超越140分的高考数学把关题解析30讲(2)

1、超越140分的高考数学把关题解析30讲1杭州二模21 (本小题满分14分)第21题设双曲线=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.(1) 证明：无论P点在什么位置，总有|2 = |·| ( O为坐标原点)；(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；解：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y = (x a ), 解得：= (,), 同理可得= (,), |·| =|+| =. 4分 设 = (

2、m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:m2 =, n2 = , |2 = :m2 + n2 = + = ,点P在双曲线上，b2 a2k2 > 0 . 无论P点在什么位置，总有|2 = |·| . 4分（2）由条件得：= 4ab, 2分即k2 = > 0 , 4b > a, 得e > 2分22. (本小题满分12分)已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数.(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.(2) 对任意n ³ a , 证明

3、f n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn(n)解: (1) fn ( x ) = nx n 1 n ( x + a)n 1 = n x n 1 ( x + a)n 1 , a > 0 , x > 0, fn ( x ) < 0 , f n ( x )在（0，+）单调递减. 4分（2）由上知：当x > a>0时, fn ( x ) = xn ( x + a)n是关于x的减函数, 当n ³ a时, 有：(n + 1 )n ( n + 1 + a)n £ n n ( n + a)n. 2分又 f n + 1 (x ) =

4、( n + 1 ) xn ( x+ a )n ,f n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) (n + 1 )n ( n + 1 + a )n < ( n + 1 ) nn ( n + a)n = ( n + 1 ) nn ( n + a )( n + a)n 1 2分( n + 1 )fn(n) = ( n + 1 )nn n 1 ( n + a)n 1 = ( n + 1 )n n n( n + a)n 1 , 2分( n + a ) > n ,f n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn(n) . 2分2杭州一模21. (本小题满分12分

5、)已知：y = f (x) 定义域为1，1，且满足：f (1) = f (1) = 0 ，对任意u ,vÎ1，1，都有|f (u) f (v) | | u v | .(1) 判断函数p ( x ) = x2 1 是否满足题设条件？(2) 判断函数g(x)=，是否满足题设条件？解： (1) 若u ,v Î 1，1， |p(u) p (v)| = | u2 v2 |=| (u + v )(u v) |，取u = Î1，1，v = Î1，1, 则 |p (u) p (v)| = | (u + v )(u v) | = | u v | > | u v |，

6、所以p( x)不满足题设条件.（2）分三种情况讨论：10. 若u ,v Î 1，0，则|g(u) g (v)| = |(1+u) (1 + v)|=|u v |，满足题设条件；20. 若u ,v Î 0，1， 则|g(u) g(v)| = |(1 u) (1 v)|= |v u|，满足题设条件；30. 若uÎ1，0，vÎ0，1，则： |g (u) g(v)|=|(1 u) (1 + v)| = | u v| = |v + u | | v u| = | u v|，满足题设条件;40 若uÎ0，1，vÎ1，0, 同理可证满足题设条件.综合

7、上述得g(x)满足条件.22. (本小题满分14分)已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (x ¹ 1)的图象上，且有t2 c2at + 4c2 = 0 ( c ¹ 0 ).(1) 求证：| ac | ³ 4;(2) 求证：在(1，+）上f ( x )单调递增.(3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.证：(1) tÎR, t ¹ 1, = (c2a)2 16c2 = c4a2 16c2 ³ 0 ， c ¹ 0, c2a2 ³ 16 , | ac |

8、 ³ 4. (2) 由 f ( x ) = 1 ,法1. 设1 < x1 < x2, 则f (x2) f ( x1) = 1 1 + = . 1 < x1 < x2, x1 x2 < 0, x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0 ,f (x2) f ( x1) < 0 , 即f (x2) < f ( x1) , x ³ 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ( x ) = > 0 得x ¹ 1, x > 1时，f ( x )单调递增.（3）（仅理科做）f ( x )在x > 1时

9、单调递增，| c | ³ > 0 , f (| c | ) ³ f () = = f ( | a | ) + f ( | c | ) = + > +=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.3南通二模19（本小题满分15分）设定义在R上的函数（其中R，i=0,1,2,3,4），当x= 1时，f (x)取得极大值，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（1，0）对称（1） 求f (x)的表达式；（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；（3） 若，求证：解：（1）5分 （2）或10分 （3）用导数求最值，可证得15分20（本小题满分13分）设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴