第一章 信号与系统IV(3.8)

1、第一章第一章 信号与系统信号与系统一、信号的概念一、信号的概念1.1 1.1 绪言绪言什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念联系什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念联系在一起？在一起？1.1.消息消息(message):(message): 人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。 消息：反映知识状态的改变。消息：反映知识状态的改变。2.2.信息信息(information):(information):它是信息论中的一个术语。它是信息论中的一个术语。 通常把消息中有意义的内容称为信息。通常把消息中有意义的内容称为信息。 信息量信息量收到信息前

2、对某事件的无知程度收到信息前对某事件的无知程度 收到信息后对某事件的无知程度收到信息后对某事件的无知程度3.3.信号信号(signal):(signal): 信号是信息的载体，通过信号传递信息。信号是信息的载体，通过信号传递信息。 为了有效地传播和利用信息，通常需要将信息为了有效地传播和利用信息，通常需要将信息转换成便于传输和处理的信号。转换成便于传输和处理的信号。 信号我们并不陌生，如上课信号我们并不陌生，如上课铃声铃声声信号声信号，表示该上课了；，表示该上课了； 十字路口的红绿灯十字路口的红绿灯光信号光信号，指挥交通；指挥交通； 电视机接收的电视信息电视机接收的电视信息电信号电信号； 广告

3、牌上的文字、图象信号等等。广告牌上的文字、图象信号等等。二、系统的概念二、系统的概念 信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。这样的物理装置常称为系统。 一般而言，一般而言，系统系统(system)(system)是指若干是指若干相互关联相互关联的事物组合成具有的事物组合成具有特定功能特定功能的统一的统一整体整体。 如手机、电视机、通信网、计算机等都可以看如手机、电视机、通信网、计算机等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。都可以看成信号。 信号的概念

4、与系统的概念常常紧密联系在一起。信号的概念与系统的概念常常紧密联系在一起。 系统的基本作用是对输系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。其转换为所需要的输出信号。输入信号输入信号激励激励输出信号输出信号响应响应信息源信息源发射器发射器接收器接收器受信者受信者噪声源噪声源中间线路中间线路（信道）（信道）一个典型的通信系统一个典型的通信系统信息信息信号信号信号信号信息信息一、信号的描述一、信号的描述1.2 1.2 信号信号 信号信号是信息的一种物理体现，它一般是随时间是信息的一种物理体现，它一般是随时间或位置变化的物理量。或位置变化的物理量。

5、信号信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相互转换。电信号容易产生、便于控制、易于可以相互转换。电信号容易产生、便于控制、易于处理。本课程讨论电信号处理。本课程讨论电信号简称简称“信号信号”。电信号的基本形式：电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。随时间变化的电压或电流。描述信号的常用方法描述信号的常用方法（1）表示为时间的函数）表示为时间的函数 （2）信号的图形表示）信号的图形表示波形波形“信号信号”与与“函数函数”两词常相互通用。两词常相互通用。二、信号的分类二、信号的分类1.1.确定信号和随机信号确定信号和随机信号 可以用确定时间函数表示的信

6、号，称为可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号确定信号或或规则信号规则信号，如正弦信号。，如正弦信号。 若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，即取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，即在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为随机信号随机信号或或不确定信号不确定信号。电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰。电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号就是两种典型的随机信号。信号就是两种典型的随机信号。 研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程只研究确定信号是研究随机信号的基础

7、。本课程只讨论确定信号。讨论确定信号。（1） 连续时间信号连续时间信号 在连续的时间范围内在连续的时间范围内(-t(-t）有定义的信号）有定义的信号称为称为连续时间信号连续时间信号，简称，简称连续信号连续信号。函数值也为连。函数值也为连续时常称为续时常称为模拟信号模拟信号。 这里的这里的“连续连续”指函数的指函数的定义域是连续的定义域是连续的，但，但值域可连续也可不连续，可含间断点。值域可连续也可不连续，可含间断点。根据信号自变量为连续或离散的特点进行区分。根据信号自变量为连续或离散的特点进行区分。2.2.连续信号和离散信号连续信号和离散信号 间断点函数值的定义：间断点函数值的定义： 0002

8、1tftftftof1(t) = sin(t)12to1 21-1-11f2(t)值域连值域连续续值域不值域不连续连续tof1(t) = sin(t)12to1 21-1-11f2(t) 仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信离散时间信号号，简称，简称离散信号离散信号。取值为规定数值时常称为。取值为规定数值时常称为数字信号数字信号。 如右图的如右图的f(t)仅在一些离散时仅在一些离散时刻刻tk(k = 0,1,2,)才有定义，才有定义，其余时间无定义。其余时间无定义。 相邻离散点的间隔相邻离散点的间隔T Tk k= =t tk+1k+1- -t tk

9、 k可以相等也可不相等。通常取等可以相等也可不相等。通常取等间隔间隔T T，离散信号可表示为，离散信号可表示为f(kT)，简写为简写为f(k)，这种等间隔的离散信，这种等间隔的离散信号也常称为号也常称为序列序列。其中。其中k称为称为序号序号。to2t11f(t)-1.521t2t3t4t-1（2） 离散时间信号离散时间信号 这里的这里的“离散离散”指信号的指信号的定义域是离散的定义域是离散的，只在某，只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。上述离散信号可简画为上述离散信号可简画为ko211f(k)-1.5212 3 4-1用表达式可写为用表

10、达式可写为1,12,01.5,1( )2,20,3140kkkf kkkkk ，其它通常将对应某序号通常将对应某序号m的序列值称为第的序列值称为第m个样点的个样点的“样值样值”。或写为或写为f(k)= ，0，1，2，-1.5，2，0，1，0， k=0 周期信号周期信号(period signal)是定义在是定义在(-(-，) )区区间，每隔一定时间间，每隔一定时间T( (或整数或整数N) )，按相同规律重复变，按相同规律重复变化的信号。化的信号。连续周期信号连续周期信号f(t)满足满足 f(t) = f( t + mT )，m = 0,1,2,离散周期信号离散周期信号f(k)满足满足 f(k)

11、 = f( k + mN )，m = 0,1,2,不具有周期性的信号称为不具有周期性的信号称为非周期信号非周期信号。3.3.周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号满足上述关系的满足上述关系的最小最小T(或整数或整数N)称为该信号的周期称为该信号的周期。例例1 1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1 1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sint （1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为是周期信号，其角频率和周期分别为 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3

12、t是周期信号，其角频率和周期分别为是周期信号，其角频率和周期分别为 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3)s由于由于T1/T2= 3/2为有理数，故为有理数，故f1(t)为周期信号，为周期信号，其周期为其周期为T1和和T2的最小公倍数的最小公倍数2s。（2） cos2t 和和sint的周期分别为的周期分别为T1=s， T2=2s，由，由于于T1/T2为无理数，故为无理数，故f2(t)为非周期信号。为非周期信号。解：解：两个周期信号两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为的周期分别为T1和和T2，若其若其周期之比周期之比T1/T2为有理数，则其和信号为有理数，则其和信号x(t

13、)+y(t)仍然是周仍然是周期信号，其周期为期信号，其周期为T1和和T2的最小公倍数。的最小公倍数。例例2 2 判断正弦序列判断正弦序列f(k) = sin(k)是否为周期信号，若是，是否为周期信号，若是，确定其周期。确定其周期。解解: : sinsin2,0, 1, 2,.2sinf kkkmmkm 式中式中称为正弦序列的数字角频率，单位：称为正弦序列的数字角频率，单位：rad。由上式可见：由上式可见：当当2/ 为整数时为整数时: 正弦序列具有周期正弦序列具有周期N = 2/ 。当当2/ 为有理数时为有理数时: 正弦序列仍具有周期性，但其正弦序列仍具有周期性，但其周期为周期为N= M(2/

14、)，M取使取使N为整数的最小整数。为整数的最小整数。当当2/ 为无理数时为无理数时: 正弦序列为非周期序列。正弦序列为非周期序列。例例3 3 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1 1）f1(k) = sin(3k/4) + cos(0.5k) （2）f2(k) = sin(2k)（1 1）sin(3k/4) 和和cos(0.5k)的数字角频率分别为的数字角频率分别为1 = 3/4 rad，2 = 0.5 rad。2/ 1 = 8/3，2/ 2 = 4为有为有理数，它们的周期分别为理数，它们的周期分别为N1 = 8 ，N2 = 4，故

15、：，故： f1(k) 为周期序列且周期为为周期序列且周期为N1和和N2的最小公倍数的最小公倍数8。 （2 2）sin(2k) 的数字角频率为的数字角频率为 1 = 2 rad；由于：；由于：2/ 1 = 为无理数，故：为无理数，故：f2(k) = sin(2k)为非周期序列为非周期序列 。解解: :由上面几例可看出：由上面几例可看出：连续正弦信号一定是周期信号，而连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。两连续周期信号之和不一正弦序列不一定是周期序列。两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和则一定是周期序列。定是周期信号，而两周期序列之和则一定是周期序列。（1）实信号

16、和复信号的概念）实信号和复信号的概念（2）最常见的复信号复指数信号）最常见的复信号复指数信号连续时间的复指数信号连续时间的复指数信号可表示为可表示为 ,stetft记记js则则 tjeteetftttjsincos即即 tetftcosRe tetftsinIm4.4.实信号和复信号实信号和复信号记记js则则 kjkkjeeekf即即 kekfkcosRe kekfksinIm离散时间的复指数信号离散时间的复指数信号可表示为可表示为 ,skekfk = 0,1,2, kjekekfkksincos信号的能量信号的能量EaattfEad)(2deflim信号的功率信号的功率PaattfaPad)

17、(21lim2def（1）连续时间信号）连续时间信号5.5.能量信号和功率信号能量信号和功率信号 将信号将信号f (t)施加于施加于1电阻上，它所消耗的瞬时功率电阻上，它所消耗的瞬时功率为为| f (t) |2，在区间，在区间( , )的的能量能量和和平均功率平均功率定义为定义为 若信号若信号f (t)的能量有界，即的能量有界，即0 E ,则称其为则称其为能量能量有限信号有限信号，简称，简称能量信号能量信号。此时。此时P = 0 若信号若信号f (t)的功率有界，即的功率有界，即0 P ,则称其为则称其为功率功率有限信号有限信号，简称，简称功率信号功率信号。此时。此时E = 能量信号能量信号功

18、率信号功率信号2|( )|, 0kEf kP /22/21lim|( )|, NNkNPf kEN 时限信号时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号仅在有限时间区间不为零的信号)为能量为能量信号；信号；周期信号周期信号属于功率信号，而属于功率信号，而非周期信号非周期信号可能是可能是能量信号，也可能是功率信号。能量信号，也可能是功率信号。 有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，如如f (t) = et。（2）离散时间信号）离散时间信号6.6.一维信号和多维信号一维信号和多维信号 从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多从数学表达式来看，信号可以表示

19、为一个或多个变量的函数，称为个变量的函数，称为一维一维或或多维多维函数。函数。 语音信号语音信号可表示为声压随时间变化的函数，这可表示为声压随时间变化的函数，这是是一维信号一维信号。而一张。而一张黑白图像黑白图像每个点每个点(像素像素)具有不具有不同的光强度同的光强度(灰度灰度)，任一点又是二维平面坐标中两，任一点又是二维平面坐标中两个变量的函数，这是个变量的函数，这是二维信号二维信号。还有更多维变量的。还有更多维变量的函数的信号。函数的信号。 本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。7.7.因果信号和反因果信号因果信号和反因果信号 常将常将t = 0时

20、接入系统的信号时接入系统的信号f(t) 即在即在t 0，则将，则将f ()右移；否则左移右移；否则左移。右移右移t t 1f (t-1-1)to211左移左移t t + 1f (t+1+1)to1- -1f (t)to11如如3.3.平移与反转相结合平移与反转相结合f (t)to11方法一：方法一：先平移先平移f (t) f (t +2) 再反转再反转 f (t +2) f ( t +2)例例2：由右图：由右图f (t) 曲线曲线 求求f (2 t)的曲线。的曲线。 2to11 1f (- -t + +2 2)- -1to1 1- -2f (t +2+2)左移左移注意：无论是平移还是反转，注意

21、：无论是平移还是反转，变换规则都是针对变换规则都是针对t t 而言的！而言的！反转反转方法二：方法二：再平移再平移 f ( t) f ( t +2)f (t)to112to11 1f (- -t + +2 2)右移右移= f (t 2)f (- - t )- -11to反转反转f (t) f ( t +2)先反转先反转 f (t) f ( t) 如：如：tof ( t )1- -22t 2t 压缩压缩to1- -1f (2 t )1t 0.5t 展开展开to1- -4f (0.5 t )4 对于离散信号，由于对于离散信号，由于f (a k) 仅在为仅在为a k 为整数时才有意为整数时才有意义，

22、义， 进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。不作波形的尺度变换。 将将 f (t) f (a t) ， 称为对信号称为对信号f (t)的的尺度变换尺度变换。若若a 1 ，则波形沿横坐标压缩；若，则波形沿横坐标压缩；若0 a 1 ，则展开，则展开 。三、尺度变换（横坐标展缩）三、尺度变换（横坐标展缩）平移、反转、尺度变换相结合平移、反转、尺度变换相结合tof ( t )1- -22例例3：已知：已知f (t)，画出，画出 f ( 4 2t)。 分析：分析：三种运算的次序可任意。但一定要注意三种运算的次序可任意。但一定要注意变换

23、规则始终是变换规则始终是对自变量对自变量 t 而言而言的。的。无非是以上三种变换的组合，可无非是以上三种变换的组合，可依次进行这三种变换。依次进行这三种变换。tof ( t )1- -22压缩，得压缩，得f (2t 4)f (2t -4-4)213to1反转，得反转，得f ( 2t 4)- -1- -3f (- -2t -4-4)to1f (t -4-4)426to1右移右移4，得，得f (t 4)平移、反转、尺度变换相结合平移、反转、尺度变换相结合方法一：先平移、再尺度变换、最后反转。方法一：先平移、再尺度变换、最后反转。 f (t) f ( 2t 4)tof ( t )1- -22压缩，得

24、压缩，得f (2t)f ( 2t )- -11to1右移右移2，得，得f (2t 4)f (2t -4-4)213to1反转，得反转，得f ( 2t 4)- -1- -3f (- -2t -4-4)to1方法二：先尺度变换、再平移、最后反转。方法二：先尺度变换、再平移、最后反转。 f (t) f ( 2t 4)例例4：已知：已知f ( 4 2t) ，画出，画出 f (t) 。 - -1- -3f (- -2t - -4)to1反转，得反转，得f (2t 4)f (2t - -4)213to1展开，得展开，得f (t 4)to1 1f (t - -4)246左移左移4，得，得f (t)tof (

25、 t )1- -221.4 1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数阶跃函数阶跃函数和和冲激函数冲激函数不同于普通函数，称为不同于普通函数，称为奇异函数奇异函数。研究奇异函数要用到研究奇异函数要用到广义函数广义函数(或分配函数或分配函数)的理论。首的理论。首先用直观的方法引出阶跃函数和冲激函数。先用直观的方法引出阶跃函数和冲激函数。 n to1 (t)一、阶跃函数一、阶跃函数下面采用求下面采用求函数极限函数极限的方法定的方法定义阶跃函数。义阶跃函数。ton1n11n21选定一个函数序列选定一个函数序列n(t)如图所示。如图所示。 0, 10,210, 0)(lim)(deftttttnn阶

26、跃函数性质：阶跃函数性质：（1）可以方便地表示某些信号）可以方便地表示某些信号 f (t)o2t12-1f(t) = 2 (t)- 3 (t-1) + (t-2) f (t)(a)otf(t )(t)(b)otf(t)(t-t1)- (t-t2)ot(c)t1t2（2）表示信号的作用区间）表示信号的作用区间 （3）积分）积分 )(d)(ttt二、冲激函数二、冲激函数单位冲激函数单位冲激函数是个奇异函数，它是对是个奇异函数，它是对幅度极大幅度极大，作作用时间极短用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特一种物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定义（由殊的方式定义（由狄拉克狄拉克最早提出）最早

27、提出） ( )0 0( ) 0 ( )1t dttttt to(1) (t)也可采用下列也可采用下列直观定义直观定义：对：对n(t)求求导得到如图所示的矩形脉冲导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。 topn(t)n1n12n)(lim)(deftptnn 高度无穷大，宽度高度无穷大，宽度无穷小，面积固定为无穷小，面积固定为1的对称窄脉冲。的对称窄脉冲。 冲激函数与阶跃函数的关系：冲激函数与阶跃函数的关系：topn(t)n1n12ntttpnnd)(d)(to1 (t)to(1) (t)nntttd)(d)( )( )dttxx可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。可见，引入冲激函数之后

28、，间断点的导数也存在。如：如：tof (t)21- -1f(t) = 2(t +1) - 2(t -1)f (t) = 2(t +1) - 2(t -1)求导求导三、冲激函数的广义函数定义三、冲激函数的广义函数定义 1. 1.广义函数的概念广义函数的概念 普通函数，如普通函数，如 y=f(t)是将一维实数空间的数是将一维实数空间的数 t 经过经过 f 所规定的运算映射为一维实数空间的数所规定的运算映射为一维实数空间的数 y。 将普通函数的概念推广，广义函数可以这样定将普通函数的概念推广，广义函数可以这样定义：义： 选择一类性能良好的函数选择一类性能良好的函数 (t) ，称为检验函数，称为检验函

29、数(相当于自变量相当于自变量)，一个广义函数，一个广义函数 g(t) 是对检验函数空是对检验函数空间中每个函数间中每个函数 (t) 赋予一个数值赋予一个数值 N 的映射，该数与的映射，该数与广义函数广义函数 g(t) 和检验函数和检验函数 (t) 有关，记作有关，记作g(t)。广义函数可写为：广义函数可写为：( ), ( )( ) ( )N g ttg tt dt表表1.1 1.1 广义函数与普通函数的对应关系广义函数与普通函数的对应关系2.2.广义函数的性质广义函数的性质性质性质1 1（相等）：（相等）：( ) ( )( ), ( )( ), ( )( ) ( )f tt dtN f ttN

30、 g ttg tt dt若若( )( )f tg t则则性质性质2 2（相加）：（相加）：12( ), ( )( ), ( )( ), ( )N g ttN g ttN g tt若若12( )( )( )g tg tg t则则性质性质3 3（尺度变换）：（尺度变换）：1(), ( )( ),( )tN g attN g taa性质性质4 4（微分）：（微分）：( )( )( ), ( )( ),( 1)( )nnnN gttN g tt3.3.冲激函数的广义函数定义冲激函数的广义函数定义 定义定义 按广义函数理论，冲激函数由下式确定按广义函数理论，冲激函数由下式确定( ) ( )(0)tt d

31、t 即冲激函数即冲激函数(t)作用于检验函数作用于检验函数(t)的效果是给的效果是给它赋值为它赋值为(0)。 这常称为这常称为冲激函数冲激函数的的取样性质取样性质（或筛选性质）。（或筛选性质）。简言之，能从检验函数简言之，能从检验函数 (t) 中筛选出函数值中筛选出函数值 (0)的的广义函数就称为冲激函数广义函数就称为冲激函数 (t) 。实际上，许多函数、序列的极限都具有如上的筛选实际上，许多函数、序列的极限都具有如上的筛选性质，可以用它们来定义性质，可以用它们来定义冲激函数冲激函数(t)，例如：，例如：2()( )limbtbtbe高斯（钟形）函数：高斯（钟形）函数：sin()( )limb

32、bttbt取样函数：取样函数：01( )lim2tbbteb双边指数函数：双边指数函数：-4-3-2-10123401texp(-t2)f(t)-6-4-20246-0.4-0.60.81Sa(t)-sinc(t)tSa(t)-sinc(t)220( )lim()bbtbt以及：以及：四、阶跃函数、冲激函数的导数和积分四、阶跃函数、冲激函数的导数和积分 1.1.阶跃函数阶跃函数 dttdt tx dxttr t2.2.冲激函数冲激函数 tx dxt tdttdtx dxt 10t dtt dt1.1.与普通函数的乘积（取

33、样性质）与普通函数的乘积（取样性质）若若 f(t) 在在 t = 0 处存在，则处存在，则: )0(d)()(ftttf)()()()(atafattf)(d)()(aftattf)()0()()(tfttf类似有，若类似有，若 f(t) 在在 t = a 处存在（处存在（移位移位），则），则: 五、冲激函数的性质五、冲激函数的性质)(22)()4sin()()4sin(tttt22d)()4sin(ttt例例1： ?d) 1()4sin(03ttt?d)()4sin(91ttt?d)(211t?d)() 1(12t?)(edd2ttt练习：练习： 0222 ,110,tt 其它(t)(e2)

34、()(e2)(e)(edd2222tttttttttt f(t)(t) = f(t)(t) + f(t) (t)f(t)(t) = f(t)(t) f(t) (t) = f(0)(t) f(0)(t) 4)2(2)2(ddd)( )2(0022tttttttt证明：证明：冲激函数的导数冲激函数的导数(t) （也称冲激偶）（也称冲激偶） tftfttf00( ) ( )d(0)f tttf( )( )( )( )d( 1)(0)nnnf tttf 类似有（移位）类似有（移位）: ( ) ()d( )f ttatf a ( )( )( )()d( 1)( )nnnf ttatfa 2.2.( (t

35、 t) )的尺度变换的尺度变换)(1|1)()()(taaatnnn特例特例: :()at0,d1() ( )d( ) ( )(0)aaaxatxxatttxaaa1.若，则，令则：0,dd() ( )d( ) ( )( ) ( )1(0)aaaxatxxxxatttxxaaaaa 2.若，则，令则：1()( )|atta推论推论: :(2t) = 0.5 (t) )() 1()()()(ttnnn(2)当当a = 1时时所以，所以， ( t) = (t) , 即即 (t)为偶函数为偶函数 ( t) = (t)，即，即 (t)为奇函数为奇函数(1)(|1)(taat001()()|tattta

36、a已知已知 f(t)，画出，画出 g(t) = f (t) 和和 g(2t) o2tf (t)-24求导，得求导，得g(t) (4)o2tg(t) = f (t)-2-1(?)压缩，得压缩，得g(2t) o1tg(2t)- -1- -1(2)3.3.复合函数形式的冲激函数复合函数形式的冲激函数实际中有时会遇到形如实际中有时会遇到形如 f(t) 的冲激函数，其中的冲激函数，其中f(t)是是普通函数，并且普通函数，并且 f(t) = 0有有n个互不相等的实根个互不相等的实根 ti ( i=1，2，n) dd( ) ( ) ( )ddf tf tf ttt1d ( ) ( )( ) df tf tf

37、tt f(t) 图示说明：若图示说明：若 f(t) = t2 4(t2 4) = 1 (t+2) + (t 2)(t2 4) = 1 (t+2) + (t 2)221 d(4)(4)2 dtttt1 d1(2)(2)2 dtttt1(2)(2)2ttt11(2)(2)2 ( 2)2 2tt 11(2)(2)44tt一般地，一般地，niiitttftf1)()( 1)(niiitttftf1)()( 1)( 这表明，这表明， f(t) 是位于各是位于各ti处，强度为处，强度为 的的n个冲激函数构成的冲激函数序列。个冲激函数构成的冲激函数序列。 )( 1itf)21(41)21(41) 14(2t

38、tt注意注意：如果：如果f(t)=0有重根，有重根， f(t) 无意义。无意义。 取样性质：取样性质： f(k) (k) = f(0) (k)0()()(fkkfkf(k) (k k0) = f(k0) (k k0)例例?)(kk?)()5(kkk这两个序列是普通序列这两个序列是普通序列（1）单位）单位(样值样值)序列序列(k)0, 00, 1)(defkkko11-1k (k)六、序列六、序列 ( (k k) ) 和和 ( (k k) )（2）单位阶跃序列）单位阶跃序列(k)0, 00, 1)(defkkko11-1k (k)23（3）(k)与与(k)的关系的关系(k) = (k) (k 1

39、) 0( )()jkkj例例：计算下列各题：计算下列各题sin(2 )( )dtttt32(351)(1)dttttt3(5) ( )d2ttt(2)( )dtxxx（1）（2）（3）（4）解解： sin(2 )( )dtttt（1）0sin(2 )lim2ttt32(351)(1)dttttt（2）32121(351)(365)2ttttttt 3(5) ( )d2ttt（3）330(5)2 ( )d2(5)10ttttt(2)( )dtxxx（4）2( )( 1) ( )d2 ( )( )txxxtt 1.5 1.5 系统的描述系统的描述 描述连续动态系统的数学模型是描述连续动态系统的数学

40、模型是微分方程微分方程，描述，描述离散动态系统的数学模型是离散动态系统的数学模型是差分方程差分方程。一、连续系统一、连续系统1.1.系统的数学模型建立微分方程系统的数学模型建立微分方程图示图示RLC电路，以电路，以uS(t)作激励，以作激励，以uC(t)作为响应，求系作为响应，求系统响应。统响应。uS(t)uC(t)LRCuL(t)uR(t)可列出回路电压方程（可列出回路电压方程（KVL）：）： tutututuSCRL由各元件的电流、电压关系（由各元件的电流、电压关系（VAR）：）： tuCtiC tuRCtRiuCR tuLCtiLuCL 22dddd(0)(0)CCCSCCuuLCRCu

41、uttuu，代入并整理得：代入并整理得：uS(t)uC(t)LRCuL(t)uR(t)二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程抽去具有的物理意义，微分方程可写成：抽去具有的物理意义，微分方程可写成：22102d( )d ( )( )( )ddy ty taaa y tf ttt22102d( )d ( )( )( )ddy ty taaa y tf ttt这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。MxCkf (t)k为弹簧常数，为弹簧常数，M为物体质量，为物体质量，C为为减振液体的阻尼系数，减振液体的阻尼系数，x为物体偏离为物体偏离其平衡位

42、置的位移，其平衡位置的位移，f(t)为初始外力。为初始外力。其运动方程为其运动方程为)()(d)(dd)(d22tftkxttxCttxM能用相同方程描述的系统称为能用相同方程描述的系统称为相似系统相似系统。 tfbtfbtfbtfbtyatyatyatymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(事实上，对于任意单输入单输出的事实上，对于任意单输入单输出的LTI连续系统连续系统，我们都可以利用类似的方法建立其数学模型，它们我们都可以利用类似的方法建立其数学模型，它们的数学模型都是如下形式的微分方程：的数学模型都是如下形式的微分方程：2.2.系统的框图描述系统的框图描述 上述方程

43、从上述方程从数学角度数学角度来说代表了某些运算关系：来说代表了某些运算关系：相乘、微分、相加运算相乘、微分、相加运算。将这些基本运算用一些理。将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为算关系，这样画出的图称为模拟框图模拟框图，简称，简称框图框图。基本部件单元基本部件单元有：有： 积分器：积分器：f (t)txxfd)(加法器：加法器：f 1(t)f 2(t)f 1(t) - f 2(t)数乘器：数乘器：af (t)或aaf (t)积分器的抗干扰性积分器的抗干扰性比微分器好。比微分器好。系统模拟系统模拟：

44、实际系统实际系统方程方程模拟框图模拟框图实验室实现（模拟系统）实验室实现（模拟系统）指导实际系统设计指导实际系统设计例例1：已知：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，画框图。，画框图。解解：将方程写为：将方程写为 y”(t) = f(t) ay(t) by(t)y(t)y(t)y(t)abf(t)一般步骤：一般步骤： 将方程写为最高阶等于其他阶和的形式将方程写为最高阶等于其他阶和的形式按求和关系画图按求和关系画图n n阶画出阶画出n n个积分器个积分器例例2：已知：已知y”(t) + 3y(t)+ 2y(t) = 4f(t) + f(t)，画框图。，画框图。解解：等号右

45、侧含：等号右侧含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。的导数，可引入辅助函数画出框图。设辅助函数设辅助函数x(t)满足满足x”(t) + 3x(t)+ 2x(t) = f(t)。可推导出可推导出y(t) = 4x(t) + x(t)，它满足原方程它满足原方程。例例3：已知框图，写出系统的微分方程。：已知框图，写出系统的微分方程。y(t)3423f (t)x(t)x(t)x”(t)解：设辅助变量解：设辅助变量x(t)如图。如图。消去辅助变量消去辅助变量x(t) ，得，得:y”(t) + 2y(t) + 3y(t) = 4f(t)+ 3f(t)由第二个加法器可列方程：由第二个加法器可列方程：y(

46、t) = 4x(t)+ 3x(t)x”(t) = f(t) 2x(t) 3x(t) ,即即x”(t) + 2x(t) + 3x(t) = f(t) 由第一个加法器可列方程：由第一个加法器可列方程：练习练习1：已知框图，写出系统的微分方程。：已知框图，写出系统的微分方程。x”(t)x(t)x(t) y = x” 2x y” + 3y + 2y = f ” 2f x” = f 3x 2x 即即x” + 3x + 2x = f x”(t)x”(t)x(t)x(t) x” + 2x+ 3x = fy = x” 4xy” + 2y+ 3y = f ” 4f例例1：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为

47、：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为元元/元，求第元，求第k个月初存折上的款数。个月初存折上的款数。解解：设第：设第k个月初的款数为个月初的款数为y(k),这个月存入金额为这个月存入金额为f(k),上个月初的款数为上个月初的款数为y(k- -1)，利息为，利息为y(k- -1),则则 y(k)=y(k- -1)+ y(k- -1)+f(k)即：即： y(k)- -(1+)y(k- -1) = f(k)初始条件：若设开始存款月为初始条件：若设开始存款月为k=0，则有，则有y(0)= f(0)。二、离散系统二、离散系统1.1.系统的数学模型建立差分方程系统的数学模型建立差分方程上述方程称为上

48、述方程称为y(k)与与f(k)之间所满足的差分方程。所谓之间所满足的差分方程。所谓差分方程差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。方程。输出序列项最高序号与最低序号的差数，称为输出序列项最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。上述为一阶差分方程。由由n阶差分方程描述的系统称为阶差分方程描述的系统称为n阶系统。阶系统。描述描述LTI系统的是系统的是线性常系数差分方程线性常系数差分方程。 nkfbnkfbkfbkfbnkyankyakyakymmn0110111111事实上，对于任意的单输入单输出的事实上，对

49、于任意的单输入单输出的LTI离散系统离散系统，我们都可以利用类似的方法建立其数学模型，它们我们都可以利用类似的方法建立其数学模型，它们的数学模型都是如下形式的差分方程：的数学模型都是如下形式的差分方程：2.2.系统的框图描述系统的框图描述基本部件单元基本部件单元有：数乘器、加法器、迟延单元（移有：数乘器、加法器、迟延单元（移位器）位器）f 1(k)f 2(k)f 1(k) - f 2(k)f (k)D Df (k-1)单位延迟单元：单位延迟单元：加法器：加法器：数乘器：数乘器：af (k)或aaf (k)例例2：已知框图，写出系统的差分方程。：已知框图，写出系统的差分方程。y(k)D DD D

50、5423f (k)x(k)x(k-1)x(k-2)解：解：设辅助变量设辅助变量x(k)如图如图由第二个加法器可列方程：由第二个加法器可列方程： y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去辅助变量消去辅助变量x(k) ，得：，得： y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2) 由第一个加法器可列方程：由第一个加法器可列方程： x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2)即即 x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k)方程方程框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。练习练习2：已

51、知框图，写出系统的差分方程。：已知框图，写出系统的差分方程。x(k)x(k-1)x(k-2)y(k) = 2x(k-1) x(k-2) y(k) 2y(k-1) + 4y(k-2) = 2f (k-1) f(k-2) x(k) = f(k) + 2x(k-1) 4x(k-2)即即x(k) 2x(k-1) + 4x(k-2) = f(k)x(k)x(k-1)x(k-2)x(k) 2x(k-2) = f(k)y(k) = 2x(k) + 3x(k-1) 4x(k-2)y(k) 2y(k-2) = 2f(k) + 3f(k-1) 4f(k-2)（2）对框图中各加法器分别列出输入、输出方程。）对框图中

52、各加法器分别列出输入、输出方程。（3）由列出的各方程消去中间变量。）由列出的各方程消去中间变量。（当系统中有两个和两个以上的加法器时）（当系统中有两个和两个以上的加法器时）连续连续系统，选最系统，选最右右端积分器的端积分器的输出输出为中间变量为中间变量离散离散系统，选最系统，选最左左端延迟单元端延迟单元输入输入为中间变量为中间变量小结：小结：已知系统框图求系统微分方程或差分方程的一般步骤为：已知系统框图求系统微分方程或差分方程的一般步骤为：（1）如有需要先选择中间变量。）如有需要先选择中间变量。1.6 1.6 系统的性质系统的性质一、系统的定义一、系统的定义 若干相互作用、相互联系的事物按照一

53、定规律若干相互作用、相互联系的事物按照一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。组成具有特定功能的整体称为系统。 电子系统是电子元器件的集合体。电路侧重于电子系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局部，系统侧重于全部。电路、系统两词通用。局部，系统侧重于全部。电路、系统两词通用。二、系统的分类及性质二、系统的分类及性质 可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出对系统进行分类的方法。下面讨论几种常用的提出对系统进行分类的方法。下面讨论几种常用的分类法。分类法。1.1.连续系统与离散系统连续系统与离散系统 若系统的输入信号是连续信号，则称该系统为若系统的

54、输入信号是连续信号，则称该系统为连续时间系统连续时间系统，简称为，简称为连续系统连续系统。 若系统的输入信号是离散信号，则称该系统为若系统的输入信号是离散信号，则称该系统为离散时间系统离散时间系统，简称为，简称为离散系统离散系统。2.2.动态系统与即时系统动态系统与即时系统 若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态动态系统系统或或记忆系统记忆系统。 含有记忆元件含有记忆元件(电容、电感等电容、电感等)的系统是动态系的系统是动态系统。否则称统。否则称即时系统即时系统或或无记

55、忆系统无记忆系统。3.3.单输入单输出系统与多输入多输出系统单输入单输出系统与多输入多输出系统4.4.线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统满足线性性质的系统称为满足线性性质的系统称为线性系统线性系统。(1) (1) 线性性质线性性质系统的激励系统的激励f ()所引起的响应所引起的响应y() 可简记为可简记为y() = T f ()线性性质包括两方面：线性性质包括两方面：齐次性齐次性和和可加性可加性。 若系统的激励若系统的激励f ()增大增大a倍时，其响应倍时，其响应y()也增大也增大a倍，倍，即即T af () = a T f (), 则称该系统是则称该系统是齐次的齐次的。 若系统对于激励

56、若系统对于激励f1()与与f2()之和的响应等于各个激励之和的响应等于各个激励所引起的响应之和所引起的响应之和,即即T f1()+ f2() =T f1()+T f2() , 则称该系统是则称该系统是可加的可加的。若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的线性的，即即 Ta f1() + b f2() = a T f1() + bT f2() (2) (2) 动态系统是线性系统的条件动态系统是线性系统的条件动态系统不仅与激励动态系统不仅与激励 f () 有关，而且与系统的初有关，而且与系统的初始状态始状态x(0)有关。有关。 初始状态也称初始状态也称

57、“内部激励内部激励”。完全响应完全响应: y () = T x(0) , f () 零状态响应零状态响应: yf () = T 0 , f () 零输入响应零输入响应: yx () = T x(0) , 0 当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：y () = yf() + yx() = T 0 , f () + T x(0)，0可分解性可分解性：零状态线性零状态线性： T0, a f () = aT0, f () T0, f1() + f2() = T0, f1 () + T0, f2 () 或或 T0, af1() +bf2() = aT0

58、, f1 () +bT0, f2 () 即系统全响应可分解为零状态响应和零输入响应的和即系统全响应可分解为零状态响应和零输入响应的和即零状态响应应满足线性性质即零状态响应应满足线性性质小结：动态系统满足下列三个条件时为线性系统小结：动态系统满足下列三个条件时为线性系统：a.a.可分解性可分解性b.b.零状态线性零状态线性c.c.零输入线性零输入线性即零输入响应应满足线性性质即零输入响应应满足线性性质 Tax(0),0= aT x(0),0 Tx1(0) + x2(0) ,0 = Tx1(0),0 +Tx2(0),0或或 Tax1(0) +bx2(0) ,0 = aTx1(0),0+bTx2(0

59、),0零输入线性零输入线性：例例1：判断下列系统是否为线性系统？：判断下列系统是否为线性系统？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3） y (t) = x2(0) + 2 f (t)思路：对此类问题，只需按前述依次判断动态系统线思路：对此类问题，只需按前述依次判断动态系统线性的三个条件即可。性的三个条件即可。解解：（1）由）由y (t)表达式得：表达式得： yf(t) = 2 f (t) +1， yx(t) = 3 x(0) 显然，显然， y (t) yf(t) yx(t)

60、不满足可分解性，不满足可分解性，故为非线性故为非线性（2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)|由由y (t)表达式可得：表达式可得： yf(t) = 2 f (t) , yx(t) = x2(0) y (t) = yf(t) + yx(t) 满足可分解性；满足可分解性；由于由于T a x(0) ,0 =a x(0)2 a yx(t)不满足零输入线性，故为非线性系统。不满足零输入线性，故为非线性系统。（3） y (t) = x2(0) + 2 f (t)由由y (t)表达式可得：表达式可得：yf(t) = | f (t)|， yx(t) = 2 x(0) y (t) = yf(t