函数单调性讲义提高

1、.函数单调性1 单调性定义（ 1）单调性定义：设函数的定义域为A，区间 IA 。如果对于任意x1 ， x2I ，当 x1x2 时，都有 fx1fx2 ，那么就说fx 在区间 I 上是单调减函数 区间 I 叫做 fx 的单调减区间；如果对于任意x1 ， x2I ，当 x1x2 时，都有 f ( x1)f ( x2 ) ，那么就说fx 在区间 I 上是单调增函数区间 I 叫做 f x 的单调增区间；单调增区间或单调减区间统称为单调区间。（ 2）函数的单调性通常也可以以下列形式表达：f ( x1 )f ( x2 )0f ( x1 ) f ( x2 )0 单x1x2单调递增x1 x2调递减例 1 定义

2、在 R 上的函数f ( x) 对任意两个不相等实数 a, b ，总有 f (a)f (b)0 成立，则必有（）abA 、函数 f ( x) 是先增加后减少B 、函数 f (x) 是先减少后增加C、 f ( x) 在 R 上是增函数D、 f ( x) 在 R 上是减函数（ 3）增函数、减函数的定义及图形表示;yyf(x 1)f(x 2)f(x 1)f(x 2)0 x1x2x0x1x2x增函数 : x1 x2f ( x1 ) f (x2 )减函数 :x1 x2f ( x1 ) f ( x2 )注意 ：对于函数单调性定义的理解，要注意以下两点 函数的单调性是对某一个区间而言的f(x) 在区间 A 与

3、 B 上都是增 (或减 )函数，在 A B 上不一定单调 单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x1， x2 在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替 在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域.例 1 下图是定义在区间-5 ， 5 上的函数yf ( x) ，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？y321-5-4-3-2-1O 12345x 1 2 3例 2 已知函数f( x)在区间 a， b上单调 ，且 f( a) f(b) 0，则方程f( x)=0 在区间 a， b内（）A 至少有一实根B至多有一实根C没有实根D 必有唯一的实根例 3 已知函数f (x)

4、 是定义在 1,1 上的增函数 , 且 f (x1)f (13x) , 求 x 的取值范围 .例 4 已知函数 f( x) x 1，若 f(a 1)< f(10 2a)，则 a 的取值范围是 _ ( ， 1) (3,5)a 1>0a 1<0解析 a 1<0或 10 2a<0 a<1 或 3<a<5.由题意，得或 10 2a>010 2a>0a 1>10 2aa 1>10 2a2 函数单调性的证明方法（1）定义法 ：1 任取 x1 ， x2 D ，且 x1<x2 ；2 作差 f(x1) f(x2) ；3 变形（通常是因

5、式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x1) f(x2) 的正负）；5 下结论（指出函数f(x) 在给定的区间D 上的单调性） （2 ）图象法 (从图象上看升降 )例 1 判断函数 y x4上的单调性 , 并用定义证明 .在 2，x.例 2 试讨论函数 fx1 x2 在区间1,1 上的单调性. 解： 设 x1, x21,1 ，且 x1x2 f x1f x21 x121 x221x121x22( x2 x1)( x2 x1)1 x121 x221 x121 x2 22122 x x 0，1 x11 x20， 当 x2x10时， x1x20，那么 fx1fx2当 0x2x1 时， x1x20 ，那

6、么 fxfx21故 f x1x2在区间1,0上是增函数，在区间0,1 上是减函数例 3 已知函数fx12 用单调性定义证明：fx 在,1 上为增函数 ；x1解设 x1 x21， f x1x2x1x2x12f x21220x1x21所以 fx 在,1上为增函数 .例 4 证明函数f( x) 2x1x在 (， 0)上是增函数设 x1 2是区间 ( ，0) 上的任意两个自变量的值，且1 2， xx <x .则 f(x1) 2x1 1 ， f(x2)2x2 1 ，x1x2122x1 1 2x2 1f( x ) f(x )x1x2111 2(x1 x2) x2x1 (x1 x2) 2x1x21由于

7、 x1<x2<0，所以 x1 x2<0,2x1x2>0，因此 f(x1) f(x2)<0 ，即 f(x1)< f(x2)，故 f(x)在 ( ，0)上是增函数例 5 函数 f(x)的定义域为 (0， )，且对一切x>0， y>0 都有 f x f( x) f(y)，当 x>1 时，有 f(x)>0. y(1)求 f(1) 的值；(2)判断 f( x)的单调性并加以证明；(3)若 f(4) 2，求 f(x)在 1,16 上的值域解： (1) 当x>0， y>0 时，.xf y f( x) f(y)，令 x y>0，则

8、f(1) f(x) f( x)0.(2) 设 x1， x2(0， )，且 x1<x2，x2则 f(x2) f(x1) f x1，x2 1x2x221>x >0. >1，f1>0. f(x )>f(x )，即 f(x)在 (0， )上是增函数x1x(3) 由 (2)知 f(x) 在1,16 上是增函数x16f(x)min f(1) 0， f(x) max f(16)，f(4) 2，由 f y f(x) f(y)，知 f4 f(16) f(4) ，f(16) 2f(4) 4，f(x)在 1,16 上的值域为 0,4 例 6 定义在 R 上的函数 f(x)满足：对

9、任意实数 m， n，总有 f(m n) f(m) ·f(n)，且当 x>0 时， 0<f(x)<1.(1)试求 f(0) 的值；(2)判断 f( x)的单调性并证明你的结论；解： (1) 在 f(mn) f(m) ·f(n)中，令 m 1，n 0，得 f(1) f(1) f(0)·因为 f(1) 0，所以 f(0) 1.(2)任取 x1， x2R，且 x1<x2.在已知条件 f(m n) f(m) ·f(n) 中，若取 m nx212121， m x，则已知条件可化为：f(x ) f(x ) ·f(x x )由于 x2

10、121 x >0，所以 0< f(x x )<1.为比较 f(x211)， f( x )的大小，只需考虑f(x )的正负即可在 f(m n)f(m) ·f(n)中，令 m x， n x，则得 f(x) ·f( x) 1.因为当 x>0 时， 0< f(x)<1，所以当 x<0 时， f(x)1>1>0.f x又 f(0) 1，所以综上可知，对于任意的x1R，均有 f(x1)>0.所以 f(x2 ) f(x1 ) f(x1) f(x2x1) 1<0.所以函数f( x)在 R 上单调递减3 复合函数的单调性判断（

11、 1）复合函数的概念如果 y 是 u 的函数， u 又是 x 的函数，即 yf u ， ug x，那么 y 关于 x 的函数 yf g x 称为 f,g的复合函数， u 为中间变量。（ 2）结论：设函数 u g x在区间 M 上有意义，函数y fu 在区间 N 上有意义，且当 X M 时， u N 。有以下四种情况：.（1）若 ug x 在 M 上是增函数，yf u在 N 上是增函数，则yfg x（2）若 ug x 在 M 上是增函数，yf u在 N 上是减函数，则yfg x（3）若 ug x在 M 上是减函数，yf u在 N 上是增函数，则yfg x（4）若 ug x在 M 上是减函数，yf

12、 u在 N 上是减函数，则yfg x即：同增异减。注意：内层函数 ug x 的值域是外层函数 yf u 的定义域的子集。（ 3）用表格表示，如下（实施该法则时首先应考虑函数的定义域.）在 M 上也是增函数；在 M 上也是减函数；在 M 上也是减函数；在 M 上也是增函数。t g(x)y f(t)y fg(x)增增增增减减减增减减减增注意： 1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.例 1 yx 22x例 2 求函数 y2xx2 的递减区间。例 3 求函数 f(x) x2 x6的单调区间解：设 u x2 x 6，y u.由 x2 x 6 0，得 x 3

13、或 x 2.结合二次函数的图象可知，函数ux2 x 6 在 ( ， 3上是递减的，在2， )上是递增的又函数 yu是递增的，函数 f(x) x2 x 6在 ( ， 3上是递减的，在2， )上是递增的4 函数单调性的常见结论奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数f ( x)增函数 g(x) 是增函数；减函数f (x)减函数 g( x) 是减函数；增函数f ( x)减函数 g(x) 是增函数；减函数f (x)增函数 g( x) 是减函数.函数 y axb (a 0, b 0) 在,b 或b ,上单调递增；在b ,0 或0， b上xaaaa 若 f

14、(x) 为增 (减 )函数，则 f(x) 为减 (增)函数，5 常见函数的单调性例 1 设函数 f (x)(2a1) xb 是（ - ， +）上的减函数，若a R, 则（）A.1B.1C.1D.1aaaa2222例 2 函数 y=4x2-mx+5 在区间2，上是增函数，在区间，2上是减函数，则m=_;例 3 函数 f ( x) | x | 和 g( x)x(2x) 的递增区间依次是（）A (,0, (,1B (,0, 1, )C 0,), (,1D 0, ),1,)例 4 已知函数 f xx22 a1 x2 在区间,4 上是减函数，则实数 a 的取值范围是（）A a 3B a 3C a 5D

15、a3例 5函数 f(x)=ax2-(5a-2)x-4在 2,上是增函数 ,则 a 的取值范围是 _.例 6求函数 yx26 x1的单调区间b例 7若函数 y ax 与 y x在 (0， )上都是减函数，则 y ax2 bx 在(0 ， )上是 ()A 增函数B 减函数C先增后减D先减后增例 8 函数 y (x 3)|x|的递增区间是 _解析： y (x 3)|x| x2 3x， x>0，x2 3x，x 0.3作出该函数的图象，观察图象知递增区间为0，2 .3答案：0， 2例 9 求函数 y x2 2|x| 1 的单调区间 x2 2x1， x 0，解： (1) 由于 y x2 2x1， x

16、<0，. x 1 22， x 0，即 y x 1 22， x<0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为( ， 1和 0,1 ，单调递减区间为 1,0和 1， )6 函数的单调性的应用例 1设函数 f (x)是（， +）上的减函数，若aR，则（）A f ( a2+1)< f (a)B f (a2)<f (a)C f (a2+a)< f ( a)D f (a)>f (2a)例 2 已知函数 fxx2aa0在 2,上递增，求实数a 的取值范围 .x解：设 2x1x2 ，由f x1f x2x2a x2ax1x2x xx1x2x xa12a21120恒成立x1x2x1

17、x2x1x2即当 2x1x2 时， x1x2a 恒成立又 x1x24，所以0 a4例 3 求函数 f ( x)2 x1 在区间 1,4上的最大值、最小值 .x 1最大值为 f (4)2419 , 最小值为 f (1)2113 .415112例 4 若 f(x)ax 1在区间 ( 2， )上是增函数，则a 的取值范围是 _x 2解析： 设 x1>x2> 2，则 f(x1)>f(x2)，ax1ax 12ax1x2ax2 xx x22a 1而 f(x112211>0，则 2a 1>0.2) f(x )x 2x 2 x 2x 2 x 2x 21212121得 a>2.提高题1已知函数 f ( x)ax1 在区间2,上为增函数，则实数a 的取值范围 _x22已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间 (， 5)上单调递减，对任意实数t，都有 f(5 t)f(5 t)，那么下式子一定成立的是（）A f( 1) f(9) f(13)B f(13) f(9) f( 1)Cf(9) f(1) f(13)D f(13) f( 1) f(9)3已知函数 f(x)x2 4x， x 0，4x x2， x<