直线参数方程t的几何意义

1、利用直线参数方程t的几何意义1、直线参数方程的标准式(1)过点Po(Xo,yo)，倾斜角为a的直线l的参数方程是r X_X +tcos_ o o(t为参数)t t 的几何意义：t t 表示有向线段POP的数量，P P ( (x,y) )ly = yo+tsi nPoP=tI PoP I =t为直线上任意一点. .(2)若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2=t2 t1I P1P2I = I t2 t1I(3)若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t1+t22x-xo+at(t为参数)y =yo中bt点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1:

2、(直线由点和方向确定)求经过点Po(Xo, yo)，倾斜角为a的直线I的参数方程.设点P(x , y)是直线l上任意一点，(规定向上的 方向为直线L的正方向)过点P作y轴的平行线，过Po作x轴的平行线，两条直线相交于Q点.一1)当PP与直线l同方向或Po和P重合时，PoP=| PoP|贝U PoQ=PoPco护Q P=PoPSin。2)当PP与直线l反方向时，PoP、PoQ、Q P同时改变符号PoP=-|PoP| PoQ=PoPcos Q P=PoPsiz仍成立 设PoP=t，t为参数，又PoQ =X-x0，Q P=y - yo即X = x。t coset是所求的直线l的参数方程ly = yo

3、+tsi na PoP=t,t为参数，t的几何意义是：有向直线I上从已知点Po(xo,yo)到点t3tl+t2则PlP2中点P3的参数为t3= ,1 PoP3I =2(4)若Po为PlP2的中点，贝Uti+t2=o,tit2o时，点P在点Po的上方；2当t=o时，点P与点Po重合；当to时，点P在点Po的右侧;5当t=o时，点P与点Po重合；6当t xt2,问题4:=I上2 tiI:若Po为直线I上两点Pi、P2的中点，Pi、P2所对应的 参数分别为ti、t2， 则ti、t2之间有何关系？ 根据直线I参数方程t的几何意义，PlP=ti，P2P=t2，V Po为直线I上两点Pi、P2的中点，|P

4、lP|=IP2P|PlP= P2P，即ti= t2,址20一般地，若Pi、P2、P3是直线I上的点， 所对应的参数分别为ti、t2、t3，P3为Pi、P2的中点则t3=yk( PiP3=P2P3,根据直线I参数方程t的几何意义,2tl+t2x-PiP3= tati,卩2卩3=tat2,- - tati=(ts12,)性质一：A A、B B 两点之间的距离为|ABHti-t2|，特别地，A A、B B 两点到Mo的距离分别为|tl|,|t2|.性质二：A A、B B 两点的中点所对应的参数为，若Mo是线段 ABAB 的中点，则2ti+t2 =0，反之亦然。在解题时若能运用参数 t t 的上述性质

5、， 则可起到事半功倍的效果。应用一：求距离兀22例 1 1、直线I过点Po(-4,o)，倾斜角为一，且与圆X2+y=7相交于 A A、B B 两点。6（1 1）求弦长 AB.AB.（2）求P0A和P0B的长。解：因为直线l过点P0（,0），倾斜角为一，所以直线I的参数方程为6兀X = -4 +tcos6JIX = -A +t，即2, (t t 为参数)，代入圆方程，得1y =0 +tsi nly = -t6 r 2t)(1t)7，整理得t2-473t + 9=02 2（1 1 ）设 A A、B B 所对应的参数分别为ti,t2，所以ti+t2=4j3,tit2=9,所以| AB冃t,-t2|

6、= J魚+t2)2-4址2= 2J3.(2)解方程t24尿 +9=0得，t,=3j3,t2= J3,所以P0A =| t1|=3j3,P0B =| t2|= J3.应用二：求点的坐标兀例 2 2、直线I过点P0（2,4），倾斜角为一，求出直线l上与点P0（2,4）相距为 4 4 的点的坐6标。解:兀因为直线l过点P0（2,4），倾斜角为一，所以直线l的参数方程为6兀=2 +t cos 6，即兀=4 + tsin 673x=2 + 2, (t t 为参数)，(1 1)y = 4 + lt2设直线I上与已知点P0（2,4）相距为 4 4 的点为 M M 点，且 M M 点对应的参数为 t t，则I

7、 PoM I =|t 1= 4，所以t=4 4，将 t t 的值代入（1 1）式,当 t t = 4 4 时，M M 点的坐标为（2 + 23,6）;当 t t =- 4 4 时，M M 点的坐标为（2-2%/3,2）,综上，所求 M M 点的坐标为（2+2J3,6）或（2-2丿3,2）. .点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数 t t 的几何意义求 M M 点的坐标较容易。62应用三：解决有关弦的中点问题兀2例 3 3、过点Po（1,O），倾斜角为一的直线I和抛物线y2=2x相交于 A A、B B 两点，求线段4ABAB 的中点 M M 点的坐标。ti+t2= =2 2j j2 2，由 M M 为线段 ABAB 的中点，根据 t t 的几何意义，得，易知中点 M M 所对应的参数为tM，将此值代入直线的参数方程得,M M 点的坐标为（2 2，1 1）点评：对于上述直线I的参数方程，A A、B B 两点对应的参数为t1,t2，则它们的中点所对 应的参数为解：直线I过点P0（1,O），倾斜角为7 7，所以直线1的参数方程为=1 +22，（t t 为参