计算机数学基础数值部分第四单元辅导

1、计算机数学基础数值部分第四单元辅导一、重点内容1. 二分法: 设方程f(x)=0在区间a,b内有根，用二分有根区间的方法，得到有根区间序列：a，b É a1，b1 É a2，b2 ÉÉ an，bn É x*»xn= (a0=a,b0=b),n=0,1,2, 有误差估计式: ½x*xn½£，n=0,1,2,二分有根区间次数: 2. 迭代法(1)简单迭代法: 若方程f(x)=0表成x=j(x)，于是有迭代格式： xn=j(xn1) （n=1,2,） x*»xn若存在0<l<1,½

2、;j¢(x)½£l (),在区间a,b内任一点x0为初始值进行迭代，迭代数列收敛。校正值 再校正值 改进值 (2)快速迭代法: 3. 牛顿法:用切线与x轴的交点，逼近曲线f(x)与x轴的交点。迭代公式为 （n=1，2，） 选初始值x0满足f(x0)f ²(x0)>0，迭代解数列一定收敛。4. 弦截法: 用两点连线与x轴交点逼近曲线f(x)与x轴的交点。迭代公式为 (n=1,2,)二、实例例1 证明方程1xsinx0在区间0,1内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×104的根要迭代多少次？证明 令f(x)1xsinx f(0)=1>

3、;0，f(1)=sin1<0 f(x)=1xsinx=0在0，1有根。又f¢(x)=1cosx>0(xÎ0，1),故f(x)0在区间0，1内有唯一实根。给定误差限e0.5×104，有只要取n14。例2 用迭代法求方程x54x20的最小正根。计算过程保留4位小数。分析 容易判断1，2是方程的有根区间。若建立迭代格式，此时迭代发散。建立迭代格式，此时迭代收敛。解 建立迭代格式 (可任取1，2之间的值)1.431 0 1.505 1 1.516 5 1.518 2 1.5185 取1.5185例3 试建立计算的牛顿迭代格式，并求的近似值，要求迭代误差不超过1

4、05分析首先建立迭代格式。确定取几位小数,求到两个近似解之差的绝对值不超过105。解 令，求x的值。牛顿迭代格式为迭代误差不超过105，计算结果应保留小数点后6位。当x=7或8时，x3=343或512，,取x0=8,有 7.478 0787.439 956 7.4397607.439760于是，取7.439760例4 用弦截法求方程x3x210，在x=1.5附近的根。计算中保留5位小数点。分析 先确定有根区间。再代公式。解 f(x)= x3x21，f(1)=1，f(2)=3，有根区间取1,2取x1=1, 迭代公式为(n=1,2,) 1.37662 1.48881 1.46348 1.46553

5、取1.46553，f(1.46553)»0.000145例4 选择填空题1. 设函数f(x)在区间a,b上连续，若满足 ，则方程f(x)=0在区间a,b一定有实根。答案：f(a)f(b)<0解答：因为f(x)在区间a,b上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f(c)=0，故f(x)=0一定有根。2. 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表成x=j(x),则f(x)=0的根是( )(A)y=x与y=j(x)的交点 (B) y=x与y=j(x)交点的横坐标 (C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=j(x)与x轴交点的横坐标答案：

6、(B)解答：把f(x)=0表成x=j(x), 满足x=j(x)的x是方程的解，它正是y=x与y=j(x)的交点的横坐标。3.为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不一定收敛的是( )(A) (B) (C) (D) 答案：(A)解答：在(A)中故迭代不一定收敛。在(B)中，故迭代收敛。 在(C)中，故迭代收敛。在(D)中，类似证明，迭代收敛。4牛顿切线法是用曲线f(x)上的 与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)0的解；而弦截法是用曲线f(x)上的 与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)0的解。答案：点的切线；两点的连线解答：见它们

7、的公式推导。三、练习题1. 用二分法求方程f(x)=0在区间a,b内的根xn，已知误差限e，确定二分的次数n是使( )(A) ba£e (B) ½f(x)½£e (C)½x*xn½£e (D)½x*xn½£ba2. 设方程f(x)=x42x=0，在区间1,2上满足 ,所以f(x) =0在区间1,2内有根。建立迭代公式=j(x)，因为 ，此迭代公式不一定收敛。 3. 牛顿切线法求解方程f(x)=0的近似根，若初始值x0满足( )，则解的迭代数列一定收敛。(A)<0 (B) >0 (C)

8、£0 (D)³04. 设函数f(x)在区间a,b内有二阶连续导数，且f(a)f(b)<0, 当 时，则用弦截法产生的解数列收敛到方程f(x)=0的根。 5. 用二分法求方程x3x1=0在区间1.0,1.5内的实根,要求准确到小数点后第2位。6. 用简单迭代法求方程在区间1,2上的根，取x0=1.5。并讨论以下格式的收敛情况。(1) (2) (3) (4) (5) 7. 有简单迭代法求方程xln(x+2)=0的根，要求½xkxk1½<1038. 用牛顿法求方程x33x1=0在初始值x0=1.5附近的正根，要求½xkxk-1½<1039. 试用牛顿切线法导出下列各式的迭代格式：(1) 不使用除法运算； (2) 不使用开方和除法运算。10. 证明用二分法求方程在区间0，1上的一个根，要求有四位有效数字，则至少要二分有根区间14次。四、练习题答案1.(C) 2.; >1 3.(B） 4. f ¢(x)¹0 5. 1.32 6. (1),(2)不收敛。(3) x15 »1.365 223 6