《中位线》导学案1

1、23.4中位线课前知识管理1、连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 . 如图 1. 在 ABC中，点 E，F 分别是 AB、AC的中点，则线段 EF 就是 ABC的一条中位线 .定理：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半 . 用符号语言表述为：如图，在 ABC中，点 E，F 分别是 AB、AC的中点，则 EFBC，并且EF1BC .2名师导学互动典例精析 ：知识点 1：用三角形中位线判断四边形形状例 1、在梯形 ABCD中， ADBC，AB=CD，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是（）（A）等腰梯形（B）矩形（C）菱形（D）正方形【解题思

2、路 】因为梯形 ABCD中，ADBC，AB=CD，所以梯形为等腰梯形，等腰梯形的对角线长相等，即 AC=BD，而根据三角形中位线定理，可知 EF与 HG都平行且等于 AC的一半，同理， EH和 FG都平行且等于 BG的一半，所以 EF=FG=GH=HE，所以四边形为菱形 .【解】选 C.原四边形两条对角线中点四边形互相垂直矩形【方法归纳 】顺次连结四边形各边中点，原四边形的两条对角线和中点四相等菱形边形之间的关系为：互相垂直且相等正方形既不互相垂直也不相等平行四边形对应练习：顺次连结等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连结所得四边形各边中点得到的图形是.答案：矩形 .知识点 2：利用三角形中

3、位线计算例 2、如图，在等腰梯形ABCD 中， AD BC ， AD3 ， BC5 ， AC，BD 相交于 O 点，且 BOC60 ，顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形的周长是（）A24B20C16D12【解题思路 】过 D作 FDAC交 BC的延长线交于 E, 由已知条件易知 DBE 是等边三角形 , 而四边形 ACED为平行四边形 , 易得 AC=BD=BE=DE=AD+BC=8,由三角形中位线定理可得, 中位线等于第三边的一半, 所以顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形的周长为16.【解】选 C.【方法归纳 】梯形中常见的辅助线常有平移一腰，作底边上的高线，平移一条对角线， 延长两腰等方

4、法 . 通过辅助线将梯形转化为特殊三角形， 或平行四边形，矩形等以便找出等量关系 .对应练习：如图所示， EF是 ABC的中位线， BD平分 ABC 交 EF 于 D，若ED=2，则 EB=_.答案： 2知识点 3：应用三角形中位线定理说明角相等例 3、已知，如图，四边形 ABCD中，ABCD，E、F 分别是 AD、BC的中点，BA、FE 的延长线相交于点 M，CD、FE 的延长线相交于点 N.试说明： AME DNE.【解题思路】 因 E、F 分别是 AD、BC的中点，可考虑连结BD，构造出中位线.【解】连结 BD，取 BD的中点 O，连结 OE、OF.易得 EO 1 AB，且 EOAB，2

5、FO 1 CD，且 FOCD. OEF AME， OFE DNE.2又因为 ABCD， EOFO， OEF OFE， AME DNE.【方法归纳 】要善于利用点构造“中位线”研究相关问题，一般是由“中点”联想到“中位线” ，多数情况下这个想法是行得通的 .对应练习：如图所示，在 ABC中，AC=5，中线 AD=4，则 AB边的取值范围是（）A.1AB9B.3AB13C.5AB13D.9AB13答案： B知识点 4：应用三角形中位线定理证明线段相等例 4、如图所示，在 ABC中，D、E 分别是 AB、AC上的点，且 BD=CE，M，N分别是 BE、CD的中点，过 M、N的直线交 AB于 P，交

6、AC于点 Q.求证：AP=AQ.【解题思路】 欲证 AP=AQ，可考虑证明BC的中点 F，连结 FM，FN，（如图 3）则位线 . 利用 BD=CE易证 FM=FN，从而1APQAQP . 根据题设条件，可取MF、NF分别是 BCE和BCD的中2 ，由平行线的性质可知1APQ ,2AQP ，于是APQAQP 成立，进而结论成立.【解】证明：取 BC的中点 F，连结 FM， FN，由条件知： MF、NF分别是1122APQ1,AQP2 . 又因为 BD=CE，所以 FM=FN。12 ，所以APQAQP ，所以 AP=AQ.【方法归纳】 若已知条件中有中点，常取某一边中点，构造三角形的中位线，运用

7、三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等 .对应练习： 已知，如图，四边形ABCD中， AC、BD相交于点 O，且 ACBD，E、F 分别是 AD、BC的中点， EF分别交 AC、BD于点 M、N.试说明： OMON.解：取 AB的中点 P，连结 EP、FP.易得 EP 1 BD且 EPBD，FP 1 AC且22FPAC. DNE PEN， CMF PFM，又 ACBD， PEPF， PEN PFM， DNE CMF， OMON.知识点 5：应用中位线定理求面积例 5、如图，在 ABC中， BC>AC,点 D 在 BC上，且 DCAC， ACB的平分线 CF交 AD于 F，点 E 是

8、 AB的中点，连结 EF，若四边形 BDFE的面积为 6，求 ABD的面积 .【解题思路】 由题意，易得EFBD ， EF1 ，并推出 AEF ABD ，S AEF1SABD61 2BD22，即，从而可求出 ABD的面积 .S ABD()S ABD( )222. 又 DCAC ， CF是 ACD的中线，【解】CF 平分ACB ，1 点 F 是 AD的中点 . 点 E 是 AB的中点， EFBD， AEF ABD，EF1 ，S AEF(1)2 ， S AEF S ABDS四边形 BDFESABD 6，BD2612S ABD2S ABD， S ABD8 ，即ABD 的面积为 8.S ABD( )2

9、【方法归纳 】在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比. 不要犯由EFBD=12， 得 SAEF SABD =1 2，或 SAEFS 四边形 BDFE =1 2，之类的错误 .对应练习：已知，如图， ABC的中线 AD、BE交于点 G.试说明： SABGS 四边形 CEGD.解：连结 DE，易得 DEAB，SABESABD.又因为 AD是 ABC的 BC边上的中线， S ABD SACD， SABESACD. SABE S AEGSACDSAEG，即 S ABGS 四边形 CEGD.易错警示例 6、已知等腰 ABC中，C=90°， AB=

10、10，D、E分别是 AB、AC的中点，求 DE的长 .错解：由已知可得， DE是 ABC的中位线，所以DE=1 AB=5.2错因分析 ：DE是 ABC的中位线没错，但中位线 DE的第三边却不是 AB，而是 BC，造成错解的原因是对中位线定理中的“第三边”理解不透 .正解：由已知可得： BC=AB÷2 =52 ，因此 DE=1 BC=5 2 .22课堂练习评测考点 1：三角形中位线1、如图，ABC中，点 D、E 分别是 AB、AC的中点，则下列结论： BC=2DE； ADE ABC； ADAB 其中正确的有（）（A）3 个AEAC（C）1 个（D）0 个（B）2 个熊 方 亮2、如图，

11、 AD是ABC的中线， ADC=45°，把ADC沿 AD 对折，点 C落在点 C的位置，则 BC与 BC之间的数量关系是.3 、如图， DE 是 ABC 的中位线，DE 2 cm， ABAC 12 cm，则 BCcm，梯形 DBCE 的周长为cm课后作业练习【基础过关】1连结三角形 _的线段叫做三角形的中位线2三角形的中位线 _于第三边，并且等于 _3一个三角形的中位线有_条4如图 (1) 所示， EF是 ABC的中位线，若 BC=8cm，则 EF=_cm(1)(2)(3)(4)5三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是 _cm6在 RtABC

12、中， C=90°， AC=?5，?BC=?12，?则连结两条直角边中点的线段长为 _7若三角形的三条中位线长分别为 2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（ ）A4.5cmB18cmC9cmD 36cm8如图 (2) 所示， A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B 的点 C，找到 AC，BC的中点 D，E，并且测出 DE的长为 10m，则 A，B 间的距离为（）A15mB25mC30mD20m9已知 ABC的周长为 1，连结 ABC的三边中点构成第二个三角形，?再连结第二个三角

13、形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第 2007 个三角形的周长是（）A 1B.1C.20061D .20071200620072210如图 (3) 所示，已知四边形ABCD，R，P 分别是 DC，BC 上的点， E，F分别是 AP，RP的中点，当点 P 在 BC上从点 B 向点 C移动而点 R不动时， 那么下列结论成立的是（）A线段 EF的长逐渐增大B 线段 EF的长逐渐减少C线段 EF的长不变D线段 EF的长不能确定11如图 (4), 在 ABC中，E，D，F 分别是 AB，BC，CA的中点， AB=6，AC=4，则四边形 AEDF?的周长是（）A10B20C30D40【应用拓展】12

14、如图所示， ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，AE=EB，求证： OEBC13如图所示，在 ABC中，点 D在 BC上且 CD=CA，CF平分 ACB，AE=EB，求证： EF=1 BD214如图所示，已知在 ABCD中， E，F 分别是 AD，BC的中点，求证： MN BC【综合提高】15某厂有一块如图所示的ABC铁板，根据需要，现要把它加工成一个AAA平行四边形铁板 要把材料完全利用起来， 可怎样加工？ ?请你利用学过的知识帮助工人师傅把切割的线用虚线画出来，并指出加工后的平行四边形能否将此三角形铁板加工成长方形？请予以探索BCBCBC16、如图所示，在 ABC中，AD是中线， E

15、 是 AD的中点， F 是 BE的延长线与 AC的交点 . 试说明 AF、FC的关系 .17、如图所示，AE平分 BAC，BEAE，垂足为 E，D为 BC的中点，BAE=36°，则试求 BED的度数 .18、已知：如图所示， BD、CE分别是 ABC?的外角平分线，过点 A 作 AF BD，AGCE，垂足分别为 F、G连结 FG，延长 AF、AG，与直线 BC相交，?易证 FG=1 （AB+BC+AC）若（1）BD、CE分别是 ABC的内角平分线（如图）；（2）2?BD?为 ABC的内角平分线， CE为ABC的外角平分线（如图），则在图、图两种情况下， ?线段 FG与 ABC三边又有

16、怎样的数量关系？请写出你的猜想， ?并对其中的一种情况给予证明23.4 课堂作业参考答案：1、A2、BC= 2 BC 点拨：因为 ADC=45°，由轴对称性质可知 DC=DC，C2DC=90°. 又 BD=CD，由勾股定理可知， BC= 2 BC 3、4，12课后作业参考答案：1、两边中点2、平行，第三边的一半3、34、45、76、6.57、B8、D9、C10、C11、A12、由 BO=DO和 EA=EB得 OE是中位线，所以OEBC.13、由等腰三角形三线合一得 FA=FD又由 E 是中点，所以 EF是中位线，即得结论 .14、提示：证 AEM FBM得 ME=MB，同理得 NE=NC，于是 MN是 EBC的中位线，即得结论 .15、参照图形：16、取 BF 的中点 G，连结 DG，则 DG是 BCF的中位线， DG=1 FC，再证明AF=DG.217、延长 BE交 AC于 F，则 ABEAFE ，那么 AFB 54° ，DE是 BCF的中位线，所以有 BEDBFC 126°