学年论文(浅述线性方程组及其求解方法).doc

1、学年论文信息与计算科学1102班x x11080602xx浅述线性方程组及其求解方法摘要：线性方程组理论是线性代数理论的起源之一，但也是线性代数理论绝好的应用。线性方程组理论也是线性代数理论与其他学科联系的重要桥梁。关键词：线性方程组；初等列变换。1、基本概念。（1）线性方程组中的未知数的系数构成的矩阵A=称为系数矩阵称为常数项，A=（AB）称为增广矩阵。在数学中，线性方程组是方程组的一种，它符合以下的形式：其中的以及等等是已知的常数，而等等则是要求的未知数。如果用线性代数中的概念来表达，则线性方程组可以写成：，这里的A 是m×n 矩阵，x 是含有n&#

2、160;个元素列向量，b 是含有m 个元素列向量。这是线性方程组的另一种记录方法。在已知矩阵  和向量  的情况求得未知向量  是线性代数的基本问题之一。以下是一个由两个方程构成的线性方程组：方程组中有两个未知数。用线性代数中的表示方法，这个方程组可以记录为：列子如这个线性方程组有一组解：。可以直接验证：可以证明，这组解也是方程组唯一的解。不是所有的线性方程组都有解。以下是一个没有解的例子：显然，如果有 和满足了第一行的式子的话，它们的和等于2。而第二行则要求它们的和等于0.5，这不可能。也有的线性方程组

3、有不止一组解。例如：是一组解，而也是一组解。事实上，解的个数有无限个。（2）上述线性方程组也可以表示为矩阵形式（3）上述线性方程组还可以表示为向量形式：线性方程组的问题就是问题是否存在，若存在，是什么样？（4）上述线性方程组还可以理解为由系数矩阵A确定了一个P到的一个线性映射，解存在否即B是否在此映射的像中，若在，B的原像是什么？（5）若B0，称上述线性方程组为非齐次线性方程组，B=0，则称为齐次线性方程组。（6）AX=0称为非齐次线性方程组AX=B的导出组。2、解存在的条件。（1）线性方程组=有解当且仅当可被线性表示，当且仅当（ ）（）。（2）齐次线性方程组有非零解当且仅当线性相关，当且仅当

4、（）。3、解的结构。（1）齐次线性方程组AX=0的所有解为为的一个n-R(A)维子空间，其基（sn-R(A)）称为方程组的基础解系，方程组的基础解系，方程组的通解为X=（2）非齐次线性方程组AX=B的解若存在，则所有解S=为在中的一个陪集，这里是AX=B的任一解（称为特解），为导出组AX=0的解。若（sn-R(A)）为导出组的基础解系，则AX=B的通解为X=4、解法。（1）一般解法。注意到，若P是m阶可逆矩阵，则AX=B与PAX=PB的解相同。判断AX=B是否有解与AX=B求解的过程可统一。（i）对增广矩阵进行行变换：（A B）-（）为阶梯矩阵；（ii）确定方程组是否有解，有解选定的列的极大线

5、性无关部分组，也就是选定自由未知量；（iii）确定齐次方程组的基础解系（令一个自由未知量为1，其余为0，再求出非自由未知量的值，可得基础解中的一个解），非齐次线性方程组的特解（自由未知量均为0，求出非自由未知量的值，就是一个特解）；并给出通解。（2）Cramer法则。线性方程组AX=B中m=n，A可逆，令d=detA ,是将A的第i列换成B所得矩阵的行列式。则解为5、线性方程组及其求解方法的实际应用（1）齐次线性方程组及其求解方法的实际应用i)齐次线性方程组的一般形式为它的矩阵形式为其中，显然，是齐次方程组的解，称为零解 .我们关心的是除了零解还有没有其他的解？确切地说是要研究齐次线性方程组在

6、什么条件下有非零解？有非零解时，如何求解？ii)齐次方程组解的判定Ø 当时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是;Ø 齐次线性方程组有非零解的充要条件是A的列向量组线性相关 .Ø 定理齐次线性方程组（4-1）有非零解的充要条件是；齐次线性方程组只有零解的充要条件是iii) 齐次方程组的解空间Ø 若、为齐次线性方程组AX=0的解，则+也是AX=0的解。Ø 若为齐次线性方程组AX=0的解，k为实数，则k也是AX=0的解。iiii)齐次方程组的基础解系定义 称为齐次线性方程组AX=0的基础解系，如果是的一组线性无关的解；的任一解都可由线性表示。当向量组

7、，是的一组基础解系时，它的线性组合就称为其次线性方程组的一般解或通解（其中为任意常数），即齐次线性方程组的无穷多组解可用基础解系的有限组解表示出来。由此可见，求解齐次线性方程组的关键就是要求其基础解系，下面我们介绍基础解系的一种求法，并得到一些有用的结论。设系数矩阵的秩为r，并不妨设的前r个列向量线性无关，于是的行最简形为与对应的齐次线性方程组为（）由于与的行向量组等价，故方程组（4-1）与（）同解，称为方程组（）的自由未知量。任给一组值，则唯一确定的值，令为以下n-r组数：则从而得到下面证明为方程组的一个基础解系 .（1）证线性无关由于线性无关，则在加r个分量得到n-r个n维向量线性无关 .

8、（2）证的任一个解都可以用线性表示 .任一解向量由于是（4-1）的解，则也是（4-1）的解，后n-r个分量对应相等又都满足方程（则前r个分量必对应相等，即. 因此，是的一组基础解系 .注：(1)的基础解系不唯一，可以取n-r个线性无关的n-r维向量即可对应地求出一组基础解系 .(2) 基础解系所包含的解向量的个数，即解空间的维数是确定的，为n-r .例1 求解方程组解：对系数矩阵施行行变换化为最简形式：即得同解方程组即得（可任意取值）令，把它写成参数形式：（k1、k2为任意实数）写成矩阵形式其中就是方程组的一个基础解系.例2 求解方程组解：对系数矩阵施行行变换化为最简形式：即得即其中k1、k2

9、为任意实数.齐次的线性方程组是指向量的情况。这时候方程变成：。这个方程肯定会有一组解：。实际上，方程的解就是矩阵对应的线性变换的零空间。一般来说，当方程的个数小于未知数的个数时，方程组会有除以外的解。当方程组个数变多时，则要看其中“有效”的方程的个数。有时候某一个方程可以表示成另外几个方程的线性组合。比如方程组：之中，第三个方程就可以表示为前两个方程的线性组合：这时第三个方程组就可以不必考虑了。用线性代数的词汇表达，“有效”的方程的个数就是矩阵中线性无关的行向量的个数，或者说行向量线性张成的空间的维数。这个数也被称为秩矩阵的。当矩阵的秩小于未知数的个数时，方程组的解会有无穷多个，构成一个维的线

10、性空间。而当等于未知数的个数时，方程组有唯一解，而当大于未知数的个数时，方程组只会有零解。（2）非齐次线性方程组及其实际应用i)非齐次线性方程组的一般形式为(4-3)其矩阵形式为，其中 是(4-3)的系数矩阵， ， 。方程组(4-3)有解，称方程组是相容的，若无解则称不相容。对齐次线性方程组讨论的问题是：非齐次线性方程组(4-3)何时有解？有解时如何求所有解？ii）齐次线性方程组有解的条件对方程组的系数矩阵按列分快，记作，则方程组(4-3)可写成向量形式显然下面四个结论等价： 方程组(4-3)有解； 向量能由向量组线性表示； 向量组与向量组等价； 矩阵与矩阵的秩相等。称为方程组(4-3)的系数

11、矩阵，称为方程组(4-3)的增广矩阵，因此，有非齐次线性方程组(4-3)的解的判定定理：齐次线性方程组(4-3)有解的充要条件是：它的系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩相等。iii)齐次线性方程组的结构Ø 设，是的任意两个解，则是它的导出组的解。Ø 的某个解与的任一解之和仍是的解。Ø 对非齐次线性方程组，若，且已知，是其导出组的基础解系，是的某个已知解，则的通解为：，其中为任意实数。总结可知：a、当时，非齐次方程组有解 时，有唯一解； 当时，有无穷多解。b、当时，非齐次线性方程组无解。注：方程组的某个解称为该方程组的特解，求此非齐线性方程组的通解，可化成求一个特解和其

12、对应的齐次线性方程组的通解，可令自由未知量为0来求特解 .例求解方程组解：对增广矩阵B进行行变换:知原方程有无穷解，并有取方程一个特解得通解其中k1、k2为任意实数.例求解方程组解：对增广矩阵B进行行变换:则即其中k1、k2为任意实数.例讨论线性方程组的解，问为何值时有唯一解、无解、有无穷多解？解：由，得到=-2或1，（1）当时，未知量个数，方程组有唯一解；（2）当=1时 ，方程组有无穷多解.（3）当=-2时,，方程组无解.6、Gauss消元法（1）基本概念一般的n元线性方程组：未知数： 系数：常数项： 一个解：元有序数组，令使（*）的所有方程变为恒等式。解集合：（*）的全部解的集合。不相容线

13、性方程组：解集合为空集。一般解（通解）：解集合中全部元素的通项表达式。具体解（特解）：解集合中一个特定元素。解的存在性：解集合是否为空集。解的唯一性：非空的解集合是否只有一个元素。 线性方程组同解：解集合相同。非齐次线性方程组：不全为零齐次线性方程组：全为零一般的n元齐次线性方程组：零解：所有未知数均取零的解非零解：未知数不全取零的解(2)Gauss 消元法例 1 解线性方程组:阶梯形方程组: 从上到下，方程中具有非零系数的第一个未知数的下标严格增大. 例如.注: （1）它包含两个过程: 一是消元; 二是回代.(2) 将方程组化为阶梯形时所做的操作有如下三种: (i) 交换某两个方程, 如第i

14、个和第j个, 表示为. (ii) 用非零常数k乘某个方程, 如第i个方程, 表示为 . (iii) 将第i个方程的l倍加到第j个方程, 表示为 .这三种变换称为线性方程组的初等变换. 定理 线性方程组的初等变换将方程组化为同解的方程组. 解线性方程组的步骤:第一步 若第一个方程的的系数为零，则选择一个的系数不为零的方程, 如第i个方程，交换它们的位置， 即 .第二步 用变换 将的系数化为1.第三步 用变换, 将从第一个方程以下的所有方程中消去。第四步 保持第一个方程不变，对已经消去的其余方程重复上述步骤，直到最后一个方程。第五步 回代。(3)矩阵的引入为简化过程，忽略“+”、“=”、及变量，于

15、是得到一个与方程组对应的矩形数表。如 一般地，对于方程组令线性方程组（*）与矩形数表相互唯一确定。a)、 一个具有m行、n列的矩形数表称为一个 矩阵。符号or 表示一个 矩阵A。矩阵 A常常简写成,或 。b)、行矩阵，列矩阵，方阵; 系数矩阵，增广矩阵。 增广矩阵的每行对应方程组中的一个方程，故方程组的初等变换等同于对增广矩阵的行作下列变换： （1）互换两行的位置 （2）用一个非零常数乘某一行的全部元素 （3）一行的倍数加到另一行上C）/定义 以下三种操作称为矩阵的初等行变换： (i) : 交换第i行和第j行。 (ii) : 用非零常数k乘第i行。 (iii) : 将第i行的l倍加到第j行()

16、。 线性方程组的初等变换增广矩阵的初等行变换 例2 解线性方程组：例3 解线性方程组：解 将增广矩阵化为阶梯形：对应的阶梯形方程组为 由下向上，依此回代，解得： 。以上阶梯形方程组的增广矩阵具有相同的形式：(i) 零行, 如果有的话, 在所有非零行之下；(ii) 非零行的首非零元随着行标的增大其列标严格增大。称这种矩阵为阶梯形矩阵；阶梯形矩阵中各非零行的第一个非零元常称为主元。定理:任何矩阵可经过有限次适当的初等行变换化为阶梯形矩阵。 例6 解线性方程组 解 对应阶梯形方程组为 。因为无论取何值，都不会使第三个方程成立，所以此方程组无解，亦即原方程组无解。称形如“零=非零数”的方程为矛盾方程。

17、例7 解方程组 解（注意：“零行”不可少！ “=”与“”别混！）对应方程组为 令，则由可唯一地确定 由于 满足，故也满足，即它们构成原方程组的解。因为可任意取值，故由（3）式可知原方程组有无穷多个解。 反之，任取原方程组的一个解 则它们也是的一个解，故整理后得 解出 ，即这个解可由令 从（3）式得到，故（3）式给出原方程组的全部解，即是一般解。 因的值是任意取定的，故称之为自由未知数。下面重新给出上例的求解过程：例8 解方程组 解 对应的阶梯形方程组为 分离自由未知数，得 所以一般解为 （为自由未知数）。 如何选择自由未知数呢？结论：阶梯形矩阵阶梯形方程组 有矛盾方程：无解； 无矛盾方程：有解； 独立方程个数=未知数个数：解唯一； 独立方程个数<未知数个数：解无穷多。 例6 解齐次线性方程组 解 所以，一般解为 （为自由未知数）。注：（1）通常总是取非主元