高中数学一轮复习微专题第⑩季数列概念及等差数列：第6节等差数列性质

1、第6节 等差数列的性质【基础知识】1.等差数列的性质:(1在等差数列n a 中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;(2在等差数列n a 中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列, 如:1a ,3a ,5a ,7a ,;3a ,8a ,13a ,18a ,;(3在等差数列n a 中,对任意m ,n N +,(n m a a n m d =+-,n m a a d n m-=-(m n ; (4在等差数列n a 中,若m ,n ,p ,q N +且m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+,特殊地,2m p q =+时,则2m p q a a a =+,m a 是p q

2、 a a 、的等差中项.(5等差数列被均匀分段求和后,得到的数列仍是等差数列,即232,n n n n n S S S S S -成等差数列.(6两个等差数列n a 与n b 的和差的数列n n a b ±仍为等差数列.(7若数列n a 是等差数列,则n ka 仍为等差数列.2.设数列n a 是等差数列,且公差为d ,(若项数为偶数,设共有2n 项,则-S S nd =奇偶; 1n n S a S a +=奇偶;(若项数为奇数,设共有21n -项,则S S -偶奇n a a =中(中间项;1S n S n =-奇偶. 3.(,p q a q a p p q =,则0p q a +=,

3、m n m n S S S mnd +=+.4.如果两个等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数.5.若n a 与n b 为等差数列,且前n 项和分别为n S 与'n S ,则2121'm m m m a S b S -=. 【规律技巧】1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.2.等差数列的性质多与其下标有关,解题需多注意观察,发现其联系,加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是

4、寻找项的序号之间的关系.3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n 项和公式.4.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向、形成解题策略.【典例讲解】【例1】 (1设S n 为等差数列a n 的前n 项和,S 8=4a 3,a 7=-2,则a 9=( A .-6B .-4C .-2D .2【答案】A(2(2014·浙江卷已知等差数列a n 的公差d >0.设a n 的前n 项和为S n ,a 1=1,S 2·S 3=36.求d 及S n ;求m ,k (m ,k N *的值,使得a

5、m +a m +1+a m +2+a m +k =65.规律方法 (1一般地,运用等差数列性质,可以化繁为简、优化解题过程.但要注意性质运用的条件,如m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q N *,只有当序号之和相等、项数相同时才成立.(2在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想,要注意公式使用时的准确性与合理性,更要注意运算的准确性.在遇到一些较复杂的方程组时,要注意整体代换思想的运用,使运算更加便捷.【变式探究】 (1设数列a n ,b n 都是等差数列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,则a 37+b 37等于(

6、A .0B .37C .100D .-37(2若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为( A .13B .12C .11D .10(3已知等差数列a n 的前n 项和为S n ,且S 10=10,S 20=30,则S 30=_.【答案】(1C (2A (360【针对训练】1、在等差数列n a 中,已知3810a a +=,则753a a += ( A .10B .18C .20D .28【答案】C【解析】因为3810a a +=,所以由等差数列的性质,得5610a a +=,所以753a a +=562220a a +=,选C.2、在等差数

7、列n a 中,若58113a a a +=,则该数列的前15项的和为_.【答案】15【解析】因为在等差数列n a 中,若58113a a a +=.所以8833,1a a =.又因为等差数列的前15项和为1158158(152*a a a S a +=.故填15. 3、设等差数列n a 的前n 项和为n S ,若911a =,119a =,则19S 等于 .a a a +=,191019190S a =. 综合点评:这些题都是等差数列的性质的应用,熟记等差数列的性质,并能灵活运用是解这一类题的关键,注意等差数列与等比数列的性质多与其下标有关,解题需多注意观察,发现其联系,加以应用. 网Z+X+

8、X+K【巩固提升】1、等差数列n a 中的1a 、4025a 是函数16431(23-+-=x x x x f 的极值点,则=20132log a ( A .B .C .D .【答案】A2、设n S 为等差数列n a 的前n 项和,给出四个结论:(12810a a a +(22(0n S an bn a =+(3若,*m n p q N ,则m n p q a a a a +=+的充要条件是m n p q +=+(4若611S S =,则90a =其中正确命题的个数为( A .1B .2C .3D .4【答案】A3.已知a n 是等差数列,a 1=1,公差d0,S n 为其前n 项和,若a 1,a 2,a 5成等比数列,则S 8=_.【答案】64 【解析】设数列a n 的公差为d ,由a 1,a 2,a 5成等比数列,得(1+d2=1·(1+4d,解得d =2或d =0(舍去,所以S 8=8×1+8(8-12×2=64. 4.在等差数列a n 中,a 15=33,a 25=66,则a 35=_.【解析】a 25-a 15=10d =66-33=33,a 35=a 25+10d =66+33=99.【答案】995.设S n 为等差数列a n 的前n 项和,S 2=S 6,a 4=1