向量的回路与回路法的教学思考

1、向量的回路与回路法的教学思考上虞中学（312300）谢全苗向量是高中教材的新内容，也是近年高考命题的热点与重点作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学后，不仅给中学数学的教、学带来了无限的生机，而且大大拓宽了解题的思路与方法，是提高学生解题能力、培养学生创新思维的一个亮点但由于向量是新增内容，教师自己也与学生一样，刚刚接触这一内容，缺少的不仅仅是经验，而且还有怎样有效地去指导学生解题的思想方法，因此，探索、总结、提练一些行之有效的解题方法，是当前指导学生学习、掌握、运用好向量这一新增内容的重要的课题特别当几何问题不能或较难建立坐标系来解决的情况下，学生常常感到困难重重，尽管心理学家认为：“耐

2、挫力在克服困难中表现，也在经受挫折、克服困难中发展，困难是培养学生耐挫力的的磨刀石”，但避免使他们遭受过重的精神打击和接连的挫折，并恰到好处地去启发他们，始终是一个教师的能力与水平的体现下面通过具体的例子，来介绍“回路法”在向量解题中的应用所谓“回路”就是向量从一点出发，通过一条封闭的路径又回到原点的那条通路就是这个直观和简单的“回路”，常常关系到问题解决的成败抓住“回路”和选好“回路”往往是解不能或较难建立坐标系来解决几何问题的向量解法的关键与契机，有时因未从“回路”着手去思考或由于没有在众多的“回路”中选好“回路”使问题的解决陷入困境，相反，由于从“回路”着手去寻找思维的突破口或从众多的“

3、回路”中选好“回路”，从而使问题解决的简捷明快例1已知一个的二面角的棱上有两点，分别在两个面内作垂直于的线段，若，则解：选作为“回路”，则例直角三角形中，=，=，= 4，取的平分线，交于，交于，将图形沿折起，使=，求折起后线段的长（）（）解：如图（）是未折前的平面图形，由题意知是正，且为的中点由，得，作，交的延长线于，则，图（）是折后的图形，,故=×××解析：本题中为何要新选作为“回路”呢？这正是本题的巧妙与成功和值得大家的借鉴之处事实上，本题关于向量的“回路”有许多，如： ， ， ， ， ， 等等 ，由于要求，就要先求，即求而在其向量平方中必有数量积，这就要知道

4、相应向量的模和相应向量间的角，但上述“回路”中和向量不是相应向量的模未知，就是相应向量间的角未知或难求，而新选的“回路”：中，不但相应向量的模已知或易求，而且相应向量间的角既有已知可求，又有相互垂直，从而为问题的解决创造生机例已知四边形中，a2c，5a + 6b8c ,对角线的中点为，则 解：选“回路”： ）.由于为中点，所以， （a2c ）+（ 5a + 6b8c）a + bc例 已知P是正方形平面外一点，分别是上的点，且求证：直线平面证明：选“回路”：,，则在上取一点，使，于是 ， 平面例已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且和、的夹角都等于求对角线的长及直线和所成角的余弦值解：选“回路”：, 则=同理，而，直线和所成角的余弦值为例（2002年全国卷18题）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直点在AC上移动, 点在BF上移动，若（<<）求的长；当为值时，的长为最小；当的长为最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小解：作交于点，连结，则平面ABEF，由，选“回路”：，则 . （<<） 当时，的长最小值为；取的中点，易证为二面角的平面角，选“回路”：，于是，求得，二面角的大小为 例 已知P是正方形ABCD平面外一点，、分别为PA，B