 设二维随机变量的概率密度函数为 求：(1) 分布函数； (2) ； (3) .解：(1) (2) 将看作平面上随机点的坐标，即有 ，其中为平面上区域 11oxy oyx的非零区域 的非零区域(3) ，四两种常见的二维连续随机变量1. 二维均匀分布定义：设是平面区域，面积为， 具有概率密度 称服从区域上的二维均匀分布 容易验证，落在中某一子区域内的概率与的面积成正比，而与的位置和形状无关.2. 二维正态分布定义：设二维随机变量具有概率密度函数， 为常数， ， 称服从参数为 的二维正态分布， 记 在三维空间中的图形就像是一个放置在平面上的草帽，其中心在 处二维正态分布的概率密度函数图形五 n 维

4、随机变量试验E，为定义于上的n个随机变量，称 为n维随机变(向)量分布函数：具有与相类似的性质若n维随机变量中每一个分量都是离散随机变量，则称为n维离散随机变量设的所有可能取值为 ，, 则称为 的联合分布律对于n维随机变量，如果存在n元可积函数，使得对于任意实数 有 ，则称为n维连续随机变量， 称为的联合概率密度函数对于区域 ， 有 4.2 边 缘 分 布一. 边缘分布函数随机变量，分布函数的分布函数、分别称为关于X、关于Y的边缘分布函数； (关于X的边缘分布函数） (关于Y的边缘分布函数）二. 边缘分布律对于二维离散随机变量，已知 ，() 则，()关于X的边缘分布律；，() 关于Y的边缘分布

5、律 YX 1YX 1 2 02 0 0 1 例1已知的分布律，求边缘分布律解：三. 边缘概率密度函数对于二维连续随机变量，已知概率密度 由 X 是一个连续随机变量， 概率密度为关于X的边缘概率密度函数同样，Y 也是连续随机变量，概率密度为关于Y的边缘概率密度函数例2设具有概率密度， 求边缘概率密度函数和 y 解：； y 例3设， 将中与y无关的部分提到积分号外，将余下部分的指数部分对y配方有： ，令 ， 有同理， 这表明，仅由边缘分布不能确定二维随机变量的联合分布把二维随机变量的一些概念推广到n 维随机变量：n维 r. v. 的分布函数 在连续时，概率密度函数 ；关于的边缘分布函数 ；关于的边

6、缘分布函数；边缘概率密度函数 ；4.3 条 件 分 布（简介）一离散随机变量，分布律：，()边缘分布律： ， 若，考虑条件概率，(，j固定) 称为在 条件下X的条件分布律它具有分布律的特性： (a) ； (b) 同理，若，称 ，(，i固定) 为在 条件下Y的条件分布律X 列表： 二是连续随机变量，X、Y取单点值的概率为0，不能直接由条件概率公式来定义条件分布函数对此，设若极限 存在， 称为条件 下X的条件分布函数， 记为 或 现设，在处连续， 且连续， 则；条件概率密度为 ， ( 要求 )同理，可得 ； ， ( 要求 )注：若 ，则 不存在；若 ，则 不存在例1. 设的概率密度为试求常数k及条

7、件概率密度解： 1 ； o 1 x 当 ，有 ；当 ， 不存在当 ，有 ；当 ， 不存在4.4 随机变量的独立性由事件间的独立性引出随机变量间的独立性概念定义：随机变量， 若 有，即 ， 则称 X 与Y相互独立(A) 对于离散随机变量，取值 ， 则 X 与Y相互独立，即 ，Y X2 3 01 1例如：下面的X 与Y相互独立(B) 对于连续随机变量， 则 X 与Y相互独立， (利用两边积分、微分证明之)例如：考察二维正态变量 ，则 X 与Y 相互独立 ， “” ， 显然“” 在 中令 ， 得 例1一负责人到达办公室的时间均匀分布在 812时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在 79时设他们两人到

8、达时间相互独立，求他们到达时间相差不超过5分钟的概率解：X负责人到达的时间， Y秘书到达的时间 已知 X 与Y相互独立， 故， ， 9 C/ C 7 D o 8 12 x 推广到多维随机变量：(a) 称相互独立， 若 ，；(b) 称与 相互独立，若， ( 其中 为、 的分布函数)定理设与相互独立，则 也相互独立若、是多元连续函数，则 与 相互独立4.5 多维随机变量函数的分布只就几个具体函数来讨论两个随机变量函数的分布已知的分布，而，二元连续函数，求 Z 的分布 比如，一家大型商店一月份、二月份、三月份的商品销售额分别记为 X、Y、Z，要求第一季度的销售总额 的分布一. 二维离散随机变量函数的

9、分布例1已知 的分布律， 求 和 的分布律YX 2 01 0 1 2 P 解： 0 1 2 P 二. 二维连续随机变量函数的分布 y 1. 的分布 设为连续r.v.，概率密度为 o z x ，求导得：， ；由 X、Y的对称性，也有：， 当 X与Y相互独立时， 故 (卷积)， 例2设，且相互独立，求 的概率密度函数解：， 即 正态变量具有可加性推广：一般地，若相互独立， 则2. 最大值、最小值的分布设 X与Y相互独立，分布函数 求 及 的分布函数、由于 ，故， ；推广到 n个相互独立的随机变量：相互独立，分布函数为 记 ， 则 ， ，特别，当 独立同分布，共同的分布函数为， 则， ， 例3设系统

10、L由两个相互独立的子系统 联接而成；联接方式为 (i) 串联；(ii) 并联；(iii) 备用（当损坏时，开始工作 ）已知的寿命分别为X和Y， 概率密度为， ， 试分别写出L的寿命Z的概率密度函数 L1 L1 K L1 L2 L2 L2 解：(i) 串联由于 ， ，Z的分布函数；(ii) 并联故 Z的分布函数；(iii) 备用 当 ；当即 4.6多维随机变量的数字特征本节介绍多维随机变量函数的数学期望与方差一二维随机变量函数的数学期望在实际问题中，常要计算的函数的期望，是二元连续函数例如，已知 ， 而 ，要求定理4.6.1 设是随机变量的函数：，其中 是二元连续函数(1) 若是二维离散 r.v

11、.，分布律 ， 则(2) 若是二维连续 r.v.，概率密度，则有(要求级数与积分绝对收敛)例1设具有概率密度 ， 则 ；此例中， 可先求 ， 后求二数学期望的运算性质 设X, Y是两个随机变量，则 设随机变量X与Y相互独立，则 证：我们仅给出为连续随机变量情况下的证明 设(X, Y)是连续的，概率密度，据公式(4.6.2) 得 又设X与Y相互独立，则， 据 Th4.6.1(2) 得推广到任意有限多个随机变量的情形：设 是n个随机变量， 则 又设随机变量 相互独立， 则 例2. 将 r 只小球随机地放入N只大盒子，设每只球落入每个盒子是等可能的求有球的盒子数X的数学期望12iN解: 将盒子编号：

12、， 右图示先将X分解对应于i号盒子引入随机变量 0 1 P 则 的分布律为 故 由性质推广形式有 例3. 一电路中电流I(单位 A)与电阻R(单位 )是两个相互独立的随机变量，概率密度分别为： 电流I： ；电阻R：试求电压 的均值解：三方差的运算性质运算性质：设随机变量X与Y相互独立，则 此性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况：设随机变量 相互独立，则 证：；例4设 ，求 解：根据二项分布的定义，X是n重伯努利试验中事件A发生的次数，在每次试验中A发生的概率为p引入随机变量： 则 由于各次试验结果相互独立，故相互独立的分布律为 0 1P 故 ；4.7矩、协方差、相关系数一原点

13、矩与中心矩矩：设X与Y是随机变量，称 为X的 k阶原点矩，简称k阶矩；称 为X的 k阶中心矩；称 为X与Y的阶混合矩；称 为X与Y的阶混合中心矩关系式：， ， 显然，是X的一阶原点矩； 是X的二阶中心矩 X1 2 4 5P 例1.设随机变量X的分布律为右图，求 解：，故 二协方差与相关系数如X与Y相互独立，有； 反之，当它不等于0时，X与Y就不独立，必存在着一种关系协方差： 称 为随机变量X与Y的协方差相关系数： 称 为随机变量X与Y的相关系数 (要求分母大于0)关系式： 协方差计算公式：事实上， 协方差的性质：.； .， 这里是常数；.例1. 设随机变量具有概率密度 ， 求解：； y ； 1

14、 ； o 1 x 所以 又因为 ； ； ；所以 下面讨论的性质考虑以X的线性函数来近似表示Y 我们以均方误差 (1)来衡量以近似表示Y的优劣程度选取使达到最小是的二元可偏导实函数， 令 将代入(1) 得 (2)相关系数的性质： ； 的充要条件是，存在常数使得 证： 由式(2)与 的非负性得 ， 亦即 若，由式(2)得 从而 ，由方差的性质知，存在常数使得 从而 , 故 反之，若存在常数 使 , 即 ， 从而所以 但据的定义，可得 若，则称随机变量X与Y正相关，这时以较大的概率可认为，Y的取值随着X的取值增大而增大；若，则称随机变量X与Y负相关，这时以较大的概率可认为，Y的取值随着X的取值增大而

15、减少当 时，X与Y的线性依赖关系不存在定义：若 ，则称随机变量X与Y不相关显然，若X与Y相互独立，则X与Y不相关；但X与Y不相关时，仅仅说明它们之间没有线性依赖关系，这并不意味着它们相互独立，X与Y可能存在其它的依赖关系，可见后面例4.8.6总之，这两个概念不等价但是，对于二维正态随机变量而言，相互独立与不相关却是等价的定理：若，那么，X与Y相互独立的充要条件是X与Y不相关证：根据例4.2.4，故 ，；， 而 令 ， 则 再令 ， 则 于是，由例4.4.3知，X与Y相互独立等价于，这等价于，即X与Y不相关相关系数描述了两个随机变量之间线性相关的程度，它在许多领域有着广泛的应用在产品生产过程中，它可用来描述影响产品质量的各道工艺之间的相关程度； 在医学上，它可用来描述各种疾病发生率之间的相关程度； 在经济及金融投资领域，它可用来描述行业之间的收益、股票之间的价格的相关程度等协方差矩阵：设n维随机向量 ， 称 为X的均值向量； 称 为X的协方差矩阵， 其中， 注意到 ， C是实对称矩阵，可以对角化利用协方差矩阵可以简便地表达n维正态随机向量的概率密度函数设二维随机向量 ，则协方差矩阵为 ，概率密度函数可表示为 n维正态随机向量 的概率密度函数定义为