第10章静电场习题解(2)

1、第10章 静电场习题解10.1 四个点电荷到坐标原点的距离均为d ,如题10.1图所示,求点O 的电场强度的大小和方向 。 解:由图所示x 轴上两点电荷在O 点产生场强为i d q i d q i d q i E i E E q q2020*=+=+=-y 轴上两点电荷在点O 产生场强为j dq j d q j d q j E j E E q q2020*-=-=+=- 所以,点O 处总场强为j dq i d q E E E O2020214343-=+= 大小为202221423dq E E E O =+=,方向与x 轴正向成045-角。 10.2 电量为C 100.16C 100.8626

2、1-=q q 和的两个点电荷相距20 cm ,求离它们都是20 cm 处的电场强度。(1120m F 1085.8-=解:如图,162022162011m V 106.34m V 108.14-=r q E r q E 方向如图。 (a (b 由22y x E E E +=, 其中201020160sin 60sin 60cos 60cos E E E E E E y x -=+=得 16m V 1012.3-=E 030-=10.3 一细棒被弯成半径为R 的半圆形,其上部均匀分布有电荷+Q ,下部均匀分布有电荷-Q ,如题10.3图示,求圆心点O 的电场强度。 解:由图可知,由于正、负电荷在

3、圆环上对称分布,总场强一定沿-y 方向。在圆环上取电荷元Rd dl dq =,在点O 产生的场强,R d R Rd R dq dE 02020444=方向如图示。正电荷在点O 产生场强的y 分量为d R R d E =+20200cos 4cos 4-R 04-= 由对称性可知,负电荷在点O 产生场强的y 分量与正电荷在点O 产生场强的y 分量大小相等,方向相同轴负方向。方向指向负号表示所以y E R QR E E E o o20202-=-=+=+-10.4 正方形的边长为a ,四个顶点都放有电荷,求如题10.4图所示的4种情况下,其中心处的电场强度。 q qq q q (a (b (c (

4、d 解:在四种情况下,均以中心O 为坐标原点,水平向右为x 轴正方向,竖直向上为y 轴正方向建立坐标系,则有(a 根据对称性,四个顶点处的电荷在中心处产生的场强两两相互抵消。所以0=a E(b 根据对称性,电荷在中心处产生的场强在x 轴上抵消,只有y 轴上的分量,所以j aq j a a q j E E qy b20220245cos 2/(2/(444-=+-=-= (c 根据对称性,对角线上的电荷在中心处的场强可以相互抵消,所以0=c E(d 根据对称性,电荷在中心处产生的场强在y 轴上抵消,只有x 轴上的分量,所以i a q i a a q i E E qx d20220245sin 2

5、/(2/(444=+=10.9 有一非均匀电场,其场强为i kx E E(0+=,求通过如题图10.9所示的边长为0.53 m 的立方体的电场强度通量。(式中k 为一常量 x z解:由于E只有x 方向的分量kx E E x +=0,故电场线只穿过垂直于x 轴,且位于x 1=0和x 2=0.53m 处的两个立方体面S 1和S 2。考虑到这两个面的外法线方向相反,故有kS k E S E dSE dS E S d E S x S x Se 15.053.0(20102211=+-=+-=与半径为R 的半球面的轴平行,求通过此半球面的电场强度通量。 解:作半径为R 的大圆平面'S 与半球面S

6、 一起构成闭合曲面,由于闭合曲面内无电荷,由高斯定理,有00'=+=q S d E eS eS Se所以,通过半球面S 的电场强度通量为E R R E eS eS 22cos '=-=-=10.11 两个带有等量异号的无限长同轴圆柱面,半径分别为R 1和R 2 (R 1 < R 2,单位长度上的带电量为,求离轴线为r 处的电场强度:(1r < R 1;(2 R 1 < r < R 2 ;(3r > R 2 。 解:(1 作高为l 的同轴圆柱面(如题图10.11为高斯面。由于两带电圆柱面的电场为柱对称,所以,通过此高斯面的电场强度通量为+=32132

7、1 S S S Se Sd E S d E S d E Sd E=其中第一、第三项积分分别为通过圆柱面上、下底面的电场强度通量。由于E垂直于轴线,故E在底平面内,第一、第三项的积分均为零。第二项积分为12122r E EdS S d E r S S =根据高斯定理0/=q e ,有0211= r E r 所以 11 01R r E r <=(2 同理221R r R <<时,有0 =S d E 即 0222 =r E r 所以 2022r E r =(3 23R r >时,有 -=S d E 所以 03=r E由上述结果可知,两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面所形成

8、的电场只存在于两柱面之间。10.12 如题图10.12所示,一半径为R 的均匀带电无限长直圆柱体,电荷体密度为+,求带电圆柱体内、外的电场分布。 解:此圆柱体的电场分布具有轴对称性,距轴线OO 等距离各点的电场强度值相同,方向均垂直OO 轴,沿径向,因此,可用高斯定理求解。1.圆柱体内的电场强度分布(R r <1设点P 为圆柱体内任意一点,它到轴线的距离为1r ,在圆柱体内,以1r 为半径作一与圆柱体同轴,高为l 的闭合圆柱面为高斯面(如题图10.12。由于高斯面上、下底面的法线均与面上各点的电场强度方向垂直,故通过上、下底面的电场强度通量为零,侧面上任一点的法线方向,均与该处电场强度方

9、向一致,故通过整个高斯面的电场强度通量为112lE r ,高斯面内包围的总电荷为l r 21,由高斯定理21112l r lE r = 得 0112r E =2.圆柱体外的场强分布(R r >2设'P 为圆柱体外任一点,类似上面的讨论,以2r 为半径作高斯面(如题图10.12,由高斯定理有2222l R l r E = 由此得20222r R E =10.13 两个均匀带电的金属同心球面,半径分别为0.10 m 和0.30 m ,小球面带电1.0108 C,大球面带电1.5108 C 。求离球心为(10.05 m ;(20.20 m ;(30.50 m 处的电场强度。解:由于电荷

10、在球面上对称分布,所以两球面电荷的电场也具有球对称性,场强方向沿径向向外。(1以球心O 为中心,05.0=A r m 为半径作一同心球面,并以此为高斯面,其内部电量为零,面上各点的场强大小均相同。由高斯定理有0042=A A A S e E r E S d E A(2同理以20.0=B r m 为半径作高斯面,面内包含小带电球面上的所有电荷81100.1-=Q C 。 由高斯定理 V 1025.220.0(100.110944-=B B B B S e r Q E Qr E S d E B(3同理,可以得到点C 处的电场强度大小为122892021m V 10950.

11、0(105.10.1(1094-=+=+=C C r Q Q E 10.16 两平行无限大均匀带电平面上的面电荷密度分别为+和-2,求图示中3个区域的场强。+ 2I 解:对左极板作水平高斯柱面,且该高斯面相对于左极板对称,高斯面的两底面面积均为S ,其上场强E的大小相等,方向均与两S 相同,由高斯定理,并注意高斯面的侧表面无电场强度通量。有012SS E =,即左极板在空间产生的场强为012=E ,其方向为:在该极板左边,方向水平向左;在该极板右边,方向水平向右。同理,对右极板作相似处理,可得,右极板在空间产生的场强为2=E ,其方向为:在该极板左边,方向水平向右;在该极板左边,方向水平向左。

12、因此,根据场强迭加原理,可得上图中各个区域中的场强分别为:方向为水平向左方向为水平向右方向为水平向右0=-=+=-=I E E E E E E E E E10.17 如题图10.17所示,AB 两点相距2l ,是以B 为圆心,l 为半径 的半圆。A 点有正电荷q +,B 点有负电荷q -。求(1把单位正电荷从O 点沿移到D 点时电场力对它做的功?(2把单位负电荷从D 点沿AB 的延长线移到无穷远时电场力对它做的功? 解:(1 0=O V , l ql q lq V D 0006434-=-+=lq V V A D O 06(1=-=(2 设无穷远处电势为零,则(lq V V V D D 061

13、=-10.19 一均匀带电半圆环,半径为R ,带电量为Q ,求环心处的电势。 解:在带电圆环上取一电荷元dq ,根据点电荷的电势公式,其在环心处的电势为Rdq dU 04=然后对整个带电体积分,可得环心处的总电势为RQ dq R dU U Q00441=10.20 电量q 均匀分布在长为l 2的细杆上,求在杆外延长线上与杆端距离为a 的点P 的电势(设无穷远处为电势零点。 解:设坐标原点位于杆中心点O ,x 轴沿杆的方向,如图所示。细杆的电荷线密度l q 2=,在x 处取电荷元lqdx dx dq 2=,它在点P 产生的电势为 (x a l l qdxx a l dq dU P -+=-+=0

14、084 整个杆上电荷对点P 产生的电势为( +-+-+=-a l l qx a l lq x a l dxl qU ll ll P 21ln 8ln 8(8000= 10.一段半径为a 的细圆弧,对圆心的张角为0 ,其上均匀分布正电荷q ,如题图10.21所示,求圆心O 点的电场强度和电势。 O(a (b 解:(1 建立如题图(b 所示坐标系,以圆心O 为坐标原点,水平向右为x 轴正向,竖直向上为y 轴正向。根据对称性可知,电荷在点O 处产生的场强沿y 轴负向,在x 轴的场强相互抵消,即0=x dE 。取电荷元dq ,其在点O 处产生的场强在y 轴的分量为200204cos cos 4a d

15、q a dq dE y =对整个带电圆弧积分20002/2/20022/sin(4cos 00a q a d q dE E E y y =-(2 设无穷远处为电势零点，则点 O 处的电势为 U = dq 4 0 a = q 4 0 a 10.22 如题图 10.22 所示，两个同心球面，半径分别为 R1 和 R2，内球面带 电-q，外球面带电+Q，求距球心（1）r < R1 (2R1 < r < R2 (3r > R2 处一 点的电势。 题图 10.22 解法一: 利用场强和电势的积分关系计算。在小球面内、两球面间和大球面 外分别以点 O 为球心做高斯面，应用高斯定理可

16、求得 r < R1 R1 < r < R2 r > R2 E1 = 0 E2 = E3 = q 4 0 r 2 Qq 4 0 r 2 选无穷远处电势为零，由于不同区域电场强度的数值不同，于是有 (1在r < R1区域 U 1 = E dl = E1 dl + E 2 dl + E3 dl r r R1 R2 R1 R2 R3 0 + R2 R1 Qq q dr + dr 2 R2 4 r 2 4 0 r 0 Q 4 0 R2 q 4 0 R1 (2在R1 < r < R2区域 U 2 = E dl = E 2 dl + E3 dl r r R2 R2 (3在r > R2区域 R2 r Qq q dr + dr 2 R2 4 r 2 4 0 r 0 Q 4 0 R2 q 4 0 r U 3 = E3 dl r r Qq dr 4 0 r 2 Qq 4 0 r 解法二：利用典型带电体的电势公式直接叠加 我们已知，一均