附 梁的弯曲与圆柱的扭曲

1、附： 梁的弯曲与圆柱的扭曲 a b G 图6.7，梁的中间层没有被压缩，梁中间层之上的各层面，将发生不同程度的挤压；而梁中间层之下的各层面，将发生不同程度的拉伸。 除了拉伸压缩和剪切形变之外，连续弹性介质体内还会发生两种形变，一种是弯曲，另一种是扭曲。为了讨论方便，我们以方形的梁为弯曲的例子，以圆柱来讨论扭曲。 10、梁的弯曲 R dz z 图6.8，考虑距中间层为厚为的一层。 如图6.7，考虑一两端有支撑的方形梁。如果梁的中部有负载时，梁将发生弯曲。将横梁分成不同的层面，则梁弯曲后，梁的中间层将没有被拉伸和压缩；梁中间层之上的各层面，将发生不同程度的挤压；而梁中间层之下的各层面，将发生不同程

2、度的拉伸。由此可见，梁的弯曲，是由不同程度的拉伸和挤压组成的。 如果梁的长为、宽为、厚为，梁弯曲后形成弧角为、半径为的圆弧，则考虑距中间层为厚为的一层(如图6.8)，其长度将变为 相应地，该层的形变量就为 R F Z F/ 图6.9，内力对中间层的力矩。 其应变就为 E (6.3.1) 现在考虑该层所受到的正应力s，这正应力沿该层圆弧的切向。由胡克定律，应有 sE (6.3.2)而该层的横截面宽为，厚为，面积就为，作用在该横截面上相应的总内力就。而该梁层上的内力对中间层的力矩就为 注意到中间层之上各层的内力是挤压性的，中间层之下各层的内力是拉伸性的。它们对中间层的力矩由于对称性，大小相同，方向

3、也相同。故将(2)式代入并对各层求和积分，就得到总的内力对中间层的力矩 (6.3.3)横梁弯曲平衡时，外力矩与内力矩大小相等，方向相反。故 (6.3.4)所以，横梁弯曲平衡时，横梁弯曲的曲率就为 k (6.3.5) Q y Q a b o x x G 图6.10，梁的中间层没有被压缩，梁中间层之上的各层面，将发生不同程度的挤压；而梁中间层之下的各层面，将发生不同程度的拉伸。 显然，由于中间层无拉伸与压缩。因此，中间层无正应力。考虑到这一点，一般在工程上，作为钢梁，会采用工字钢或空心钢管。又考虑到横梁上部各层的内力是挤压性的，下部各层的内力是拉伸性的，所以对钢筋混凝土横梁，底层会多用钢筋，以利用

4、钢筋的抗拉能力；而上层会少用钢筋，多用水泥，以利用混凝土的抗压能力。 下面我们考虑如图6.10横梁中部压有重物G时，如何计算梁中部的扰度。建立坐标系如图，曲梁中性层曲线在x点处的曲率为 (6.3.6)在横梁弯曲微小的情况下，从而 (6.3.7)在梁平衡时，考虑从x到右端支点一段横梁的受力，左端面受如图6.9内力偶()的作用，右端受支撑力Q的作用。内外力矩平衡，有 (6.3.8)既有 (6.3.9)注意到横梁弯曲微小的情况下，支点处横梁所受的支撑反力Q可看成是竖直向上的。由于对称性，应有Q = G/2。现对x积分，并由边界条件，定出积分常数，就得到 (6.3.10)将代入，就得到右端点的y值，也

5、就是横梁中点的挠度，即 （6.3.11）这样，只要测到横梁的挠度，就能得到横梁材料的杨氏模量。dr dr r 放大 l 图6.11，在放大的截面上，任意一条矢径都会被扭转一个角度，而半径为r、宽dr的圆环，则整体扭转了r. 20、圆柱的扭曲 对于半径为的圆柱，如果一端固定，另一端在外力作用下转动时，则外力对中心轴线就有一个扭力矩的作用。此时，圆柱会发生扭曲形变。若把圆柱分为一层层横截层面，则每一层都作了切变。假设在受力一端的横截面上，任意一条矢径都会被扭转一个角度(如图6.11)。而在这横截面上，取半径为宽为的圆环。在微小形变的情况下，环上某点处将由于扭曲而偏移了的距离。若圆柱的长度为，则环上该点处的切应变就为 y (6.3.12)若假设该点处的切应力设为t，由胡克定律可有 ty而整个环上的内力对中心轴线的力矩就为 t×2p对柱的整个横截面积分，就得到整个横截面的内力矩 扭曲到达平衡时，内力矩与外力矩大小相等，即有 (6.3.13) 图6.12，长为l的金属丝，下悬一水平的金属棒，可作扭摆。 如果圆柱为一细长的金属丝(杆)，下悬一转动惯量为I的水平金属棒，这就可以构成卡文迪许扭秤，也可以是扭摆。作为扭摆，其运动微分方程为 （6.3.14）取 (6.3.15)则扭摆的周期为 （6.3.16） 又若金属丝（杆）下悬转动惯量为I