用余弦定理证明范文

1、用余弦定理证明范文由正弦定理得cSinB=bSinC带入给定的式子得SinC=SinB(1+2CosA)C+A+B二n 将带入得Sin( n -A-B)=SinB+2SinBcosASinAcosB+SinBcosA=SinB+2SinBcosASinAcosB=SinB+SinBcosASin(A-B)=SinB所以A-B=B或n -(A-B)=B(舍)所以A=2B在ABC中,AB=c BC=a CA=b则c八2=aA2+b八2-2ab*cosCa八2=bA2+c八2-2bc*cosAb2=a2+c2-2ac*cosBF面在锐角中证明第一个等式，在钝角中证明以此类推。过A作ADIBC于D,贝

2、J BD+CD二a由勾股定理得：c2=(AD)2+(BD)2,(AD)2=b2-(CD)2所以cA2=(ADF2-(CDF2+b八2=(a-CDF2-(CDF2+b八2=aA2-2a*CD+(CDF2-(CDF2+b八2=a2+b2-2a*CD因为cosC=CD/b所以CD=b*cosC所以c八2=aA2+b八2-2ab*cosC题目中八2表示平方。谈正、余弦定理的多种证法聊城二中魏清泉正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材数学（必修5）是用向量的数量 积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量 的等式作同一向量的数量积， 这种

3、构思方法过于独特， 不易被初学者 接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解 正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形” 的完美结合.定理：在ABC中，AB=c,AC=b,BC=a则（1）（正弦定理）=;（2）（余弦定理）c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2aosB,法一：在ABC中,已知,求c。a2=b2+c2-2bosA.一、正弦定理的证明如图1,设AD BE CF分别是ABO的三条高。则有AD=b?sinBE=c?sinCF=a?sin所以SAABC二a?b?csin/ BCA=b?c?sin则/DAC=90,/ABC=/ADC。因为

4、AB=AC+C,B所以j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j?CB.因为j?AC=0,证法一：=c?a?sin/ABC.证法二： 如图1,设AD BE CF分别是ABC的3条高。则有AD=b?sin/BCA=c?sin/ABCBE=a?sin/BCA=c?sin/CAB。证法三： 如图2,设CD=2r是ABC的外接圆证法四： 如图3,设单位向量j与向量AC垂直。法一：在ABC中,已知,求c。二 余弦定理的证明j?CB=|j|CB|cos(90-/C)=a?sinC,j?AB=|j|AB|cos(90-/A)=c?sinA.过A作，在Rt中，法二：，即：法三：先证明如下等式：证明：故式成立，

5、再由正弦定理变形，得结合、有即.同理可证三、正余弦定理的统一证明法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系， 则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcosA,bsinA)，以AB BC为邻边作平行四边形ABCC，贝y/ BAC =n -/B,二C(acos( n -B),asin( n -B)=C(-acosB,asinB).根据向量的运算：=(-acosB,asinB)=-=(bcosA-c,bsinA),(1)由=：得asinB=bsinA,即同理可得：(2)由=(b-cosA-c)2+(bsi nA)2=b2+c2-2bosA,又ll=a.二a2=b2+c2-2bosA.同理：c2=a2+b2-2abcosC;b2=a2+c2-2aosB.法二：如图5，,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作将(1)式改写为化简得b2-a2-c2=-2aosB.即b2=a2+c2-2aosB.(4)这里(1)为射影定理，