二项式定理在数列求和中的应用

1、二项式定理在数列求和中应用班级：数学 1403姓名：王琪学号：14404337二项式定理在数列求和中的应用【摘要】 本文利用二项式定理和杨辉三角的内在联系，结合组合不等式，推导出形如 anna(a 2,3,4)的前 n 项和的公式，并给出求更高次求和公式的一般方 法。【关键词】 二项式定理 组合数 方程的根 系数一、项式定理和杨辉三角介绍：1, 二项式定理：(a b)nC0anb0CRB C；an 2b2卅C；an rbr|c；abn其中 cn叫做二项式系数。2, 杨辉三角：二项式定理的应用非常广泛，也很重要，主要表现在两个方面：一是它所 揭示的方法富有启发性；二是它与高等数学联系紧密学习与掌

2、握它，既有利于 培养学生联想和抽象思维的能力，也有利于其今后进一步的学习二项式定理在中国被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，一般认为是北宋数 学家贾宪所首创它记载于杨辉的详解九章算法 (1261)之中.在阿拉伯数学 家卡西的著作 算数之钥(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用 的计算方法与贾宪的完全相同在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他 1527 年出版 的算数书的封面上刻有此图，但一般称之为“帕斯卡三角形”.因为帕斯卡在 1654 年也发现了这个结果而在 1664 年和 1665 年间，也就是由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥躲开的前 夕，牛顿就开始了二项式定理的研究， 值得注意的是，牛顿

3、只处理了二项式的自 乘幕是分数或负数的情况.牛顿第一次提到二项式定理是在 1676 年 6 月 13 日他写 给奥尔登堡转给莱布尼兹的一圭寸信中，此后牛顿对于该定理进行不断的推理、猜 想和证明，最终建立了二项式定理.牛顿在建立了二项式定理以后，马上就抛弃 了他以前用于求积的插值法，而把这个定理当做确定曲线下方面积的一个最简单 最直接的方法来使用随着时间的推移，二项式定理被越来越多的人运用， 直到今天，二项式定理 已经是中学数学内容的重要部分，也是当今高考的难点之一 .二项式定理是在处理有关两个元素和的方幕的问题时常常考虑到的一个重要公 式，是组合数学中一个基础而重要的定理，在微积分、概率论、初

4、等数论等许多 数学分支中都可见其踪影二、二项式的性质二项式定理：.理解二项式定理应注意：(1)二项式中，a 是第一项，b 是第二项，顺序不能变；(2)展开式中有 n 1 项(比指数多 1);(3)C0,C：,|,Cn是二项式系数；(4)a 的指数降幕，b 的指数是升幕，两者的指数的和等于 n ；(5)二项式展开时要注意各项的符号规律；(6)注意二项式定理的可逆性.二项式定理除了要注意以上几点外还具有一些性质性质一性质二性质三a bn的二项展开式中，首末两端“等距离”的两项的二项式以外其余位置的数都二项式系数表中，除系数相等，即 cmC之和，cmcnm1a bn的二项展c c!，所有二项式系数的

5、和等于令 a b 1 即得种计算方法结果相等来解释）性质四 a bn的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即CnCn|C：川 CC；川C71川2n1.（令a 1,b1 即得）.三、重要组合恒等式：Cr 1Cr(n 1)!(n 1)!证明：1 n 1(r1)!( nr)! r!(n 1r)!(2), C；C；1Crr2川 Cn1Cntn r) 证明（数学归纳法）：当 n r 1 时 上式 左边=1 右边是 C；1，所以是正确的。假设上式对 n k（k r）正确 即 C； C；1Cl 2川 Ck 1C：1那么就有C；C；1C | C： 1C：C：1C：再有组合不等式（1

6、）可 得C；C；1C III C；1c：c；故综上所述 对于所有大于 r 的正整数 n （2）式都是成立的。四、一元 n 次多项式根与系数的关系对于多项式 xna1xn 1a2Xn 2|”an必 0 若 x1,x2, x| xn是它的 n 个根 则有一下等式成立：（1）1a1X1X2川 Xn（1）2a2X1X2X1X3川 Xn 1Xn（1）iaiX：1X：2|x：（所有 i 个不同的根的乘积的和）（1）na1a2a|an五、应用举例（1）,cnC： 1Jr r!( n r)!(n r)n!r!(n r)!C；（证毕）k 1k 1k 1k 1当 r=1 , 2, 3, 4 的时候上式也就是:11

7、 2 3 川 n n(n 1)n命题二：1k 1n命题三:k-k 12n为了方便应用，（2）式也可以写成 c：C： 1Crr2卅 C： n 1r 1Cr n( n r)证明：由二项式定理知:12k22k1,从而:1015六、归纳总结命题一:证明:nkmk 11m两式相减有:III抽IIIIII3m3m1)1n(n 1)(n 2)3!(n丄 n(n4!nkm11)(n1)(nkmk 12)丄 n(n 1)(n 4!2)( n 3)n 1m2)( n 3)n(n5!1)(n2)(n3)( n 4)由乘法的定义可知:n 个 1 相加的结果为n。k 1k 1k 1k 1k22knk2即:由此可得:nn

8、k 12nn2 kk21k 1k 1k 1k 1n 121nn n1n即：kk1n n 12命题四n1k21n n 1 2n 1k i61n n 1 2n 12n4即：k2-n n 1 2n 1k 16即：k13k33k23 kk 1k1k1k 1由此可得：nnnnn3 k2k 13k33k1k 1k 1k 1k 1k 1“ 3“c n n1n 1 13 -n2k 1k 1nnnnn1k 1证明：由二项式定理可知:k 13k33k23k 1，从而 32k 3k3k 1由此可得:命题五：证明：由二项式定理可知:k 14k44k36k24k 1，从而即:k44k36k24knk4k3nk2nnnn

9、nn4 k3k 14k46k24k1k 1k 1k1k 1k 1k 141n n 1n116n n 1 2n14n622n n12n即：k3nn1k 12命题六：nk41-n n1 2n1 3n23n1由此可得:可得:证明：由二项式定理可知:k55k410k310k25k 1，从而k55k410k310k25kn即： kk 1k5k41n10k 1k3n10kk2n5 k4k 11n n30k5102nn10k 1k31 3n23nF 面我们讨论一般情况下数列的和,由二项式定理可知：k 1mm 1 mCm 1kn而有 kk 11mcm；km1C*1kmn10k 110即:k22nnkm11m

10、mCm 1k1 m 11kmCm1 m1kCm1kCmCm 1kCm 1，从C：1kmk 1nkmk 1nmCm1 m 11kmCm1 m 11kCm1kCm 1kCm1Cm1即:km至此，我们求出了连续自然数任意次方的和推论若多项式f(k)k(k 1)(k 2)(k a 1)他的根分别是k10, k21,k32|kaa 1，贝 U他的展开式中 ka 1的系数是 a1(0123III a 1)(321)aa2k*2k*3M ka 1ka同理 f(k) k(k 1)(k 2)(k a 2)展开式中 ka 2的系数是：a；(0 1 2 川 a 2)二项式定理有着广泛的应用，如果不能够准确把握其本质，则可能导致无法 预测的结果二项式定理