大学高数期末考试题及答案

1、1/ 7第一学期高等数学期末考试试卷答案计算题（本题满分 35 分，共有5 道小题,每道小题7 分），1 求极限xm0.X _X1 cosx 2.3sin x解:1 cosx limx 02X1 COSXX1 cosx2X.3sin xxm0 xm01 cosxxln-2exlnlimex 01 cosx2xln1 COSXlimX 01sin xcosx 2x2 设x0时，f解:由于当x0时,3xf tlim -x 0kAxdtxim所以，lim1k 1x06Akxk 13 .如果不定积分解:,1 cosx xln2limx,1 cosx ln22X3X是等价无穷小,dt 与 Axk等价无穷

2、小，求常数kf t dt 与 Ax 等价无穷小，所以0“ k 1Akxlimx因此,x21,limx3Xf t dt0_Axkf Vx 223X2133x2Akxk 12x3Xlimk 1x06Akxlim 77x 6Akxax2 2X 11 Xdx中不含有对数函数，求常数a 与b应满足的条件.2/ 72 .,x ax b将2 2x 11 x化为部分分式，有2 .x ax b2x 11A B Cx D x 1 x 121 x2因此不定积分ax b121 x2dx中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数2即x axx 121 x2D1 x2所以，有 x2ax b B 1x212x22Dx

3、 B D .比较上式两端的系数，有 1D,2D,所以，得b 1.525.计算定积分min 1,解:min 1,dx.52所以，min01,dx11dx0dx52x25 .设曲线C的极坐标方程为 r.3asi n -3求曲线C的全长.解:曲线 rasin33 一周的定义域为，即03因此曲线C的全长为s . r2r2d03:-2.62.42.、a sin a sin cos d0,3333 2 ,asin do33/ 7（本题满分 45 分，共有 5 道小题，每道小题 9 分）,6求出函数f x lim列 爲 的所有间断点，并指出这些间断点的类型.n1 2x解:11因此 X1与 X2是函数 f x

4、 的间断点.22lim1x2f xlim 01x20, lim1x2f xlim sin x1x21，因此 x1是函数2f x 的第一类可去型间断点limf xlim sinx 1 ,limf xlim 010 ,因此 x 是函数 f x的第- 一类可去型11112xxx 一x间断点.求极限limb 解:limn1sin2n2x1sin x x -211x -2211x2210 x -27.设是函数 f xarcsinx 在区间 0,b 上使用 Lagrange （拉格朗日）中值定理中的 中值”,4/ 7令t arcs inb,则有arcsin x 在区间0, b 上应用Lagrange 中值

5、定理，知存在0, b，使得所以，2arcs inb叫Hb2b叫!=barcs inb因此,arcs inbb2moHbarcs inO 1arcsinb b2b2arcs inb25/ 7令 fx0,得函数 f x的驻点 X10,x22 由于a0, 所以lim f x2xlim ax e1,xx2 x2x2x2lim f xlim ax e1 a limx1 a limx1a lim 11xxxexexe叫Hb2insImo2nsiimo2tn3ILim。2cos2t12?1 1 lim-6t 0cos2t12si n2tlim6t 02t3-b mo H.D8设1 xey0ydy，dx解:d

6、xxf1xf0 x dx在方程fxey02 ydy中，令x 1，得1 1ey 2 ydy00ey 2 ydy 00再在方程1 xey20ydy两端对 x 求导,x21因此，0f x dxxf1xf x dx01xf0 x dx1 x2xe dx0 xex2dxx29 研究方程0 在区间内实根的个数.解:设函数 f x2 xaxe1,2axe2ax eax 26/ 7因此，得函数 f x 的性态x,000, 222,f x00f x14ae211222 x若 4ae 10，即 a 时，函数 f x ax e 1 在 ，0、0,2、2,4各有一个零点，即方程 exax 在 ，内有 3 个实根.e若

7、 4ae 1 0，即 a时，函数 f4xe ax 在 ，内有 1 个实根.10 .设函数 f x 可导，且满足f x x f x试求函数 f x 的极值.解：在方程 f x x f x 1 中令t x，得，、十5 f x xf x x亠，口在万程组中消去 f x，得xf x f x x若 4ae210 ,即 a2e时，函数 f x点，即方程 exa x2在，内有 2 个实根2xax e1 在,0、0,内各有一个零2 xx ax e1 在,0 有个零点，即方程f t t f t 1，即27/ 71x2积分，注意 f 00,得f Xxtt2dt.即8/ 7x 201ln1x2arcta nx2x

8、x牙得函数 f1 x2的驻点 Xi0,X21 .而f x2x x.所以,1x2 2所以，f 00 是函数 f极小值;11 In 22是函数 f4极大值.三.应用题与证明题（本题满分20 分，共有2 道小题,每道小题 10 分），11.求曲线 y ,x 的一条切线，使得该曲线与切线I及直线x0和x 2所围成的图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积为最小.解:设切点坐标为 t, t由 y1，可知曲线 y2jtt 处的切线方程为因此所求旋转体的体积为12d %所以，dVdt83t212、t，或1y2d %dx2t3t0 .得驻点 t,舍去 t .由于d2Vdt2163t2线方程为12 . 设函数f x在闭区间0，因而函数23 处达到极小值，而且也是最小值.因此所求切0, 1 上连续，在开区间0, 1 内可导，且1 arctan xdx29/ 7证明：至少存在一点0,121 arcta n解:因为 f x 在闭区间0,1 上连续,所以由积分中值定理，知存在0,-，使得arcta nxdx2efarcta n由于ef0 xarctanxdx2 所以，earcta n再由 f 10,得作函数 gefarcta nefarcta n