高量7-01b 二次量子化方法

1、2022-1-261年月年月第七章第七章 二次量子化方法二次量子化方法2022-1-262引言引言全同多粒子体系全同多粒子体系难以用通常的波函数处理难以用通常的波函数处理发展了发展了二次量子化方法二次量子化方法 引入引入粒子占有数表象粒子占有数表象用各单粒子态填充用各单粒子态填充的粒子数描述状态；的粒子数描述状态；交换对称性交换对称性自动满足自动满足 基本算符：粒子的基本算符：粒子的产生算符产生算符和和消灭算符消灭算符 任意态矢和力学量均可用它们表示任意态矢和力学量均可用它们表示 有系统的法则计算力学量的矩阵元有系统的法则计算力学量的矩阵元2022-1-2637.1中心场近似中心场近似Cent

2、ral Field Approximation 2022-1-264一、多粒子体系的哈密顿量一、多粒子体系的哈密顿量考察序数为考察序数为 Z 的原子中的原子中 Z 个电子构成的体系个电子构成的体系在非相对论近似下，哈密顿量为在非相对论近似下，哈密顿量为ZirZeimiH122022|21jiijZjirerrrHijZiiiislrH)(22022-1-265一、多粒子体系的哈密顿量一、多粒子体系的哈密顿量对哈密顿量的分析对哈密顿量的分析序数的相对影响依赖于原子和21HH轻轻原子，前者重要，后者可视作微扰原子，前者重要，后者可视作微扰重重原子反之；原子反之；一般一般原子，二者都较重要原子，二者

3、都较重要120HHHHZiiiirZeimZiislrhHHi122120)(22为单粒子算符之和，可分离变量求解为单粒子算符之和，可分离变量求解2022-1-266二、中心场近似二、中心场近似 用单粒子位代替库仑排斥力用单粒子位代替库仑排斥力不能严格求解的存在使得EHH1因电子间库仑斥力具有很大的球对称成分因电子间库仑斥力具有很大的球对称成分可取一球对称的可取一球对称的单粒子位函数单粒子位函数之和代替之和代替ZiiZjireZiiirUrUhHij11)()(2视为微扰的选取应使二者之差可)(irU中心场近似中心场近似2022-1-267二、中心场近似二、中心场近似 中心场近似的实质中心场近

4、似的实质将将 Z 个具有相互作用的电子看作相互无作用个具有相互作用的电子看作相互无作用地在一个共同的中心场中运动地在一个共同的中心场中运动零级近似零级近似零级近似哈密顿量零级近似哈密顿量ZiiirUhH10)(分离变量求解分离变量求解), 2 , 1 (), 2 , 1 (0NENH)()()(i zinljnlji zinljiisrEsrrUh若)()2() 1 (), 2 , 1 (21NNN则2022-1-268二、中心场近似二、中心场近似原子核物理中的独立粒子模型原子核物理中的独立粒子模型2022-1-2697.2N个全同粒子体系的波函数个全同粒子体系的波函数零级近似波函数零级近似波

5、函数2022-1-2610一、一、Slater行列式行列式 全同粒子具有不可分辨性全同粒子具有不可分辨性全同多粒子体系的波函数必须满足全同多粒子体系的波函数必须满足交换对称性交换对称性 费米子费米子交换反对称交换反对称泡利不相容原理泡利不相容原理 玻色子玻色子交换对称交换对称中心场近似下中心场近似下N个费米子体系的状态波函数个费米子体系的状态波函数Slater行列式行列式；求和形式；求和形式N个对象的排列算符；个对象的排列算符； N=3的例子的例子2022-1-2611二、全同玻色子体系的波函数二、全同玻色子体系的波函数N个玻色子占有个玻色子占有N个状态个状态一般表达式一般表达式N=3的例子的

6、例子N个玻色子占有个玻色子占有m个状态个状态一般表达式一般表达式N=3的例子的例子2022-1-2612三、一般结论三、一般结论对称性确保满足全同性对称性确保满足全同性不可分辨性不可分辨性费米子体系波函数的反对称性费米子体系波函数的反对称性确保满足泡利不相容原理确保满足泡利不相容原理在中心场近似下，只需知道在中心场近似下，只需知道1、哪几个单粒子态被占有、哪几个单粒子态被占有2、每个单粒子态上有几个粒子、每个单粒子态上有几个粒子即可知道全同粒子体系的状态即可知道全同粒子体系的状态2022-1-26137.3粒子数表象粒子数表象Representation of Particle Number

7、2022-1-2614一、粒子数表象的由来一、粒子数表象的由来上述结论启发人们采用上述结论启发人们采用粒子数表象粒子数表象引入粒子的引入粒子的产生产生和和消灭算符消灭算符以简化多粒子体系力学量矩阵元的计算以简化多粒子体系力学量矩阵元的计算这种方法就叫做这种方法就叫做二次量子化方法二次量子化方法2022-1-2615二、粒子的真空态；产生消灭算符二、粒子的真空态；产生消灭算符产生算符的定义产生算符的定义真空态真空态定义；归一化条件定义；归一化条件单个粒子的状态单个粒子的状态N个粒子的状态个粒子的状态2022-1-2616二、粒子的真空态；产生消灭算符二、粒子的真空态；产生消灭算符消灭算符的定义消

8、灭算符的定义作用于真空态的效果作用于真空态的效果产生和消灭算符互为厄米共轭；产生和消灭算符互为厄米共轭；非厄米非厄米2022-1-26177.4粒子数表象中费米子体系粒子数表象中费米子体系的波函数及力学量的表示的波函数及力学量的表示2022-1-2618一、波函数的表示；产生消灭算符一、波函数的表示；产生消灭算符的对易关系的对易关系产生算符表示状态应与产生算符表示状态应与Slater行列式等价行列式等价产生算符的对易关系产生算符的对易关系消灭算符的对易关系消灭算符的对易关系2022-1-2619一、波函数的表示；产生消灭算符一、波函数的表示；产生消灭算符的对易关系的对易关系态矢量的正交归一化态

9、矢量的正交归一化产生算符与消灭算符之间的对易关系产生算符与消灭算符之间的对易关系态矢量内积；三个可能值态矢量内积；三个可能值N=1的情况的情况N=2的情况的情况2022-1-2620一、波函数的表示；产生消灭算符一、波函数的表示；产生消灭算符的对易关系的对易关系N个费米子处于个费米子处于N个单粒子态的态矢量表示个单粒子态的态矢量表示态矢量表示态矢量表示厄米共轭厄米共轭反对易关系反对易关系2022-1-2621一、波函数的表示；产生消灭算符一、波函数的表示；产生消灭算符的对易关系的对易关系利用对易关系计算利用对易关系计算Niia2101111 | 一般地，有一般地，有iiPinnnnnnnai1

10、|)(|2121；，或, 3 , 2 , 110ini11irrnP2022-1-2622一、波函数的表示；产生消灭算符一、波函数的表示；产生消灭算符的对易关系的对易关系同理可得同理可得1|1)(|2121iiPinnnnnnnai2022-1-2623一、波函数的表示；产生消灭算符一、波函数的表示；产生消灭算符的对易关系的对易关系iiinnnnnnnaaii2121|0in当1in当粒子数算符iiiaaN总粒子数算符总粒子数算符进而得到进而得到2022-1-2624二、力学量的表示二、力学量的表示单粒子算符单粒子算符例：单粒子动能算符例：单粒子动能算符N个粒子体系的动能算符个粒子体系的动能算

11、符在粒子数表象中的表达式在粒子数表象中的表达式其中矩阵元的含义其中矩阵元的含义2022-1-2625二、力学量的表示二、力学量的表示双粒子算符双粒子算符例：两个粒子相互作用位能算符例：两个粒子相互作用位能算符 N个粒子体系总的相互作用位能算符个粒子体系总的相互作用位能算符 在粒子数表象中的表达式在粒子数表象中的表达式其中矩阵元的含义其中矩阵元的含义2022-1-2626二、力学量的表示二、力学量的表示力学量表达式的由来力学量表达式的由来要求与波动力学矩阵元表达式相等而总结得到要求与波动力学矩阵元表达式相等而总结得到 单粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元单粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元有一个态不

12、相同的情况有一个态不相同的情况 双粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元双粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元有一个态不相同的情况有一个态不相同的情况2022-1-2627二、力学量的表示二、力学量的表示力学量表达式的由来力学量表达式的由来在粒子数表象下用上述力学量计算的结果在粒子数表象下用上述力学量计算的结果与此完全一致与此完全一致2022-1-26287.5维克定理维克定理Wick Theorem2022-1-2629一、正规积与收缩一、正规积与收缩正规积正规积一个以上产生消灭算符乘积的正规积为一个以上产生消灭算符乘积的正规积为全部产生算符排在全部消灭算符的左边全部产生算符排在全部消灭算符的左边 举

13、例；举例； 正负号问题正负号问题 正规积作用于真空态正规积作用于真空态2022-1-2630一、正规积与收缩一、正规积与收缩收缩收缩两算符乘积的收缩乘积正规积两算符乘积的收缩乘积正规积 总共只有四种收缩总共只有四种收缩收缩是个数收缩是个数ABABNABAB0| )(|00|02022-1-2631二、二、Wick定理定理n个产生算符与个产生算符与m个消灭算符的交叉乘积个消灭算符的交叉乘积在真空态上的平均值在真空态上的平均值当当n+m=奇数，为零奇数，为零当当n+m=偶数，为一切可能的收缩乘积之和偶数，为一切可能的收缩乘积之和 例：例：0|0321aaa0|04321aaaa2022-1-263

14、2三、三、Wick定理的应用定理的应用利用利用Wick定理，可以方便地计算矩阵元定理，可以方便地计算矩阵元0|02112aaaaaaaa 计算单粒子（单体）算符的矩阵元计算单粒子（单体）算符的矩阵元0|011NNaaaaaa列表计算收缩列表计算收缩Niii12022-1-2633三、三、Wick定理的应用定理的应用 计算单体算符的矩阵元（续）计算单体算符的矩阵元（续）0|011NNaaaataa代入单粒子位能算符矩阵元表达式代入单粒子位能算符矩阵元表达式2022-1-2634三、三、Wick定理的应用定理的应用 计算双粒子（二体）算符的矩阵元计算双粒子（二体）算符的矩阵元0|011NNaaaa

15、aaaa)(11ijjijijiijijNjjiijNji代入双粒子位能算符矩阵元表达式代入双粒子位能算符矩阵元表达式2022-1-2635四、哈密顿量及其零极近似四、哈密顿量及其零极近似哈密顿量在粒子数表象中的表达式哈密顿量在粒子数表象中的表达式 N个全同费米子体系零级哈密顿量的解个全同费米子体系零级哈密顿量的解0|21Niaaa本征态NiiiE10本征值CaaaN|0|210基态 用产生消灭算符表示的哈密顿量与粒用产生消灭算符表示的哈密顿量与粒子数无关，粒子数只表现在态矢量上子数无关，粒子数只表现在态矢量上2022-1-2636五、空穴算符五、空穴算符为计算方便，定义基态为为计算方便，定义

16、基态为真空态真空态 称称 | 0 为真正真空态为真正真空态此时，消灭算符作用于基态可能不为零此时，消灭算符作用于基态可能不为零NaaaCN210111 |0|21，0|; 0|CaCaNiii当2022-1-2637五、空穴算符五、空穴算符定义空穴（洞眼）的产生和消灭算符定义空穴（洞眼）的产生和消灭算符两类产生和消灭算符两类产生和消灭算符2022-1-2638五、空穴算符五、空穴算符对易关系对易关系 粒子算符与空穴算符全部反对易粒子算符与空穴算符全部反对易 粒子算符之间粒子算符之间 空穴算符之间空穴算符之间2022-1-2639五、空穴算符五、空穴算符正规积正规积（混合型）（混合型）收缩收缩2

17、022-1-2640五、空穴算符五、空穴算符Wick定理定理 例子例子2022-1-2641五、空穴算符五、空穴算符单体算符和二体算符在真空态下的平均值单体算符和二体算符在真空态下的平均值 单体算符的平均值单体算符的平均值 二体算符的平均值二体算符的平均值2022-1-2642五、空穴算符五、空穴算符激发态激发态 一粒子激发一粒子激发 二粒子激发二粒子激发 先消灭后产生先消灭后产生先产生空穴，后产生粒子先产生空穴，后产生粒子2022-1-26437.6粒子数表象中粒子数表象中玻色子体系的波函数玻色子体系的波函数Bosons System 2022-1-2644一、一、N个玻色子体系的态矢量个玻

18、色子体系的态矢量 N 个玻色子处于个玻色子处于 m 个不同单粒子态个不同单粒子态 态矢量态矢量 归一化因子归一化因子 坐标表象中的波函数坐标表象中的波函数2022-1-2645一、一、N个玻色子体系的态矢量个玻色子体系的态矢量产生消灭算符对易关系与归一化因子的确定产生消灭算符对易关系与归一化因子的确定 交换两粒子全部坐标，态矢量对称交换两粒子全部坐标，态矢量对称 产生算符对易关系产生算符对易关系 消灭算符对易关系消灭算符对易关系2022-1-2646一、一、N个玻色子体系的态矢量个玻色子体系的态矢量 态矢量应正交归一态矢量应正交归一 产生算符与消灭算符之间的对易关系产生算符与消灭算符之间的对易

19、关系 及归一化因子及归一化因子2022-1-2647一、一、N个玻色子体系的态矢量个玻色子体系的态矢量 N=1的例子的例子 N=2，且两粒子所处单粒子态相同，且两粒子所处单粒子态相同 N=3，且三个粒子所处单粒子态相同，且三个粒子所处单粒子态相同2022-1-2648一、一、N个玻色子体系的态矢量个玻色子体系的态矢量 N=5，按，按3-2分布分别处于两个单粒子态分布分别处于两个单粒子态 一般来说一般来说 对易关系对易关系2022-1-2649一、一、N个玻色子体系的态矢量个玻色子体系的态矢量也可用粒子数来表示状态也可用粒子数来表示状态 更一般地更一般地0|21mnnn2022-1-2650一、一、N个玻色子体系的态矢量个玻色子体系的态矢量产生算符作用于态矢量的结果产生算符作用于态矢量的结果innnai21|2022-1-2651一、一、N个玻色子体系的态矢量个玻色子体系的态矢量消灭算符作用于态矢量的结果消灭算符作用于态矢量的结果innnai21|2022-1-2652一、一、N个玻色子体系的态矢量个玻色子体系的态矢量产生消灭算符乘积作用于态矢量的