高三数学一轮复习必备精品33圆锥曲线方程及性质 备注【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部免费

1、第第 33 讲讲 圆锥曲线方程及性质圆锥曲线方程及性质备注：备注：【高三数学一高三数学一轮轮复复习习必必备备精品精品共共 42 讲讲 全部免全部免费费 欢欢迎下迎下载载】一一 【课标要求课标要求】1了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；3了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质二二 【命题走向命题走向】本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有 23 道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线

2、的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法对于本讲内容来讲，预测 2010 年：（1）1 至 2 道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。三三 【要点精讲要点精讲】1椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两1F2F21|FF个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若为椭

3、圆上任意一点，则有M21| 2MFMFa椭圆的标准方程为：（） （焦点在 x 轴上）或（22221xyab0ab12222bxay） （焦点在 y 轴上） 。0ab注：以上方程中的大小，其中；, a b0ab222cab在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，22221xyab22221yxab0ab只要看和的分母的大小。例如椭圆（，）当2x2y221xymn0m 0n mn时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆mnxmny（2）椭圆的性质范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，22221xyab|xa|ybxa 所围成的矩形里；yb 对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若

4、点在曲线上时，点yy( , )x y也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于( ,)xyxxx轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。yxxyy所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中xy心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭xy圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。0 x yb 1(0,)Bb2(0, )Bby同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。0y xa 1(,0)Aa2( ,0)A ax所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶

5、点。同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和21A A21B B2a2ba分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。b由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，a22Rt OB F2|OBb，且，即；2|OFc22|B Fa2222222|OFB FOB222cac离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。，cea0ac01e且越接近 ，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就e1cabe0c越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，两焦点0baab0c 重合，图形变为圆，方程为。222xya2双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的

6、绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（） 。12| 2PFPFa注意：（*）式中是差的绝对值，在条件下；时为1202|aFF12| 2PFPFa双曲线的一支（含的一支） ；时为双曲线的另一支（含的一支） ；2F21| 2PFPFa1F当时，表示两条射线；当时，122|aFF12| 2PFPFa122|aFF不表示任何图形；两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。12| 2PFPFa12,F F12|FF椭圆和双曲线比较：椭 圆双 曲 线定义1212| 2 (2|)PFPFaaFF1212| 2 (2|)PFPFaaFF方程22221xyab22221xyba22221xyab22221yxab焦点(,

7、0)Fc(0,)Fc(,0)Fc(0,)Fc注意：如何有方程确定焦点的位置！（2）双曲线的性质范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线12222byax的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。ax22ax ax ax对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双12222byax曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中12222byax心。顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，12222byax对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，, x y0yaxx)0 ,()0 ,(2aAaA 他们是双曲线的顶

8、点。12222byax令，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。0 x1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点） ，双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚2AA2 , a a轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长2BB2 , b b渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接12222byax近。等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；ab2）等轴双曲线的性质：（1

9、）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直xy注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为： ，ab)0(22yx当时交点在轴，当时焦点在轴上0 x0y注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，191622yx221916yx, ,a b c, a bc还有焦点所在的坐标轴也变了。3抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。方程叫做抛物线的标准方程。

10、022ppxy注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（,0） ，它的准线方2p程是 ；2px（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，.这四种抛物线的图pxy22pyx22pyx22形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp 22(0)xpyp22(0)xpyp 图形焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2poFxyloxyFlxyoFl准线方程2px 2px 2py 2py 范围0 x 0 x 0y 0y 对称性轴x轴x轴y轴y

11、顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率1e 1e 1e 1e 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。p四四 【典例解析典例解析】题型 1：椭圆的概念及标准方程例 1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于；( 4,0)(4,0)P10（2）两个焦点的坐标分别是、，并且椭圆经过点；(0, 2)(0,2)3 5(, )2 2（3）焦点在轴上，；x:2:1a b cb（4）

12、焦点在轴上，且过点；y225ab(2,0)（5）焦距为，；b1ab（6）椭圆经过两点，。3 5(, )2 2( 3, 5)解析：（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（） ，x22221xyab0ab，210a 4c 2229bac所以，椭圆的标准方程为。221259xy（2）椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（） ，y22221yxab0ab由椭圆的定义知，22223535312()(2)()(2)10102 10222222a ，又，10a 2c 2221046bac所以，椭圆的标准方程为。221106yx（3），6c 2226abc又由代入得，:2:1a b 2246bb，又焦点

13、在轴上，22b 28a x所以，椭圆的标准方程为。22182xy（4）设椭圆方程为，22221yxab ，221b22b 又，225ab23a 所以，椭圆的标准方程为22132yx（5）焦距为，63c ，又，2229abc1ab5a 4b 所以，椭圆的标准方程为或2212516xy2212516yx（6）设椭圆方程为（） ，221xymn,0m n 由得，2235()( )221351mnmn6,10mn所以，椭圆方程为221106yx 点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系例 2 （1） （06 山东）已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（2，0）

14、，且长轴长是短3轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是 。（2） （06 天津理，8）椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦( 10)E ，( 3 0)F ，点的准线方程为，则这个椭圆的方程是（）F72x 222(1)21213xy222(1)21213xy 22(1)15xy22(1)15xy解析：（1）已知为所求；222222242 ,2 3161164( 2 3,0)bab cyxaabcF（2）椭圆的中心为点它的一个焦点为( 1,0),E ( 3,0),F 半焦距，相应于焦点 F 的准线方程为 2c 7.2x ，则这个椭圆的方程是，选 D。252ac225,1ab22(1)15xy点评

15、：求椭圆方程的题目属于中低档题目，掌握好基础知识就可以。题型 2：椭圆的性质例 3 （1） （06 山东理，7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到2相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为（ ）(A) (B) (C) (D)2222142（2） （2009 全国卷理）设双曲线22221xyab（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于( )A.3 B.2 C.5 D.6 【解析】设切点00(,)P xy，则切线的斜率为00|2x xyx.由题意有0002yxx又2001yx解得: 2201,2,1 ( )5bbxeaa . 【答案】C点评：本题重

16、点考查了椭圆和双曲线的基本性质。例 4 （1） （2009 全国卷理）已知椭圆22:12xCy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若3FAFB ,则|AF =( )A. 2 B. 2 C.3 D. 3 【解析】过点 B 作BMl于 M,并设右准线l3FAFB ,故2|3BM .又由椭圆的第二定义,得2 22|233BF |2AF.故选 A 【答案】A（2） （2009 浙江理）过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C若12ABBC ，则双曲线的离心率是 ( ) A2 B3 C5 D10【解析】对于,0A

17、 a，则直线方程为0 xya，直线与两渐近线的交点为 B，C，22,(,)aabaabBCab ababab则有22222222(,),a ba bababBCABababab ab ，因222,4,5ABBCabe 【答案】C题型 3：双曲线的方程例 5 （1）已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值12(5,0),( 5,0)FF P12,F F等于，求双曲线的标准方程；6（2）求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程；221255xy(3 2,2)（3）已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为y12,P P，求双曲线的标准方程。9(3, 4 2),( ,5)4解析：（1）因为双曲线

18、的焦点在轴上，所以设它的标准方程为x22221xyab，(0,0)ab，。26,210ac3,5ac2225316b 所以所求双曲线的方程为；221916xy（2）椭圆的焦点为，可以设双曲线的方程为221255xy(2 5,0),( 2 5,0)，则。22221xyab2220ab又过点，。(3 2,2)221821ab综上得，所以。22202 10,2 10ab221202 102 10 xy点评：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量之间的关系。, ,a b c（3）因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为y；22221(0,0)yxabab点在双曲线上，点的坐标适合方程。1

19、2,P P12,P P将分别代入方程中，得方程组：9(3, 4 2),( ,5)42222222( 4 2)319( )2541abab将和看着整体，解得，21a21b221116119ab即双曲线的标准方程为。22169ab221169yx点评：本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的22,a b, a b过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚例 6已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，(3,0)5:4则双曲线的标准方程是_.解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,则焦点在 x 轴上，且 a=3，焦距与虚(3,0)轴长之比为，即，解得，则双曲线

20、的标准方程是；5:4:5:4c b 5,4cb221916xy点评：本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质，数形结合，更为直观简捷题型 4：双曲线的性质例 7 （1） （2009 安徽卷理）下列曲线中离心率为62的是 .22124xy .22142xy .22146xy .221410 xy 【解析】由62e 得222222331,1,222cbbaaa，选 B.【答案】（2） （2009 江西卷文）设1F和2F为双曲线22221xyab(0,0ab)的两个焦点, 若12FF，(0,2 )Pb是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A32 B2 C

21、52 D3【解析】由3tan623cb有2222344()cbca,则2cea,故选 B.【答案】B（3） （2009 天津卷文）设双曲线)0, 0( 12222babyax的虚轴长为 2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）A.xy2 B .xy2 C .xy22 D.xy21【解析】由已知得到2, 3, 122bcacb，因为双曲线的焦点在 x 轴上，故渐近线方程为xxaby22【答案】C【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。例 8 （1）(2009 湖北卷理)已知双曲线22122xy的准线过椭圆22214xyb的焦点，则直线2ykx与椭

22、圆至多有一个交点的充要条件是( )A. 1 1,2 2K B. 11,22K C. 22,22K D. 22,22K 【解析】易得准线方程是2212axb 所以222241cabb 即23b 所以方程是22143xy联立2 ykx可得22 3+(4k +16k)40 xx 由0 可解得 A.【答案】A（2） （2009 四川卷文、理）已知双曲线)0( 12222bbyx的左、右焦点分别是1F、2F，其一条渐近线方程为xy ，点), 3(0yP1PF2PF( ) A. 12 B. 2 C. 0 D. 4【解析】由渐近线方程为xy 知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是222 yx，于是两焦点坐标分别

23、是（2，0）和（2，0） ，且) 1 , 3(P或) 1, 3(P.不妨去) 1 , 3(P，则) 1, 32(1PF，) 1, 32(2PF.1PF2PF01)32)(32() 1, 32)(1, 32(【答案】C（3） （2009 全国卷理）已知双曲线222210,0 xyCabab：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为 ( )m A65 B. 75 C. 58 D. 95【解析】设双曲线22221xyCab：的右准线为l,过AB、分 别作AMl于M,BNl于N, BDAMD于,由直线 AB 的斜率为3,知直线 AB 的倾斜角16060 ,|2B

24、ADADAB,由双曲线的第二定义有1| |(|)AMBNADAFFBe 11|(|)22ABAFFB .又15643|25AFFBFBFBee .【答案】A题型 5：抛物线方程例 9 （1）)焦点到准线的距离是 2；（2）已知抛物线的焦点坐标是 F(0，2)，求它的标准方程解析：（1）y =4x，y =4x，x =4y，x =4y；2222方程是 x =8y。2点评：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数 p，因此只要给出确定 p 的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，

25、则所求的标准方程就会有多解。题型 6：抛物线的性质例 10 （1）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ 22ypx22162xyp）A B C D2244（2）抛物线的准线方程是（ ）28yx (A) (B) (C) (D) 2x 4x 2y 4y （3） （2009 湖南卷文）抛物线28yx 的焦点坐标是（ ） A （2，0） B （- 2，0） C （4，0） D （- 4，0）解析：（1）椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则22162xy22ypx，故选 D；4p （2）2p8，p4，故准线方程为 x2，选 A；（3） 【解析】由28yx ,易知焦点坐标是(,0)( 2,0)2p ，故选 B. 【答案】B点评：考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。例 11 （1） （全国卷 I）抛物线上的点到直线距离的最小值是（ 2yx 4380 xy