多维随机变量及其分布参考答案

1、概率论与数理统计练习题_ 系_专业_班 姓名_学号_第三章多维随机变量及其分布（一）一、 填空题：f2Axy ,0X1,0cy 0t2、 设二维随机变量（X ,Y ）的联合分布函数为F （x, y）=，则吊数0,其他4Ar。二、 计算题：1 在一箱子中装有 12 只开关，其中 2 只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。我们定义随机变量X, Y 如下：0 若第一次岀的是正品0 若第二次岀的是正品X,Y =J 若第一次岀的是次品J 若第二次岀的是次品试分别就（1） , （2）两种情况，写出 X 和 Y 的联合分布律。解：（1）放回抽样（2）不放回抽样2

2、.设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求13(1)P一 X ，0 CY 4,12342 211 / 4001/16(2)P1兰X兰2,3兰丫兰421 /161/401 /4301/161/16001025/365/3615/361/3601015/225/3315/331/662解:13(1)PX,0:：:Y：:422=P(X =1,Y=1) -P(X日,Y =2) -P(X 1,Y 3)14(2)P1乞X 2,3 Y 4=P ( X = 1, Y = 3) P ( X = 1, Y = 4) P ( X = 2，丫= 3) P ( X = 2 , Y = 4) 115=+-=1 6 416

3、3 .设随机变量(X ,Y )的联合分布律如表：求：(1) a 值；(2)(X ,Y)的联合分布函数F(x,y)(3)(X ,Y)关于 X，Y 的边缘分布函数FX(x)和FY(y)1 1 1解：(1) 由归一性二：芝.Pja =1ij4461解得a=3(2)(X ,Y)的联合分布函数为0 x0或y -11一1兰X 2，一1兰y c045F ( x, y)x _ 2 ,1 _ y：: 0121x _ 2 , y _ 0-1011/41/421/6a（3）（X,Y）关于 X, Y 的边缘分布函数为:1811 623概率论与数理统计练习题_系专业班 姓名_学号_第三章多维随机变量及其分布（二）、选择

4、题：1、设随机变量X与Y独立，且X L N（7,G2）, YN（2,二22），则Z =x 7仍服从正态分布,01x 1FX(x)=丿1兰X 221x 3 25Fy(y)121y：_11乞y : 0y _oI k （6 - x - y ）4 .设随机变量（X,Y）的概率密度为f（x,y）=00 x2,2vyv 4其他，求:(1)常数 k；( 2)求P X：: 1, Y :：: 3；(3)PX：1.5；(4)P X Y _ 4解：（1 ）由归一性4dx k (6xy )dy= k (62x) dx=8k=1所以k =1(2)P X：:1 ,Y : 31131173dx (6 x y)dy( - x

5、)dx =8028028(3)PX : 1.511 . 5411 .52 7dx (6 - x - y)dy(6 - 2 x)dx =8028032(4)P X4.(6x y )d xd y(12 -8x x2)dx0且有(A)2 2z N (._1亠 J，二1亠亠2)(B)z L N (亠2,二12(C)2 2z N ( 472,；1 -C2)(D)z L N(4二二2 ,；：2 C2 )2、若(X ,Y)服从二维均匀分布，则(A)随机变量X，丫都服从均匀分布(B)随机变量X，丫不一定服从均匀分布随机变量X，丫 一定不服从均匀分布(D)随机变量X - Y服从均匀分布二、填空题:1、设二维随机

6、变量(X ,Y)的密度函数为f (x, y)詔0,31361P(X Y : 1) = 1 _1dx_(x2竺)dy031(.0 622x2、设随机变量X ,Y同分布,的密度函数为B =Y a相互独立，且P(A B)3，则a =4P(A)= P(X a)=1 -P(X辽a)25x+3632x , 0：: x：:2f (x) =8,3)d x二36_ V4.233xa-d x = 1 88n2P(A B)二P(A) - P(B) -P(A)P(B) = 2P(A) - P( A)336aa2a3=2(1)(1)= 1 -8864 4二、计算题:a1 .已知P X = kkb,P Y - _k厂(k

7、 =1,2, 3), X 与 Y 独立，确定 a, b 的值，求出(X ,Y )k-Y的概率分布。的联合概率分布以及XP (X解：由归一性Zkaa=k) = a -231 1a166所以a二一1 1bb49b36由归一性ZP (Y二_k ) = b -1所以b二一k493649(X ,Y)的联合概率分布-3-2-1X、124/53954/539216/539212/53927/539108/539由于P (X +Y= _2) =2438/53918/53972/53966 6P (X Y = _1)5394925112672P (X Y =0)P (X Y =1)P (X Y =2)53953

8、9539X Y的概率分布为：X +Y-2-1012P24662511 2672539539539539539解：(1)FZ(Z) =P(Zffxy迄迄f (x, y )dxd ydx0 0Z_x_3x -4 y12e dy2 .随机变量X与Y的联合密度函数为f(x,y)=*1 2e_3x _4 y,x，0, y ,0，分别求下列概率密度函0,数：(1)Z =X Y;(2)M = max X ,Y；(3)N = m in X ,Y。z=3z|03 z4 z=1 -4e一3e -当z：:：0时，fz(Z)=04z=1 2e_则 X 与 Y 相互独立。当z：:0时，FM(z) =0当z _0时，FM

9、(z) = P(M乞z)二P (X乞z,丫空z) = P(X乞z)P(丫乞z)3x4(z x )e_ (1 _e_- )dx所以Fz(z 1_4e3ezZ 的概率密度函数为fz( z):0:03 z2e_-12fz-0时，f ( x, -zx) d xz)=J JOOz二二.012e_3x _4(z jx)dx所以4z=1 2e_z(e -1)Z 的概率密度函数为fz( Z):0由于fx( X)=-bo.f(X,y)dy .3 z2e-12_4ze8 亠亠1 2edy二3e_3xfY(y)二.；f(X，y)dy容容/ Ay1 2 ed x = 4e3z4 z=Fx(Z)FY(z) =(1 e

10、)(1 e)0所以fN(Z)7Zl7e3 .设X与Y是独立同分布的随机变量，它们都服从均匀分布U (0,1)。试求(1)Z =X Y的分布函数与概率密度函数；(2)U =2X -Y的概率密度函数。be解：(1)fZ(z) = fx(x) fY( x)dx ( 0：: x：: 1 , 0：: z x : 1当Z: 0或Z 2时，fZ(Z) =0Z当0：: z：: 1时，fZ(Z) = o dx = z1当1 : z：: 2时，fZ(z)二dx =2 -z&丄Z0：: z：: 1所以，fZ(Z) = 2 z 1一z：: 20其他所以fM二3ei _ez)04Z+ 4e - (1_3_ )z： ：

11、：0Z03Z=3e一4Z+ 4e_7Z-7e_Z:0Z0(3)当z：0时，FN(Z)=0当z _0时，FN(Z)=P(N乞Z)=1_P(N .Z)=1_P(X .Z,Y .Z)=1_P(X=1一1 Fx(Z)1-FY(Z)_3Z_4Z=1 e - e -Z)P(Y .Z)7ZZ : 0Z . 0(2)当u：1时，Fu(u) =0;当u _2时，Fu(u) =112 x _u当13 :：: 2时，Fu(u) =1 二dx 一dy =u2所以u =2X -Y的概率密度函数为： u+ -1cuc02 21”0 Cu 1fu(u) =Fu(u) = 2u1一一1 C u C 220其它求：（1）常数 A,（2）随机变量Z = X Y的概率密度函数。解：（1） 由于1二FY（；）Aedy二-AeA，所以 A = 1心心0（2）随机变量Z =X Y的概率密度函数i Lt当_1 I：0时，Fu(u)二.dy。2dxy u2dy2(1 2u u2ody.o当0乞u：1时，Fu（u）dx1(1 - 2u);4-(1即U =2X Y的分布函数为:Fu(u)-(1-2u )u ：: -1一 1 空 u : 00 乞 u : 11 u :