传递函数模型与干预变量模型(很全)

1、传递函数模型与干预变量分析时间序列真的仅仅受本身滞后值影响吗? 在单变量时间序列中, 我们 假设系统输出仅仅受既往值和随机干扰项的影响。但实际应用中,可能还 有其他与之相关的时间序列,那么如何将其它的变量引入时间序列模型是 一个值得讨论的问题。设 t y 表示某种商品在一段时间的销售额, 由于经济时间序列通常有记忆性, 可以用一个 ARMA 模型来描述其变化规律, 假定其变化规律的表达 式为10.46t t t y y -=+但是在许多实际情况下,销售额不仅仅受自己滞后值 1t y -的影响,还会22受其它一些输入变量的影响。我们考虑广告费 t x ,广告费对销售额的影响不仅具有即期影响还具有

2、一定的滞后效应,假定其滞后的影响是一期,那 么在上式中就应加入广告费的当期和滞后一期的值,如果广告费的即期影 响效用是 0.55,滞后一期值对销售额的影响效用是 0.60,则这个简单的输 出和输入关系为如果上式是一个适应的模型,那么该模型 t 时刻的输出由三个部分组 成,系统 1t -时刻的值 1t y -, , 1t t -时刻输入的 t x 和 1t x -,以及与前两部分相互33无关的随机扰动项 t 。如果我们用后移算子 B ,可以将模型写成+-。 这样的模型有什么统计特征,又如何定阶、估计和诊断呢?本讲专门讨论多维时间序列建模的相关问题,但是又与我们通常了解 的向量自回归不同,这里一定

3、有一个自变量和若干个解释变量。内容结构 为:首先引入了传递函数模型,并讨论了传递函数模型和脉冲响应函数的 基本特征和性质,脉冲响应函数与互相关函数的关系以及传递函数模型的4 稳定性。在此基础上介绍了传递函数模型的识别、估计和诊断,并用通过 实例分析说明建模的过程。最后引入了干预变量,讨论了干预变量建模的 理论和建模过程。第一节 传递函数模型的基本概念在以前几章,我们讨论了单变量时间序列分析的建模、估计和诊断有 关的问题。但是应用中常常会遇到一个时间序列当期的表现,不仅受自己 过去的影响,还与另一个或者多个时间序列相关联,这种线性系统的输出 变量与一个或多个输入变量有关,描述这种动态系统的模型称

4、为传递函数 45 模型。研究具有一个输入变量的单输出的线性系统,如图 1所示。 图 1 动态系统图示一、模型的形式566+=+- 是两个变量的时间序列模+-传递到 输出上,而随机扰动项又通过算子 110.46B-叠加到输出上,最终输出 ty 。又比如传递函数的模型 3011t t t y B x B=+-,其含义是 3t x -对输出 t y 的影响效用 是 0,而随机扰动项 t 通过算子 11B-叠加到最终输出 t y 中。传递函数模型的形式多种多样,但是其构成的机理基本上是一致的。一般的传递函数形 式为77( ( ( (bt t t B B B y x E B B =+ (1其中 01(

5、s s B B B =-1( 1r r E B B B =-1( 1q q B B B =- 1( 1p p B B B =-( B 、 ( E B 、 ( B 、 ( B 为滞后算子 B 的多项式,其阶数依次分别为 s 、r 、 q 及 p 。其中参数 s 和 r 是 ( B 和 ( E B 的阶数,描述 t x 对 t y 影响。 q 和 p88是 ( B 和 ( B 的阶数, 描述随机冲击对 t y 的影响; b 称为延迟参数, 即 t x 的 b 期滞后值才开始对 t y 产生影响。 t 是随机干扰项, 2(0, t iidN ,且与 t x 相互独立。 ( (b B B E B 称为

6、传递函数,系统的形成机理可用图 2表示。 99图 2 一般传递函数模型的形成机理 多变量输入传递函数模型的一般形式为t x10101( (jb kj t tj t j j B B B y x E B B =+当然这比一个输入系统要复杂得多。二、脉冲相应函数特征由于传递函数 ( (bB B E B 是由 B 的多项式构成, 所以对于传递函数的模型来说,只要确定其传递函数部分最重要三个参数 s 、 r 和 b ,传递函数基本 情况就了解了。传递函数模型的特征与传递函数的三个参数 s 、 r 和 b 密切 相关,为三者的判定提供了工具。 1111设传递函数为( ( (B E B B B V b=(2

7、由于 ( V B 是有理函数, 从理论上讲 ( V B 可以表示为是 B 的无穷高阶多 项式2012( V B B B =+( V B 的系数 (1,2,. j v j =称为脉冲响应函数。 说明 t x 的过去值如何影响系统 ty 的输出。根据(2式,有2101201(1( ( r s b r s B B B B B B B -+=-1212或者21012(1( r r B B B B -+101( b b s b s B B B +=-再根据待定系数法,比如 常数项 v 0=0一次项 v 1- v01=0,则 v 1=0 二次项 v 2-1v 1-2v 0,则 v 2=0 类推有13131

8、12211220, 1, 2, , j j j r j r j b j j r j rj bv v v j b b b b s v v v j b s-<=+-=+>+ (3仔细观察(3式会发现如下的规律:(1前 b 个脉冲函数值为零,即 010=-b v v ,可见我们可以由此来 定 b ;(2 当 , 1, 2, , j b b b b s =+时,脉冲响应函数有形式1121j j j r j r j b v v v v -=+-因为 j b -(,., j b b s =+是不同的参数,无规律可循,所以这时的 s+11414个脉冲响应函数也无固定形式;(3由于 ( B 的阶数

9、为 s ,所以 ( 0j b j s b ->+=,则有 j s b >+时1122j j j r j r v v v -=+这恰好是一个 r 阶的差分方程, 可见当 j b s >+时的脉冲响应函数是该方 程的解, 所以当 1j b s +时脉冲响应函数呈指数衰减。 有 r 个初始响应函数 为 s b r s b r s b v +-+-+, , , 21 ,且 11211b s b s b s r b s r v v v +-+-=+。结合这 3点,我们可以得到三个参数 s 、 r 和 b 的值。例如当前面的三 个脉冲相应函数均为零时,可以确定延迟参数 b=3,如果有个

10、5个响应函 1515数无规律,那么 ( 15b s b +-+=,则 4s =。三、常见的传递函数的形式为了加深对脉响应函数的理解,我们讨论几个多项式阶数不高的, 常见的传递函数的情形。1. 0r =的情形bs s s b s b b b B B B B v B v B B B ( (10332210-=+ 表 1 r =0情形的脉冲响应函数表 16162. 1r =的情形在这个情况下, 当 s=0时, 从 b 开始脉冲响应函数呈指数衰减; 当 s=1时,从 1+b 开始脉冲响应函数呈指数衰减;当 s=2时,从 2+b 开始脉冲响应 1717函数呈指数衰减,有231012301(1( ( b

11、s s b b s s B B B B v B B B B +-+=-表 2r =1的情形的脉冲响应函数表在时间序列的实务分析中 r 和 s 均比较小,很少超过 2。1818四、传递函数的稳定性脉冲响应函数是将传递函数表示成为无穷级数时的系数,即01122(t t t t t B Y X X X B -=+ 从时间序列滞后的特点来看,既往输入系统的 t X ,滞后期越长,则对系统 的影响则越小,所以脉冲响应函数 012, , , v v v 应该快速收敛到零,这样传递 函数则更稳定性。 传递函数稳定性的要求与 ARMA 模型平稳性的要求是类 似的,所不同的是除了要求传递函数部分的稳定性,还要求

12、干扰项部分的 平稳性。为了保证191901122(t t t t t B Y X X X B -=+ 的传递函数平稳,要求 012, , , v v v 绝对收敛的,即要求满足 j v <,这等价于特征方程110r r r -=的根在单位圆之内, 这时此系统称为稳定系统, 这个条件相当于 ARMA 序列平稳的条件。对于随机干扰部分的平稳性要求与前面对 ARMA 模型平稳性的要求 是一样的,要求特征方程2020110p p p -=的根在单位圆之内。当然, 如果是一个非平稳的系统, 总可以通过适当的差分将系统转换为 平稳系统。【例5.1】假 设 传 递 函 数 模 型 为32B B Y X

13、 a B B B -=+-+-,讨论 2121其稳定性。1,2i i ±=±第二节 传递函数模型的识别与估计ARMA 模型涉及的是单变量问题,所以其识别工具主要是自相关和偏22 自相关函数的截尾性质,之所以称为自相关,是因为它们均讨论同一变量 在两个不同时刻输出间的相关性。而传递函数的模型是多元的时间序列分 析,模型的识别会同时涉及到互相关(交叉相关和自相关问题,因为自 相关在前面的章节已经讨论,所以这里只讨论互相关(交叉相关 。 一、互相关函数(一 互相关函数定义互相关函数是一种非常有用的测度两个变量之间相关强度和方向的函 数,在时间序列中我们常常讨论两个变量间的相关性,

14、它与平稳时间序列 222323的自相关函数不同,自相关函数没有方向,亦即 t y 与 s y 的自相关系数只与 时间间隔有关,无论 t 和 s 谁在前或后。给定二时间序列 t x 和 t y , 1,2, t =,且均为平稳时间序列,如果不是平 稳的时间序列,总可以通过适当的差分,转化为平稳的时间序列。称cov(, ( ( t s t y s x yx y x E y x t s =-=- (4为互协方差函数。 称(, ( t y s x t s yx x yE y x y x t s -=- (5 2424为互相关函数,记为 CCF 。特别值得注意的是互相关函数不仅与时间 间隔有关,而且它是

15、不对称,即与方向有关。如图 3所示。 t s y - t y t s y +t yt x t s x - t x t s x +图 3 互相关函数示意图2525(, ( t x t s y t t s xy x yE x y x y s -=- (6 (, ( t x t s y t t s xy x yE x y x y s +-= (7这种互相关关系的非对称性是容易理解的。假设 t x 是某种商品的广告 费,对于该种商品的销售额来说是广告费是领先的变量,它对过去的销售(0 t s y s ->几乎无影响,甚至可能为零,因为 t x 对于 (0 t s y s ->来说是未来的广

16、告费,未来的广告费不会对过去的销售额;但是 t x 对于 t s y +是有影响的,至 于相关性到什么程度,要根据实际情况进行讨论。2626(二样本互相关函数由于总体的互相关函数是未知的,为了讨论两个时间序列的互相关函 数,通常需要用一个跨度为 N 的样本来估计总体互相关函数,假设这个跨 度为 N 的样本为 1122(, ,(, , ,(, N N x y x y x y , 如果 t x 和 t y 是非平稳的, 那么我们 总可以经过 d 阶差分将其转换为平稳的时间序列。样本的互协方差函数为111( ( 1( ( N kxy t t k t Nxy t k t t C k x y N C k

17、 x y N -+=-=-=- (8 样本的互相关系数为 2727( ( 0, 1, 2,xy xy x yC k k k s s =±± (9其中 、 、 x s 和 y s 分别是两个序列的均值和标准差。在实际中,为了获得互相关函数有统计意义的估计,样本容量要求至 少为 50对观测值。 为了了解互相关函数的计算的原理, 下面我们模拟一个 二变量的时间序列的样本,给出计算的过程。【例 2】 对表 3中模拟的序列,计算互相关系数。 表 3 模拟数据表28 可以分别计算出两个序列的均值分别为 11和 8,标准差分别为 2.38和1.53。282929计算互协方差函数 5111

18、(1( 6xy t t t C x y +=-(102(4 (2 (2 (1 10326=+-+-+1162.6676=2.667 5111(1 ( 6xy t t t C x y +=-=-(1(4 (1 (2 21(2 3(1 206=-+-+-+-+1(13 16=-=- 再计算互相关函数 (1 2. 667(1 0. 7322. 381. 53xy xy x y C S S =3030(1 2.167xy xy x yC S S -=-=-从计算的结果可以看出互相关系数是不对称的, 即不仅与间隔有关, 还与方向有关。【例 5.2】 1 本例的数据来源于 Box 与 Jenkins 合著

19、时间序列分析 预测与控制一书中的序列 M 。序列 M 是某商品 1970年销售额 t y 与销 售额的领先指标 t x 共 150对数据, 图 4是领先指标 t x 的数据图, 图 5是销售 额指标 t y 的数据图,图 6是 t x 和 t y 的互相关函数。1本例用 SAS9.13完成。3131 91011121314 图 4 领先指标 t x 的数据图3232 180200220240260280 图 5 销售额 t y 的数据图CrosscorrelationsLag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

20、 8 9 1 -3 0.024782 0.05464 | . |* . | -2 -0.026508 -.05844 | . *| . | -1 0.043985 0.09698 | . |*. |3333 0 -0.0014380 -.00317 | . | . | 1 0.032168 0.07092 | . |* . | 2 -0.172487 -.38029 | *| . | 3 0.326598 0.72007 | . |* | 4 0.047392 0.10449 | . |*. | 5 0.049176 0.10842 | . |*. | 6 0.019792 0.04364 |

21、 . |* . | 7 0.064040 0.14119 | . |* | 8 0.022016 0.04854 | . |* . | 9 0.040773 0.08989 | . |*. | 10 -0.013822 -.03048 | . *| . | 11 0.053524 0.11801 | . |*. | 12 0.013731 0.03027 | . |* . |"." marks two standard errors图6 t x 和 t y 的互相关函数图3434“.” 标志相关系数两倍标准差处。从图 6可以看出当滞后期数 1i 时, 互相关函数 (, t

22、t i x y -显著为零。接着滞后期数 2k =和 3k =时的互相关函数 分别为 2(, 0.3803t t x y +=-和 3(, 0.7201t t x y +=,两个互相关函数值均在两 倍标准差之外,所以统计的角度看显著不为零。(三互相关函数与传递函数的关系如前所述,传递函数模型可以表示为以脉冲响应函数为系数的时间序 列各个时刻值 1, ,. t t x x -的加权和,即 (2012( t t t t t y V B x B B x =+=+。 传递函数的形式实际上反映了互相关函数的特征,那么互相关函数和脉冲3535 响应函数关系如何呢?下面讨论互相关函数与传递函数关系。 设 0

23、11t k t k t k t ky x x +-+=+ 将两边同时乘以 t x ,则011t k t t k t t k t t k t y x x x x x x +-+=+两边同时求数学期望,有011( ( ( ( t k t t k t t k t t k t E y x E x x E x x E x +-+=+因为变量 t x 与随机干扰项相互独立,则 ( 0x r k =, 2, 1, 0±±=k 有 01( ( (1 ( xy x x x r k r k r k r k =+-+3636上式两边同时除以 x 和 y ,得互相关函数01( ( (1 (0xxy

24、 x x k x yk k k v =+-+ (10从(10式可以看出互相关函数 ( xy k 是输入变量 t x 的自相关函数和脉 冲响应函数 i v 的线性函数,如果能从(10式中解出脉冲响应函数,那么 模型的传递函数就得到了。但是(10式的脉冲响应函数有无穷项,直接 求解是不可能的。那么如果将输入的变量 x 换成白噪声序列情况会如何呢?由于白噪声 序列的自相关函数为 0,这时(10式的右边除了 (0k x v 之外,其余的项均3737为零,则(10式简化为( xxy k yk v =(11 则 (k xy xyk =(12 因此寻找一个白噪声序列 t ,它由 t x 滤波得到,且带有 t

25、 x 的信息。这 种转换叫做“预白化”方法。 在这种情况下模型的脉冲相应函数和互相关 函数之间仅仅相差一个常数因子yx, 如 5.11式。 可见模型的脉冲相应函数 和互相关函数有同样的变化规律,利用互相关函数有助于对模型传递函数3838部分的识别。设传递函数模型为( t t t y B x =+假定输入序列 t x 是一个平稳序列,其适应模型为( ( t t B x B =(t t B x B = (13 其中 t 为白噪声序列, 且含有 t x 的信息。 如果我们把(B B 看成一个滤3939波器,假定输出序列 t y 与输入序列 t x 有同样的特征,那么用这个相同滤波 器,也可以将 t

26、y 进行滤波,得(t t B y B = (14 其中 t 是白噪声序列,且含有 t y 的信息。将 ( t t t y B x =+代入(14式,则(B B t =( t t B X + ( (B B =( (t t B B B +4040( (t t B B B =+ 故有 (k v k = (15可见预白化处理后,输入的数据转化为一个带有 t x 信息的白噪声序列t ,且有 t 与 t 相互独立,这样问题就简化多了。当计算出样本的互相关函数 ( k 、 2和 2,脉冲响应函数的初估计就容易得到了。 (15式给我们一个信息,除了相差一个常数因子外,脉冲响应函数和互相关函数有相同的模式,这就

27、是说可以用互相关函数 ( k 来识别传递函数的阶数。4141【例 3】 继续利用【例 2】的数据计算预白化后的序列 t 和 t 的互相 关函数。通过识别差分后的序列可知, t x 服从一阶移动平均模型,其模型为 (10.4492 t t x B =-,故通过滤波器预白化的序列为(10.4492t t x B =- (10.4492t t y B =- 得到两个预白化序列后,计算两个序列的标准差,有 948. 1=s 和 2794. 0=s 。两个预白化序列的互相关函数如图 7所示。Crosscorrelations42Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6

28、5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 -12 -0.015148 -.02784 | . *| . | -11 -0.038093 -.07000 | . *| . | -10 -0.028313 -.05203 | . *| . | -9 -0.026054 -.04788 | . *| . | -8 0.026927 0.04948 | . |* . | -7 -0.0013061 -.00240 | . | . | -6 -0.034684 -.06374 | . *| . | -5 0.013016 0.02392 | . | . | -4 0.0012583 0.00231 | . | . | -3 0.022045 0.04051 | . |* . | -2 0.0054125 0.00995 | . | . | -1 0.051478 0.09460 | . |*. | 0 0.034232 0.06291 | . |* . |1 0.043060 0.07913 | . |*. |2 0.010062 0.01849 | . | . |3 0.367442 0.67523 | . |* |4243 43 4 0.246112 0