圆周运动中的临界问题之欧阳家百创编

1、欧阳家白创编周运动中的临界问题欧阳家百(2021.03.07)1、在竖直平面内作圆周运动的临界冋题如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平直作圆周运动过最高点的情况 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用 临界=/ 能过最高点的条件：v>Ri ,当v>何时， 绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。 不能过最高点的条件：VVV临界(实际上球没 到最高点时就脱离了轨道)。如图3所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不 同，它既能产生拉力，也能产生压力能过最高点V临界=0,此时支持力N = mg 当0<v<VR时，N为支持力，有OvNvmg, 且N随v的增大而减小 当¥

2、; =辰时，N = O 当v>辰,N为拉力，有N>0, N随v的增 大而增大例1（99年高考题）如图4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球b图4A、a处为拉力,b处为拉力B、a处为拉力,b处为推力作用力可能杲 （b处为拉力D、a处为推力,b处为推力图5例2 长度为L = O.5m的轻质细杆OA, A端有一质量为m = 3.0kg的小球，如图5所示，小球以0 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点 时小球的速率是2.0m / s, g取10m/s2,则此 时细杆0A受到（）A

3、、6.0N的拉力 B、6.0N的压力C、24N的拉力 D、24N的压力例3长L = 0.5m,质量可以忽略的的杆，其下端固定 于O点，上端连接着一个质量m = 2kg的力球A, A绕 O点做圆周运动（同图5）,在A通过最高点，试讨论在 下列两种情况下杆的受力： 当A的速率vl = lm/s时 当A的速率v2 = 4m/s时2、在水平面内作圆周运动的临界冋题在水平廂上做圆周运动的物体，当角速度co变化时,物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋 势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受 某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特 别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。例4如图6所示，两绳

4、系一质量为m = 0.1kg的小球，上廂绳长L = 2m,两端都拉直时与轴的夹角分别为30。与45。，叵）球的角速度在什么范围内，两绳始终 张紧，当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉力分别为 多大？例5如图7所示，细绳一端系着质量M = 0.6kg的物体, 欧阳家百创编静止在水平肌，另一端通过光滑的小孔吊着质量m = 0.3kg的物体，M的中与圆孔距离为0.2m,并知M和水 平廂的最大静摩擦力为2N。现使此平廂绕中心轴线转 动，问角速度co在什么范围m合处于静止状态？ （g = 10m/s2）说明：一般求解“在什么范围内”这一类 的冋题就是要分析两个临界状态。3图7桥的压力为车重的o如果使汽

5、车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为（）A、15 m/ s B、20 m / s C、25 m / sD、30m/ s2、如图8所示，水平转盘上放有质量为m的 物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和 转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和 转盘间最大静摩擦力杲其下压力的卩倍。求：当转盘角速度曲=时，细绳的拉力T1。欧阳家白创编当转盘角速度32 =寸券时，细绳的拉力T2。 三、小结1、解圆周运动的问题时，一定要注意找准圆心，绳 子的悬点不一定是圆心。2、把临界状态下的某物理量的特征抓住是关键。如 速度的值是多大、某个力恰好存在还杲不存在以及这个 力的方向如何。答案例1分析：答案A杲正

6、确的，只要小球在最高点b 的速度大于個，其中L是杆的长；答案B也是正确 的，此时小球的速度有0<v<VgL ;答案C、D肯定是 错误的，因为小球在最低点时，杆对小球一定是拉力。例2解法：小球在A点的速度大于個时，杆受到 拉力，小于倔时，杆受压力。VO=/gL =710x0.5 m / s = -/5 m / s由于v = 2.0 m/sv迈m/s,我们知道：过最 高点时，球对细杆产生压力。小球受重力mg和细杆的支持力N由牛顿第二定律mg-N = m#欧阳家百创编mv217=6.0N由牛顿第二定律mg-N = m *mgN = mg mv2T= 16N故应选Bo例3解法一：（同上例）

7、 小球的速度大于审m/s时受 拉力，小于审m/s时受压力。当vl = lm/s</5 m/s时，小球受向下的重力mg和向上的支持力N即杆受小球的压力16NOOf mgfF当v2 = 4m/s>逅m/s时，小球受向下的重力mg和向下的拉力F由牛顿第二定律 mg + F = mv2F = m 1 mg = 44N即杆受小球的拉力44N。解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以杲拉力或者杲压力。我们可不去做具体的判断而假设一 个方向。如设杆竖直向下拉小球A,则小球的受力就是上廂解法中的的情形。由牛顿第二定律mg + F = mv2L得到F = m (匸

8、-g)当 vl = lm/s 时，F1 = 16NFl为负值，说明它的实际方向与所 设的方向相反，即小球受 力应向上，为支持力。则 杆应受压力。当 v2 = 4m/s 时，F2 = 44NOF2 为正值，说明它的实际方向与所 设的方向相同，即小球受 力就是向下的，是拉力。 则杆也应受拉力。例4解析：当角速度co很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。当co逐渐增大到30。时，欧阳家百创编BC才被拉直（这杲一个临界状态），但BC绳中的 张力仍然为零。设这时的角速度为col,则有：TACcos30° = mgTACsin30° = mcol2Lsin3O°将

9、己知条件代入上式解得col = 2.4 rad / s当角速度3继续增大时TAC减小，TBC增大。 设角速度达到0）2时，TAC = 0 （这又是一个临界状 态），则有：TBCcos45° = mgTBCsin45° = ma）22Lsin30o将己知条件代入上式解得co2 = 3.16 rad / s所以 当 co 满足 2.4 rad / s<co<3.16 rad / s, AC、BC 两绳始终张紧。本题所给条件co = 3 rad/s,此时两绳拉力TAC、TBC都存在。TACsin30° + TBCsin45° = mco2Lsin3

10、O° TACcos30° + TBCcos45° = mg将数据代入上两式解得TAC = 0.27N, TBC =1.09N注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。女果 cov2.4 md/s 时，TBC = 0, AC 与轴的欧阳家百创编夹角小于30。如果co>3.16rad/s肘,TAC = 0, BC与轴的夹角大 于45例5解析：要使m静止，M也应与平相对静止。而M与平静止时有两个临界状态：当co为所求范围最小值时，M有向着圆心运动的趋势，水平廂对M的静摩擦力的方歹克 圆心，大小等于最大静摩擦力2N。此时，对M运用牛顿第二定律。有 T-fm = Mcol2r 且 T = mg解得 col =2.9