奥数余数和同余讲义

1、小升初奥数综合训练(十八)余数和同余【知识要点】1、 例如：37十5=72,四者之间的数量关系：被除数=除数X商+余数2、 同余的概念：两个整数，被同一个大于1的整数m除，所得余数如果相同，那么，这两个整数对于除数m来说是同余的。例如：14和26这两个数虽然大小不同,但它们分别除以6所得的余数相同,我们把14和26叫做 关于模6同余。3、 同余最基本的性质是：几个同余式(模相同)相加、减、乘、乘方仍然同余。【典型例题】例1、两个整数相除商8,余16；并且被除数、除数、商及余数的和是463.那么被除数是多少？解：因为：被除数=除数X8+16，并且被除数+除数=463816=439，所以除数=(4

2、3916)-(8+1)=47, 被除数=47X816=392.例2、 被3除余2,被5除余3,被7除余4的最小自然数是多少？解：被3除余2的数有2,5,8,11，其中8又能被5除余3，并且满足条件最小的，而3,5=15,所以8+15=23，23+15=38，38+15=53，53满足了被7除余4这个条件，并且最小。例3、 五(3)班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人， 问上体育课的同学最少多少名？解：3,4,5,6=60, 601=59(人).例4、 小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3而余数恰好相同，这题中的除数是几？解：设

3、除数为m,正确的商位q,余数为r，那么错写被除数后，除数仍为m,商为q3,余数仍为r。因为：171=mXq+r117= mX(q3)+r于是171117=(mXq+r)(mXq3 m+r) 得m=18.【精英班】例5、有一个三位数,其中个位上的数是百位上的数的3倍,且这个三位数除以5余4,除以11余3.这个三位数是多少？解：这个三位数除以5余4,所以它的个位数字是4或9,因为个位数字是百位数字的3倍,所以个位数字只能是9, 百位数字是3.因为这个数除以11余3,所以它的十位数字=3+(93)=9,这个三位数是399.【竞赛班】例6、11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余

4、数是多少？ 解：由数的整除性质和同余性质可推知：(1)3的倍数的任何次方(0除外)除以3的余数为0,可知33+66+99除以3余0.(2)不是3的倍数的偶次方除以3的余数为0,可知22+44+88除以3余1.小升初奥数综合训练（3）11除以3余1，55与25对于3同余，它们除以3余2. 77与17对于3同余，它们除以3余1.所以（1+2+1）-3=11。【课后分层练习】A组：入门级1、 被2、3、5除都余1，且不等于1的最小整数是多少？解：这个数减去1后，被2、3、5整除，因而这个数至少是2X3X5+仁312、 两个整数相除得商数是12，余数是26.被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数

5、是多少？解:根据带余除法，被除数=除数X12+26,又被除数+除数=4541226=416.即13X除数+26=416,所以除数是30.3、 有民兵在操场上列队，只知人数在90110之间，排成三列无余，排成五列不足2人，排成七列不足4人，共有民兵多少人？解：去掉3个人后,总数被3、5、7整除,3,5,7=105,因原人数在90110之间,所以是105+3=108.4、 一个整数除300、262、205,得到相同的余数,问这个整数是几？解：300262=38 262205=57（38,57）=19因为所求数应是19的因数,19只有1和19两个因数,而1不 可能作除数。所以这个整数是19.5、 某

6、个月里有三个星期日的日期为偶数,请你推算出这个月的1 5日式星期几？解：每个月的连续的四个星期日中只有两个日期是偶数,所以这个月必有5个星期日,并且第一个星期日为2号,第三个星期日为16号（16=2+14）,第五个星期日为30号（30=2+28）。这个月的15日是星期六（因为1号是星期六,1+14=15,1 5号也是星期六）B组：进阶级1、 甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。解：因为 甲=乙乂11+32,所以 甲+乙=乙X11+32+乙=乙乂12+32=1088所以 乙=（1088-32）-12=88,甲=1088-乙=1000。2、 有一个整数，用它去除70，

7、110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50十3=162,所以三个余数中至少有一个大于16,推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在1770之间。由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2X5X29,290在1770之间的约数有29和58。因为110-58=15250,所以58不合题意。所求整数是29。3、 求478X296X351除以17的余数。解：先求出乘积再求余数,计算量较大。根据性质（5）,可先分别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余

8、数。478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,（2X7X11）-17=91。所求余数是1。4、在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有几个？小升初奥数综合训练解：满足“除以3余2”的数有5,8,11,14,17,20,23,再满足“除以7余3”的数有17,38,59,80,101,再满足“除以11余4”的数有59。因为阳3,7,11=231，所以符合题意的数是以59为首项，公差是231的等差数列。（10000-59） -23仁438, 所以在1 0000以内符合题意的数共有44个。C组：挑战级1、甲、乙两个代表团乘车去参观,每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆

9、车后,甲代表团余下的11人与乙代表 团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完,甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如 果每个胶卷可拍36张照片,那么拍完最后一张照片后,相机里的胶卷还可拍几张照片？解：甲代表团坐满若干辆车后余11人,说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐 满一辆车,说明乙代表团余36-11=25（人）,即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数X乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数X乙数”除以36的余数。因为甲数除以36余1

10、1，乙数除以36余25，所以“甲数X乙数”除以36的余数等于11X25除以36的余数。（11X25）+36=723,即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。2、 学校要安排66名新生住宿,小房间可以住4人,大房间可以住7人,需要多少间大、小房间,才 能正好将66名新生安排下？解 ：设需要大房间x间,小房间y间,则有7x+4y=66。这个方程有两个未知数，我们没有学过它的解法，但由4y和66都是偶数，推知7x也是偶数，从而x是偶数。当x=2时，由7X2+4y=66解得y=13，所以x=2,y=13是一个解。因为当x增大4,y减小7时，7x增大28,4y减小28,所以对于方程的一个解x=2,y=13，当x增 大4，y减小7时，仍然是方程的解，即x=2+4=6，y=13-7=6也是一个解。所以本题安排2个大房间、13个小房间或6个大房