代数Lyapunov方程与Riccati方程解的估计

1、哈尔滨理工大学硕士学位论文代数Lyapunov方程与Riccati方程解的估计姓名：毕海云申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：陈东彦20080301哈尔滨理工大学理学硕士学位论文代数方程与方程解的估计摘要代数方程与方程广泛应用于控制系统的稳定性分析与控制器设计问题之中，对这两类方程的求解及对其解的估计都是非常重要的工作。对两类方程解的估计在许多控制问题中都发挥着重要作用，例如稳定性分析、最优控制器和过滤器设计、瞬时时态评估等。本文主要研究代数方程与代数方程解的估计问题，具体包含以下内容：研究一般离散时间代数方程解矩阵的迹的估计。利用矩阵求逆公式给出一般离散时间代数方程的等价形式，通过矩阵

2、特征值和矩阵迹的性质，推导出其解矩阵的迹的三个新的下界，这些下界在一定条件下比现有结果保守性更小。研究一般离散时间代数方程解矩阵的估计。利用矩阵求逆公式及特征值性质，推导出其解矩阵的界，并建立了矩阵的迭代格式对界进行了改进。研究摄动离散时间代数方程解矩阵的估计。利用矩阵运算性质给出在一定的不确定性假设下其对称正定解矩阵的上下界的估计，且界的估计均由一个矩阵不等式与一个离散时间代数方程确定。研究摄动连续时间代数方程解的估计。利用矩阵运算性质给出在一定的不确定性假设下其对称正定解矩阵的上下界的估计，且界的估计由一个连续时间代数方程或不等式给出，同时给出了该方程存在对称正定解的条件。研究摄动连续时间

3、代数方程解的估计。通过补和矩阵不等式的一些性质给出了解矩阵存在的条件以及解矩阵的上界，同时通过运用矩阵不等式的性质给出了解矩阵的两个下界。关键词代数方程：代数方程；解矩阵；矩阵的界；摄动哈尔滨理工大学理学硕士学位论文，：，；，哈尔滨理工大学理学硕上学位论文，哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文代数方程与方程解的估计，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担

4、。作者签名：毕；乌云日期：如年月日哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书代数方程与方程解的估计系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。本学位论文属于保密口，在年解密后适用授权书。不保密。（请在以上相应方框内打）日期：如。孑年月日，五铊吻，哈尔滨理大学理学硕十学位论文研究目的及

5、意义第章绪论物理和工程中的许多问题，如线性二次最优控制、滤波、控制、完全最小二乘法、两点边值等问题，最终会归结为特殊方程一矩阵代数方程与方程的求解问题。上述的方程与方程是工程领域的两类非常重要的方程，包括连续和离散两种情形，是指在对连续或离散的动态系统进行研究时所遇到的关于矩阵的对称或非对称形式的二次代数微分方程。上述方程广泛应用于工程系统理论的各个领域，特别是控制系统理论领域【】。这两类方程在系统稳定性分析、最优控制器和过滤器设计、瞬时性态评估中都发挥着重要的作用。此外，这些方程的解的界还应用于解决系统稳定性分析【】、时滞系统控制器设计【】、最大成本估算和控制器设计【】、数值算法的收敛性【】

6、、微分方程的性态】等中的许多控制难题。通常情况下我们需要求解这两类方程，然而当矩阵维数增大时，方程求解将变得相当困难；另一方面，有时可能只需要方程的近似解或精确解的估计。为此，对这两类方程解的的估计也具有重要的实用价值和理论意义。同时，在自然界中，存在着各种各样的不确定因素，这些不确定因素制约着、甚至是支配着大自然的运动规律。在实际的工业控制中，一方面，各种工业生产过程、生产设备以及其它众多的被控对象，其动态特性一般都难以用精确的数学模型来描述，有时即使能获得被控对象的精确数学模型，但由于其过于复杂，也难于对其进行有效的性能分析和综合，因此必须进行适当的简化，从而造成一定的不确定性；另一方面，

7、时滞现象大量存在，如长管道进料或皮带传输、缓慢的化学反应过程、网络控制系统信号的传输以及复杂的在线分析仪等均会导致时滞现象。不确定性和时滞性的存在，造成了系统控制无论在理论分析上还是工程实际中都有特殊的困难，并且实践证明，系统中不确定性和时滞的存在常常是系统性能变差和系统失稳的主要原因。我们考虑带有参数不确定性和时滞的摄动连续与离散时间系统时，由于系统中的矩阵代数方程和矩阵代数方程关于系统中的不确定性参数矩阵是非线性的，在具体研究中还会遇到许多与连续系统情形不同的且难于处理的情况，所以涉及到摄动连续与离散矩阵代数方程及到摄动连续与离散矩阵代数哈尔滨理大学理学硕上学位论文方程和连续离散矩阵代数方

8、程的求解时有时是无法进行的。事实上，在实际问题中常常只需知道摄动连续与离散矩阵代数方程和代数方程的解的上下界的估计值，甚至是特征值的估计值，而不必求其精确解，比如，在随机系统的稳定协方差问题中，常常只要求摄动方程的解的迹的上下界。目前，这方面的工作近几年已为人们所重视，但所获得的成果还较少。所以对摄动的矩阵代数方程和矩阵代数方程的研究更具有重要的理论和实际意义。国内外研究现状分析离散时间矩阵方程解的估计离散时间代数方程的研究源于上个世纪八十年代，年，】利用不等式得出离散时间代数方程解的一个上下界，为其研究开辟了先河；年，开始了对离散时间代数方程解的特征值的界的估计；之后产生了大量相关的成果，其

9、中以年】利用一个函数与算术一几何平均不等式所得解的界的估计更具代表性；年，】利用不等式以及解的特征值之间的关系进一步给出了离散时间代数方程的下界；年，¨】通过定义一个（五，）函数，用其相关项来估计离散时间代数方程的解，从而得出解的范数的一个上界及解的迹的上界；年，同时给出了连续、离散以及统一的三种方程的解的下界，为离散、连续两种方程的解的关系提供了一个联系的媒介。对于摄动离散时间代数方程，早在年【”】研究了这一问题，然而需要求解一个四阶代数矩阵方程，且没有讨论算法；年孙翔】通过对不确定离散随机系统协方差的定界研究，为摄动离散时间代数方程在满足范数有界不确定性的情形下解的上下界的估计提

10、供新的思路；直至年，在王子栋【】的研究下，这一问题才得到解决；年，陈东彦【与候玲【】首次给出了满足非结构不确定性、强结构不确定性、多胞型结构不确定性、范数有界不确定性等多种摄动情况下离散时间代数方程的解的界，为摄动离散时间代数方程的解的研究开辟了新的领域。而离散时间代数方程的研究始于年，】利用矩阵恒等式对标准离散时间代数方程进行恒等变形，将方程求解问题转化成对关于方哈尔滨理大学理学硕士学位论文程解矩阵的行列式的一元二次不等式的求解问题，从而得出两类方程矩阵解的行列式的下界；年，】给出了标准离散时间代数方程迹的下界，先对矩阵（】，）的迹的下界进行估计，从而得出比以前更强的结果；之后产生了大量的相

11、关结果】，其中。具有代表性。年】利用迭代法进一步加强了结果；随后国内学者张端金】则基于算子的描述，统一研究了连续时间代数与方程和离散时间代数方程的定界估计问题，并给出在极限情形下的估计结果；年基于线性矩阵不等式并结合弓理的方法为我们的研究提供了新的思路。年余军扬【】贝得出方程亚纯解（胁）级的上界；年】基于算子的描述，对统一的方程进行了研究，并在此基础上分别给出了离散与连续方程的上下界，再次实现了连续与离散的完美结合；年，包志华【利用矩阵逆公式及矩阵解及特征值满足的不等式对此类方程进行了研究。对于稍一般离散时间代数方程，年！”】给出其上下界并且给出给出了相应的离散系统中的应用，并且针对特殊情况与

12、同期成果进行了比较；年，高明杵【】研究了无限维离散时间代数方程的非负自伴解，给出了有非负自伴解的充要条件。年，中国学者卢琳璋【从对标准离散时间代数方程解的界的研究转向对一般的离散时间代数方程解的界的研究，导出一个求解的简单迭代，并得出在一定条件下离散时间代数方程的解与方程的解的关系，即，为两类方程的解之间架起了一座桥梁，并且首次提出了方程的级数形式的解；年，李学俊】指出用商的极性来研究此类问题的新方法得出了更一般的矩阵解的下界；年，李学俊【】再次利用矩阵迹以及矩阵特征值之间的关系再次给出了一般离散时间代数方程解的的特征值的下界；年，王德玉【对一般离散时间代数方程解进行了研究；年，陈东彦【】首次

13、给出了针对范数有界不确定性的摄动离散时间代数方程的解的估计，为摄动离散事件代数代数方程的解的估计开辟了理论的先河。、从目前对两类方程的研究来看，对离散时间代数方程与标准离散时间代方程解及其相关项的上下界的研究较多，但对一般离散时间代数方程及摄动方程解的上下界的研究才刚刚起步。本课题将以这两类方程为主要研究对象，讨论方程解的相关项界的大小。哈尔滨理工大学理学硕士学位论文连续时间矩阵方程解的估计针对连续时间矩阵方程与方程解的估计，到目前为止国内外学者做了大量的工作。早在年，国外学者与】就开始对其研究；年，】对两类方程的解的谱范数以及迹进行了估计，并与前人的结果进行了比较，说明了所得结果的有效性，之

14、后产生了大量的相关成果【¨卯。年】利用不等式以及谱范数的性质、矩阵迹的性质等再次对解矩阵的谱范数及迹的上下界进行了估计，得到了更精确的解的估计。同年，对两类方程的连续与离散的形式进行了总结，分类总结了两类方程在此之前给出的解矩阵的迹的下界、最大与最小特征值的下界、若干特征值的乘积的下界以及行列式的下界等。年，利用扰动的矩阵方程的相关性质去逼近原始方程的解，给出了方程解的近似估计，这是对两类方程的解的估计一种比较典型的方法。随后又有大量的相关文献，】对两类方程的解的估计进行了研究。年，对定义在三种不同的定义域上的广义时间代数方程进行适当变形以后，利用离散与连续时间代数方程级数形式的解和

15、指数形式的解以及一系列相关的性质，对定义在三种不同的定义域上的广义时间方程以及线性扰动系统的鲁棒根簇进行了估计，将对方程根的研究推向了更广泛的区域，同时更好体现了两类方程解的界的估计的实际应用价值。年，中国学者张维海【，】对广义连续时间代数方程进行了研究，给出了个广义连续时间方程的比较原理，作为推论给出了广义连续时间代数方程解的存在条件，并且提出了强解的概念。年，通过构造一个正定矩阵，使用配方给出了连续时间代数方程矩阵解的下界，与以前所得结果比较，从很大程度上降低了保守性，同时给出的上下界也比以前的结果更精确。年，】基于算子的描述，统一研究了离散与连续两种形式矩阵方程解的上下界的估计，年，】利

16、用迭代的方法对连续时间方程的矩阵解再次进行了估计。“从目前对两类方程的研究来看，对连续时间代数方程与方程解及其相关项的上下界的研究较多，对两类方程的解矩阵的估计越来越精确确，但在实际中对两类方程的摄动形式的上下界的研究更具现实意义，到目前为止没有文献对这两类方程的连续形式的摄动方程进行研究。本文将以摄动连续时间代数方程为主要研究对象，讨论方程解矩阵的上下界。哈尔滨理工人学理学硕士学位论文课题来源本课题属于理论研究范畴，来源于指导教师的国家自然科学基金项目。主要针对在控制系统中广泛应用的矩阵代数方程与方程的解进行估计。本文主要研究内容总结前人所做的工作，我们看到，对两类方程的研究已经取得了很多具

17、有代表性的成果，但是这些方法仍然存在一些局限性和亟待解决的问题。如：（）在对一般离散时间代数方程解矩阵进行估计时，对方程的要求比较高，从而造成保守性比较大，所得结果适用范围受限制；（）对摄动离散时间代数方程解矩阵的估计到目前为止仅局限于对标准离散时间代数方程满足范数有界不确定性的摄动的情形进行了研究，而对一般摄动离散时间代数方程未加讨论；（）对摄动连续时间代数方程与方程的研究至今未见报道：针对已有研究中存在的各种问题，本文将讨论以下四个代数方程解的估计问题。（）离散时间代数方程（，）彳尸一尸一（。三）（）（召。掣）其中，彳，“”，脓一，”均是常值矩阵，且和（一衄）（一）是半正定矩阵，是正定矩阵

18、，尸丁是矩阵变量。（）一般摄动离散时间代数方程（，）。（彳）尸（彳）一一【（么）三】（）（彳）其中，“”是稳定矩阵，肼”，“埘和“”均是常值矩阵，且（），和是对称正定矩阵，“”是矩阵变量。“”为不确定矩阵，表示矩阵么的结构摄动，假设口：，（彳），（彳）进一步，假设矩阵对（么鲋，¨）是可稳的【。哈尔滨理工大学理学硕十学位论文（）摄动连续时间代数方程（，）（彳鲋）尸（么）一其中，“”与“”是给定的常值矩阵，并且“”是渐近稳定的，是对称正定矩阵，“”为不确定矩阵，表示矩阵的结构摄动，且，使得彳幽是渐近稳定的，进一步，我们假设（彳鲋，¨）能稳。（）考虑摄动连续时间代数方程（，）（彳

19、鲋）。（）尸即其中，“”与“”是给定的常值矩阵，并且“”是渐近稳定的，是对称矩阵，且（么鲋，“）能稳，鲋“”为不确定矩阵，表示矩阵彳的结构摄动，假设“”满足范数有界不确定性，即这里，“，段”为已知矩阵，“为未知不确定矩阵，但满足。最后，我们对两类方程的解的上下界的估计作了总结，并提出了有待解决的相关问题，对日后的工作进行了展望。本章小结本章首先论述了本文研究的目的和意义，阐述了代数矩阵方程方程与方程解的估计在国内外研究的现状，介绍了在两类方程的解估计研究中亟待解决的问题，说明了代数矩阵方程重要学术意义与应用价值。同时介绍了本文的主要的研究内容。哈尔滨理大学理学硕十学位论文第章基础知识离散时间代

20、数方程在考虑离散线性定常系统的线性二次最优控制问题中，引入了离散时间代数方程，该方程在系统控制研究中起到了重要作用。设系统为（后）彳（忌）“（七）（）（）所考虑的二次型性能指标为，（尼）（七）“（尼）“（后）】（）厶其中，（后）”表示系统状态变量，（）“表示系统输入变量，蹦”和“均为系统矩阵，“”和”均为对称正定矩阵，且设么是可逆的。问题：确定最优控制序列甜（），“（），（一）使性能指标，达到最小值。这一最优控制问题的解为（）一（召）（）（）其中，尸为彳尸一尸一（）（）的对称正定解矩阵。在式（）中，令，得剐一（）（）我们称方程（）为标准。同样地，称方程么刚一尸一（么口三）（尺）一（以）（）为一

21、般。其中“肘。在式（）中，将彳换成么鲋，得（彳锄（）一一【（由（）一【（彳锄丁（）称方程（）为。假设方程（）中鲋满足下列条件之一：哈尔滨理工大学理学硕士学位论文（）非结构不确定性即存在万，使得（彳（尼）万或彳（尼）万，七，其中，（鲋（后）和削（后）忙万分别表示鲋（七）的最大奇异值和范数。（）强结构不确定性即存在非负矩阵（每个元素均为非负数），使得鲋（后）（吃）脚其中，鲋（后）表示鲋（七）的模矩阵，即由鲋（尼）的元素的模组成的矩阵，且“”表示两个矩阵对应元素之间的小于等于关系。（）范数有界不确定性即其中，“，”为已知矩阵，“为未知不确定矩阵，但满足，或：，是已知常数，是相应维数的单位矩阵。（）矩

22、阵多胞型结构不确定性即存在已知矩阵巨“”，未知参数吒（七），使得彳（尼）（尼）巨，量（后）亏或（七），其中，耳，均是已知常数。连续时间代数方程在考虑连续线性定常系统的稳定性分析问题中，引入了连续时间代数方程，该方程在系统控制研究中同样起到了重要作用。设系统为戈（），洒：（）其中，（）”为，维状态，状态空间原点即为系统的一个平衡状态。对于刀维连续时间线性时不变系统系统（），原点平衡状态艺是渐近稳定的充分必要条件为，对任给一个×玎正定对称矩阵，连续时间代数方程彳尸以一（）有唯一刀×刀正定对称解尸。在式（）中，将彳换成么鲋，得（彳削）尸（）（）称方程（一）为摄动连续时间代数方程。

23、其中鲋同节。哈尔滨理工大学理学硕士学位论文连续时间代数方程在考虑连续线性定常系统的线性二次最优控制问题中，引入了连续时间代数方程，该方程在系统控制研究中起到了重要作用。设系统为够彳（）“（）（）所考虑的二次型性能指标为，】芎（，）（）（）尺“（）】衍（）其中，（）”表示系统状态变量，甜（）”表示系统输入变量，脓”和“”均为系统矩阵，“”和”均为对称正定矩阵，且设么是可逆的。问题：确定最优控制“（），使性能指标达到最小值。这一最优控制问题的解为甜（，）叫。（）（）其中，尸为连续时间代数方程彳尸尸尸础（）的对称正定解矩阵。称方程彳尸剐（）为标准连续时间代数方程。在式（）中，将彳换成彳鲋，得（彳）（

24、）尸尺（）称方程（）为摄动连续时间代数方程。本文常用数学符号文中“”表示聆×疗阶实矩阵集合，厶表示阶单位矩阵，（）和允。（）分别表示”的第个奇异值和第个特征值，并假定矩阵“”的特征值、奇异值均按递减顺序排列，即（）如（）以（）！（）（）吒（）。哈尔滨理工大学理学硕十学位论文本章小结本章给出了代数阵方程与方程的基本概念，同时介绍了在本文中所用到的一些数学符号所表示的意义。为后面所研究的内容提供理论依据。哈尔滨理工大学理学硕士学位论文第章离散矩阵方程解的估计一般离散矩阵方程解的迹的下界本节研究一般解的估计问题。首先，利用矩阵求逆公式给出的等价形式；然后，通过矩阵特征值和矩阵迹的性质，推导

25、出的解矩阵的迹的三个新的下界；最后比较说明了这些下界在一定条件下比现有结果保守性更小；借助于数值算例进行了验证。问题描述考虑彳一尸一（彳）（）（召）（）其中，彳，“，“”，”均是常值矩阵，且和（一三）（）是半正定矩阵，是正定矩阵，是矩阵变量。方程（）在控制论中占有核心地位，在系统设计、信号处理及最优控制等领域具有广泛的应用。通常情况下，需要求解方程。然而当矩阵维数增大时，方程求解将变得相当困难，而且在许多控制应用中有时只需要方程解的特征值或迹的估计，而不需求方程的精确解，因此对此类方程解矩阵的迹估计具有重要实用价值和理论意义。近年来，许多学者对标准离散时间方程，即么，尸一尸一（）一的解的研究产

26、生了很多成果，但对一般方程的解的研究相对较少，本节给出方程（）的解矩阵的迹的几个新的估计结果，从应用角度看更具有普遍性。所用引理引理对于适当维数的矩阵，】，有下式成立：（形一一一（一）一肼一引理（）等价于彳。（肋。）彳（）哈尔滨理大学理学硕十学位论文其中，彳，百。坨，。耍，以下同。并且由文献【】有仃（尸）护（互）器岛其中扣而而描萨层届五（肋）乃（）】¨届一丸（彳彳）一（船。）乃（）证明将式（）打开得刚一（彳）（）（刚）彳彳一（）一丁（）一一（）一（）一（）利用引理有（）一一（尸一一）一（召）一（一一）一由（一）（，）得（）（尸傩）一一（一一）一（尸一一）一从而一（尸）（一）。即一一尸

27、一曰（尸一）（一）应用式（）知（）（一）同理可证（尺）一尸一（尸一）一故由式（）得（尸一一召）彳一彳（尸一一）一一召（尸一歙）一一（一）】（）（尸。一）（彳一）（一三尺）（。丽）彳委其中，一一歙，否坨，豆一三，得证。引理【设彳，脚，且彳，则有（）（）哈尔滨理大学理学硕士学位论文（彳）（）（）（）无（彳）（）引理删设彳，舢，且么，则对，有乃一（么）允，（彳）五（），刀以一。（彳）名，（么）以（曰），刀弓理设彳，删一，且彳彳，：，则对，有）以（）且当彳时不等式严格成立。引理。设彳，且彳，则有（）一】甬而（丽）主要结果本小节将推导的解矩阵的迹的三个下界。定理（）的解矩阵的迹护（）满足（即（奶乞（刀乃

28、善再器口（）证明对（）的等价方程式（）懒，并据引理、引理及引理，有仃（尸）“匝）仃【矛（尸谚旧】砸）善而南磊（彳）喜灭栖乃（彳彳）芸丁瓦兰乃（彳）薯貉无（彳才）÷名（生坠）（）移项得证式（）。定理迎（）的解矩阵的迹（）满足：（）（易气（才丁乃乃（）乃（易五（面，）（）其中，满足：五（才彳），以（才），。证明对（）的等价方程式（）端同时求迹，利用引理及引哈尔滨理大学理学硕士学位论文理，有咿）一仃（）以（刁彳）石万素丽而一，。上上，砸砀，窆。可丽（）撕砀，薹。雨貉移项得证式（）。注在引理与定理中，若互与矛奇异，则（）；但只要以，（互），则定理的（）。而在很多情形下会出现这种情况，此时定理

29、比引理与定理都具有较小保守性，同时在定理中当（）中取厶。，三时式（）将给出相应的标准的结果。定理（）的解矩阵的迹（）有以下关系：旧业驾铲钆（）、兄（胎。）、其中乃（彳）一丑（丽）（互）证明对式（二）两端同时求迹有（）（）九（。么）（叫。）由引理有（丽）一巧刁弱（巧）面万，代入上式有（。）（）一（）一（）解此不等式即得证式（）。注虽然很难直接比较引理与定理的优越性，但从其证明过程易知，当互奇异且以（矛彳）时有，（）。数值算例翟（）中，令系数矩阵么：，孑，：；三三；三，三：；主解。一，得言呈，一。由引理及定理一定理有岛，钆。例毛（）中，令系数矩阵彳：；三三，召三，：，尺，三解。伽（脚盅卜眦巾理及趣

30、一定理，有包，如，玩。在此二算例中为文献【】中结果，钆为本文结果，算例说明本文所求结果相对优于文献】结果。一般离散矩阵方程解的估计本节研究一般解的估计问题。利用矩阵求逆公式及特征值性质，推导出的解矩阵的界；并建立矩阵迭代对结果进行了改进；比较说明了这些解矩阵的界比现有结果保守性小，通过数值算例说明了所得结果的有效性。问题描述本小节仅在（）有唯一对称正定解的情况下讨论解矩阵的“范围”，即解矩阵的下界与上界。所用引理引理设彳，“”，且，则当时，有一。引理【川设彳，联押，且，则对，刀，有五（）（）（），丑（）（）（），歹引理岳设，脓”，若，那么对任意有。主要结果定理设（）的唯一对称正定解为尸，则有彳

31、（丽）一兰五（）其中哈尔滨理工大学理学硕十学位论文托（缈）叫彳（一）缈而崩糍鬻器丽五彳。砑（），。召。么）、证明利用式（）、以（尸），及引理、引理，有。【行（），胎】彳（）以（尸）彳，以（尸）。】彳以（尸）彳曰（屯（），）。】利用引理又有乃（）彳，一衙（尸），曰】曰）彳以（）么。，一九（），以（尸）召曰】曰么由式（）及（丽）知尸耍，由引理知乃（）五（耍），代入上式得以（）彳。，一以（尸）【，（）】）彳以（）彳一以（尸）以（）么无（）】再由引理、，知以（尸）以以（互）才才互一无（）以（互）互吾【丸（互）否否】百才）乃【以（互）彳互】以一丸（尸）以（互）彳研，以（互）百司百彳）以以（耍）彳一以（）

32、丸（互）互百【，无（互）否百】。百彳）即以）了；忑荔拳畜耋耋笔多蒡暑妒（一，由乃（尸）伊及引理易得（行（）（瓦百）（）由式（）、（）、（）及引理有（伊叫肋。）彳三再次由引理得（丽）一（材，面）（）将式（）代入式（）得证。注若记（）矛（一丽）。才耍，以五为初始矩阵，建立迭代格式五（以一），可以得到一个上有界的单调非减矩阵序列鼍五，哈尔滨理工大学理学硕士学位论文当才非奇异时，该序列中的矩阵均为对称正定矩阵，所以在实际应用中，可以使用上述迭代过程改进解尸的下界矩阵。推论对于（）的唯一对称正定解尸，有丑（尸）五（），江，（）（），（）（）。定理设（）的唯一对称正定解为尸，若【矸（），】叫】）（）则有么

33、行（）（一），】叫彳暑誓（）证明由式（）有彳（。丽）一一一据丑（），及引理、引理，有。【玎（尸），】彳（尸）彳，（）。】叫（）么。【（），）】叫（）利用引理，有（尸）。，一矸（尸），】）彳（）彳。一五（尸）彳召订（），。召（）由式（）乏（丽）知互，由引理知（）（互），代入式（）有（尸）彳一（尸）彳百订（耍），百百】一百彳蚕（）么。订（），召。】）彳由引理、，知五（尸）（尸）彳彳一（尸）彳百衙（耍），百百】一否彳耍）（）一彳订（），】。彳（）因此当式（）成立时，我们有（）（）（一）（）将式（）代入式（）即得证式（）。注若以巧为初始矩阵，并由式（）建立迭代格式（一。），可以得到一个下有界的单调非增矩阵序列斯，当彳非奇异时，该序列中的矩阵均为对称正定矩阵。注定理