北京邮电大学高等数学课件

1、北京邮电大学高等数学北京邮电大学高等数学一、向量在轴上的投影与投影定理一、向量在轴上的投影与投影定理.上的有向线段上的有向线段是轴是轴，设有一轴设有一轴uABuuAB.ABABABuuABuABAB ，即，即的值，记作的值，记作上有向线段上有向线段叫做轴叫做轴那末数那末数是负的，是负的，轴反向时轴反向时与与是正的，当是正的，当向时向时轴同轴同与与，且当，且当满足满足如果数如果数北京邮电大学高等数学ouAB1轴轴同同方方向向的的单单位位向向量量，是是与与设设ue.)(eABAB 的相互位置如何，的相互位置如何，三点三点轴上任意三点，不论这轴上任意三点，不论这是是设设uCBA,eBCeABeAC)

2、()()( 即即,)(eBCAB .BCABAC ,BCABAC e北京邮电大学高等数学证证,1uOA ,1euOA 故故eueu12 .)(12euu ouAB1e1u2u,2euOB 同理，同理，OAOBAB 于是于是北京邮电大学高等数学空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.

3、 0() 北京邮电大学高等数学空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 过过点点A作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影.北京邮电大学高等数学空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB 已已知知向向量量的的起起点点A和和终终点点B在在轴轴u上上的的投投影影分分别别为为BA ,那那么么轴轴u上上的的有有向向线线段段BA 的的值值，称称为为向向量量在在轴轴u上上的的投投影影.北京邮电大学高等数学ABjuPr.BA 向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影记记为为关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1） 向量向量AB在轴在轴u

4、上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：轴与向量的夹角的余弦：ABjuPr cos| AB 证证uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 北京邮电大学高等数学定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uabc(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 北京邮电大学高等数学关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .Pr

5、Pr)(Pr2121a ja jaaj AA BB CC （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1a2a北京邮电大学高等数学二、向量在坐标轴上的分向量与向量二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的坐标1M1P2M2P上上的的投投影影分分别别为为点点在在轴轴点点为为一一条条数数轴轴为为一一向向量量，设设212121,PPuMMuMMa 上上的的坐坐标标依依次次为为在在轴轴又又设设2121,uuuPPuo,Pr21uuaMMj 1221OPOPPP ,12uu .12uuau 北京邮电大学高等数学如如果果e是是与与u轴轴正正向向一一致致的的单单位位向向量量，.)(12euu 设设a是是以以),

6、(1111zyxM为为起起点点、),(2222zyxM为为终终点点的的向向量量，过过21, MM各作垂直于三个坐标轴的平面各作垂直于三个坐标轴的平面 ,这这六六个个平平面面围围成成一一个个以以线线段段21MM为为对对角角线线的的长长方方体体.由例由例1知知eaPPu 21北京邮电大学高等数学xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)

7、()()(12121221 北京邮电大学高等数学kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐标坐标：,zyxaaa向量的向量的坐标表达式坐标表达式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM 北京邮电大学高等数学向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa

8、;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 北京邮电大学高等数学解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，例例 2 2 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为为两两已已知知点点，而而在在AB直直线线上上的的点点M分分有有向向线线段段AB为为两两部部分分AM、MB，使使它它们们的的值值的的比比等等于于某某数数)1( ，即即 MBAM，求求分分点点的的坐坐标标.ABMxyzo北京邮电大学高等数学由题意知：由题意知：MBAM ,111zzyyxx

9、,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为为中中点点时时，,221xxx ,221yyy .221zzz 北京邮电大学高等数学非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式三、向量的模与方向余弦的坐标表示式北京邮电大学高等数学xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax co

10、s|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM 北京邮电大学高等数学0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式北京邮电大学高等数学1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为北京

11、邮电大学高等数学例例 3 3 求求平平行行于于向向量量kjia676 的的单单位位向向量量的的分分解解式式.解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 北京邮电大学高等数学例例 4 4 设设有有向向量量21PP，已已知知221 PP，它它与与x轴轴和和y轴轴的的夹夹角角分分别别为为3 和和4 ，如如果果1P的的坐坐标标为为)3 , 0 , 1(，求求2P的的坐坐标标.解解设设向向量量21PP的的方方向向角角为为 、 、 ,3 ,4 , 1cosc

12、oscos222 .21cos ,21cos ,22cos 北京邮电大学高等数学.32,3 设设2P的的坐坐标标为为),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的的坐坐标标为为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 北京邮电大学高等数学例例 5 5 设设kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求求向向量量pnma 34在在x轴轴上上的的投投影影及及在在y轴轴上上的的分分向向量量.解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,157

13、13kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为13 xa,在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j7.北京邮电大学高等数学向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式.四、小结四、小结（注意分向量与向量的坐标的（注意分向量与向量的坐标的区别区别）北京邮电大学高等数学思考题思考题 设设jim ，kjn 2，求求以以向向量量nm,为为边边的的平平行行四四边边形形的的对对角角线线的的长长度度.北京邮电大学高等数学思考题解答思考题解答对角线的长为对角线的长为|,|,|nm

14、nm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm, 3| nm,11| nm平行四边形的对角线的长度各为平行四边形的对角线的长度各为11, 3.mn北京邮电大学高等数学练练 习习 题题一、一、 填空题：填空题：1 1、 已知已知rr,4 与轴与轴u的夹角是的夹角是60，则，则rjuPr=_=_ _ _；2 2、 已知两点已知两点1M)2,1,0(和和2M)0,1,1( 则则 21MM_；-2-221MM= =_；3 3、 已知两点已知两点1M)1,2,4(和和)2,0,3(2M, ,则向量则向量 21MM_ ，21MM=_=_，方向，方向 余弦余弦 cos=_=_； cos= =_； co

15、s= =_； 方向方向 角角_ ,_ , _ ,_ , _；4 4 、 已知向量已知向量kjia , ,kjib532 及及 kjic22 , , 0a则则_；北京邮电大学高等数学 0b= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 0c= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；5 5、一一向向量量与与zoxyozxoy,三三个个坐坐标标平平面面的的夹夹角角 , 满满足足 2cos+ + 2cos+ + 2cos= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二 、一一向向量量的的终终点点在在点点)7,1,2( B，它它在在轴轴X，轴轴Y 和和轴轴Z上上的的投投影影依依次次为为74,4和和 ，求求这这向向量量的的 起起点点的的坐坐标标A .