清北学长精心打造——华约自主招生数学模拟试题及参考答案(三)

1、清北学长精心打造华约自主招生数学模拟试题及参考答案(三)1.（本小题满分14分）已知双曲线：（，）的离心率为2，过点（）斜率为1的直线交双曲线于、两点，且，（1）求双曲线方程；（2）设为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由2.（本小题满分14分）已知函数（I）求（II）已知数列满足,求数列的通项公式;() 求证:.3.（本小题满分14分）设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.（I） 当a=0时，f(x)h(x)在（1,+）上恒成立，求实数m的取值范围;（II） 当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x

2、)在1,3上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;（III） 是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。4.（本小题满分14分）在ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c向量（1）求角A的大小；（2）若的面积.5（本小题满分14分）已知m，n为正整数.（）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m1+mx；（）对于n6，已知，求证，m=1,1,2，n；（）求出满足等式3n+4m+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.6（15分）如图，ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于

3、点M，FD和AC交于点N求证：(1) OBDF，OCDE；(2) OHMN7（本题满分15分）将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形每个正方形的边均平行于矩形的相应边试求这些正方形边长之和的最小值答案1.（1）由双曲线离心率为2知，双曲线方程化为又直线方程为由，得 设，则，因为 ，所以 ，结合，解得，代入，得，化简得又且所以此时，代入，整理得，显然该方程有两个不同的实根符合要求故双曲线的方程为 （2）假设点存在，设由（1）知，双曲线右焦点为设（）为双曲线右支上一点当时，因为，所以 将代入，并整理得，于是 ，解得当时，而时，符合所以符合要求满足条件的点存在，其坐标为 2.解:

4、()因为所以设S=（1）S=.(2)(1)+(2)得:=,所以S=3012()由两边同减去1,得所以,所以,是以2为公差以为首项的等差数列,所以因为所以所以>3 解：（1）由a=0,f(x)h(x)可得-mlnx-x即记，则f(x)h(x)在(1,+)上恒成立等价于.求得 当时;当时，故在x=e处取得极小值，也是最小值，即，故.（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在1,3上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在1,3上恰有两个相异实根。令g(x)=x-2lnx,则当时，,当时，g(x)在1,2上是单调递减函数，在上是单调递增函数。故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3g(

5、1)>g(3),只需g(2)<ag(3),故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3)（3）存在m=，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性,函数f(x)的定义域为（0,+）。若，则，函数f(x)在(0,+)上单调递增，不合题意;若,由可得2x2-m>0，解得x>或x<-（舍去）故时，函数的单调递增区间为(,+)单调递减区间为(0, )而h(x)在(0,+)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+)故只需=，解之得m=即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。4 解（1）又（2）为等腰三角形，5 解：（

6、）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当x>-1，且x0时，m2,(1+x)m>1+mx. (i)当m=2时，左边1+2x+x2,右边1+2x，因为x0,所以x2>0，即左边>右边，不等式成立；（ii）假设当m=k(k2)时，不等式成立，即（1+x）k>1+kx,则当m=k+1时，因为x>-1,所以1+x>0.又因为x0,k2,所以kx2>0.于是在不等式（1+x）k>1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,

7、所以（1+x）k+1>1+(k+1)x,即当mk+1时，不等式也成立.综上所述，所证不等式成立.()证：当而由（）， （）解：假设存在正整数成立，即有（）+1.又由（）可得（）+与式矛盾，故当n6时，不存在满足该等式的正整数n.故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形；当n=1时，34，等式不成立；当n=2时，32+4252，等式成立；当n=3时，33+43+5363，等式成立；当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+6474,等式不成立；当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立.综上，所求的n只有n=2,3.5证明：(1)A、C、D、F四点共圆

8、 BDFBAC 又OBC(180°BOC)90°BAC OBDF(2)CFMA MC 2MH 2AC 2AH 2 BENA NB 2NH 2AB 2AH 2 DABC BD 2CD 2BA 2AC 2 OBDF BN 2BD 2ON 2OD 2 OCDE CM 2CD 2OM 2OD 2 ，得 NH 2MH 2ON 2OM 2 MO 2MH 2NO 2NH 2 OHMN 7解：记所求最小值为f (m，n)，可义证明f (m，n)rnn(m，n) (*) 其中(m，n) 表示m和n的最大公约数 事实上，不妨没mn (1)关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形

9、边长之和恰为rnn(m，n) 当用m1时，命题显然成立AA1BCD1Dmn 假设当，mk时，结论成立(k1)当mk1时，若nk1，则命题显然成立若nk1，从矩形ABCD中切去正方形AA1D1D(如图)，由归纳假设矩形A1BCD1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为mnn(mn，n)m(m，n)，于是原矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为rnn(m，n) (2)关于m归纳可以证明(*)成立 当m1时，由于n1，显然f (m，n)rnn(m，n) 假设当mk时，对任意1nm有f (m，n)rnn(m，n) 若mk1，当nk1时显然f (m，n)k1rnn(m，n) 当1nk时，设矩形ABCD按要求分成了p个正方形，其边长分别为al，a2，ap 不妨a1a2ap 显然a1n或a1n若a1n，则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界)于是a1a2ap不小于AB与CD之和 所以a1a2ap2mrnn(m，n