导数的几何意义.

1、平湖市新华爱心高级中学教学案之教案总课时：课 题§ 1.1.3 导数的几何意义课型：新授课主备教师： 刘素课第梅时1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2知道曲线的切线的概念；学习目标3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；重点知道曲线的切线的概念及导数的几何意义，并会求切线方程；教学重难点难点切线概念；一回顾（一） 函数 y=f(x) 在 x0 附近的平均变化率割线的斜率 y=f(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率由导数的意义可知,求函数 y=f(x) 在点二新课讲授情境设置：通过前面的学习我们知道导数表示函数x0处的导数的基本方法y=f(x) 在 x0

2、 处的瞬时变化率，反映了备 课 札记y=f(x)在x0 附近的变化情况，导数f 'x0的几何意义是什么呢？（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当 Pn (xn,f(xn )( n1,2,3, 4)沿着曲线f (x)趋近于点P(x0, f ( x0 ) 时，割线PPn 的变化趋势是什么？归纳：当点Pn 沿着曲线无限接近点P 即x 0时 ,割线PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P 处的切线 .设置问题：（1）割线 PPn的斜率 kn ？(2) 割 线 PPn 的 斜率kn 与切线PT 的斜率 k有什么关系？(3) 切线 PT 的斜率 k 的关系式？说明：

3、（ 1）设切线的倾斜角为,那么当x0 时,割线 PQ 的斜率 ,图 3.1-2称为曲线在点P 处的切线的斜率.概念辨析 : 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质 函数在 xx0 处的导数 .（ 2）曲线在某点处的切线 :1)与该点的位置有关 ;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解 .如有极限 , 则在此点有切线 ,且切线是唯一的 ; 如不存在 ,则在此点处无切线 ;3)曲线的切线 ,并不一定与曲线只有一个交点 ,可以有多个 ,甚至可以无穷多个 .（二）导数的几何意义：函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数等于在该点( x0, f ( x0 ) 处的切线的斜率，即 f (

4、 x0 ) lim0f ( x0x) f (x0 )kxx说明： 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出 P 点的坐标 ;求出函数在点x0 处的变化率 f (x0 )lim0f ( x0x) f ( x0 )k ，得到曲线在点xx( x0 , f ( x0 ) 的切线的斜率；利用点斜式求切线方程.（三）典例应用例 1:（ 1）求曲线 y=f(x)=x2+1 在点 P(1,2) 处的切线方程 .练习： 求函数 y=3x2 在点 (1,3) 处的导数 .例 2（课本例2）如图 3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)4.9 x26.5 x10 ，根据图像，请描述、比较曲线 h(t

5、) 在 t0 、 t1 、 t2 附近的变化情况解：我们用曲线h(t) 在 t0 、 t1 、 t2 处的切线，刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况（ 1）当 tt0 时，曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴，所以， 在 t t0 附近曲线比较平坦，几乎没有升降（ 2）当 tt1 时，曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h (t1 )0 ，所以，在 tt1 附近曲线下降，即函数 h( x)4.9x26.5x 10 在 t t1 附近单调递减（ 3）当 tt2 时，曲线 h(t) 在 t2 处的切线 l2 的斜率 h (t2 )0 ，所以，在 tt2

6、 附近曲线下降，即函数h(x)4.9 x26.5x10 在 tt2 附近单调递减从图3.1-3 可以看出， 直线l1 的倾斜程度小于直线l2 的倾斜程度， 这说明曲线在t1 附近比在 t2 附近下降的缓慢例 3（课本例随时间 t （单位：3）如图 3.1-4 ，它表示人体血管中药物浓度min ）变化的图象根据图像，估计tcf (t) (单位： mg / mL )0.2 , 0.4 , 0.6 , 0.8 时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1 ）解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f (t ) 在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f (t) 在此点处的切线的斜率如图 3

7、.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值作 t0.8处的切线， 并在切线上去两点，如 (0.7,0.91)， (1.0,0.48) ，则它的斜率为：0.480.911.4k0.71.0所以f (0.8)1.4下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：t0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率f ' (t)0.40- 0.7- 1.4四课堂练习1求曲线 y=f(x)=x3 在点 (1,1) 处的切线；2求曲线 yx 在点 (4,2)处的切线五回顾总结1曲线的切线及切线的斜率；2导数的几何意义当堂检测（满分10 分）1 已知曲线 y2x2上一点 A 2,8处的切线斜率为（）A 4B.16C.8D.22 已知曲线 y2x21上一点 P1,3 处的切线方程为（）A y4x 1B. y4x 7C. y 4x 1D. y 4x 73. fx 在 xfx0 hf x0x0 可导，则 limh（）h 0A