例说转化与化归思想

1、例说转化与化归思想复数中的转化与化归例 1 求复数7+24i 的平方根 .解析 设z=a+bi（a，bR）是复数 7+24i的平方根， 由平方根的定义得， z2= （a+bi）2=7+24i.即 （ a2-b2） +2abi=7+24i.因为 a，bR，利用复数相等得， a2-b2=7 ，2ab=24， 则a=4，b=3，或a=-4，b=-3.故复数 7+24i 的平方根为 ±（ 4+3i）.点评 将复数的开平方运算转化为平方运算、 将复数（虚 数）问题通过复数代数形式化归为实数问题，是处理复数问 题的基本策略 .立 ?w 几何中的转化与化归例 2 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，

2、ABCD，且 BAP= CDP=90 °.（1）证明：平面 PAB 平面 PAD ；（2）若 PA=PD=AB=DC ， APD=90 ° ，求二面角 A-PB-C 的余弦值 .解析 （1）证明：因为 BAP= CDP=90°，所以AB AP，CDDP.又因为 AB/CD ，所以 AB DP. 又PA?PD=P ，AB? 平面 PAB， 所以平面 PAB 平面 PAD.（2）由于平面 PAB 平面 PAD ，取AD 的中点 O， PA=PD ， APD=90 ° ，所以 OP平面 ABCD.以O为坐标原点， OA ，OP为x轴、 z轴（建系如上 图）.

3、不妨设 PA=PD=AB=DC=2.则 O（ 0，0，0）， P（0，0，2），A（2，0，0），B（2， 2，0），C（-2，2，0）.设平面 PBA 的一个法向量为 m= （x， y，z）， 则m?AP=0 ， m?AB=0 ， 即2x-2z=0 ， y=0. 取x=1 ，则 m=（1，0，1）.设平面 PBC 的一个法向量为 n= （x，y，z）. 则n?PB=0 ，n?BC=0，即2x+2y-2z=0 ，x=0. 取y=1 ，则 n=（0，1，2）. 记二面角 A-PB-C 的平面角为 ， 则cos=m?nm?n=（1，0，1）?（0，1，2）2?3=33. 点评 将立体几何中的一种位

4、置关系转化为另一种位置 关系，或转化为空间两向量的数量关系（共线与数量积坐标 表示） . 将立体几何中的线面角化归为空间两向量夹角坐标 表示，是立体几何最基本的解题策略 .解析几何中的转化与化归例 3 动圆M 经过点 F（1，0），且与直线 x=-1 相切. （1）求圆心 M 的轨迹 C 的方程；（2）直线 l过定点 F与曲线 C交于A ，B两点：若AF=2FB ，求直线 l 的方程；若点 K（k，0）始终在以 AB 为直径的圆内，求 k 的取值范围 .解析 （1）由题意得，点 M 到点 F（1，0）的距离与 点M 到直线 x=-1 的距离相等，所以点 M 的轨迹是以 F 为 焦点，直线 x=

5、-1 为准线的抛物线，其方程为 y2=4x.（2）设直线 l ：x=my+1 ，代入抛物线方程得， y2-4my-4=0.再设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m ，y1y2=-4.AF= （ 1-x1 ， -y1 ）， FB= （ x2-1 ，y2）.因为 AF=2FB ，所以 -y1=2y2 ，联立 y1+y2=4m ，y1y2=-4 解得， m= ±24. 即所求直线方程为 x= ±24y+1.KA= （x1-k，y1），KB= （ x2-k ， y2）.因为点 K（k，0）始终在以 AB 为直径的圆内， 所以 ?mR，KA?KB<0. 即?m

6、R，（x1-k）（x2-k）+y1y2<0 恒成立 .亦即?m R ， ( my1+1-k )( my2+1-k ) +y1y2<0 恒成 也就是 ?m R ， 4km2+4- （ 1-k ） 2>0恒成立 .当 k=0 时，显然满足 .当k0时，则k>0 ，且4-（ 1-k ）2>0 ，解得， 0<k<3. 综上所述， k 的取值范围为 0 ，3）.点评 解析几何是用代数方法研究几何问题， “将形化 数、以数解形”是解析几何特点 . 一般地，点 P在以 AB 为 直径的圆上（内、外） ?PA?PB=0 （0 ）.函数与导数中的转化与化归例 4 已知函

7、数 f （ x） =x22e ， g（ x ） =lnx ，（1）求证： ?x>0 ，f（x） g（x）恒成立；（2）是否存在常数 a，b，使得 ?x>0 ，都有 f（x） 2ax+b g（ x）恒成立？若存在， 求出 a，b的值；若不存在， 请说明理由 .解析 （1）设 h （ x） =f （ x） -g（ x） =x22e-lnx ，则h （x）=x2-eex.令h（x）=0得， x=e.所以函数 h（x）的最小值为 h（ e）=0，所以h（x）=f（x）-g（x）=x22e-lnx 0，即f（x） g（x）.（2）假设存在常数 a，b，使得对任意 x>0 都有 f（x）

8、 2ax+b g（ x）恒成立 .即x22e 2ax+blnx对任意的 x>0 恒成立 .而当x=e 时，122ae+b12， 所以2ae+b=12 ，则 b=12-2ae.所以 h（x）=x22e-（ 2ax+b ） =x22e-2ax-12+2ae 0恒成 立.当a<0时， h0=-12+2ae<0 ，所以不成立 .当a>0时， =（2a-1e）20，所以 a=12e ，则 b=-12.同理，令 （ x） =lnx-1ex+12 ，则 （x）=e-xex. 令（x）=0得， x=e.当x （0，e）时，（x）>0，（x）在（0，e） 上单调递增 .当x （e，+）时，（x）<0，x在（e，+） 上单调递减 .所以 （x）的最大值 （ e） =0.所以 lnx-1ex+12 0恒成立 .所以存在 a=12e，b=-12符合