6.4 基本不等式及其应用

1、64基本不等式及其应用一、选择题1设a0，b0.若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8B4C1 D.解析：由题意有()23a·3bab1，又a0，b0，()(ab)11224，的最小值为4.答案：B2若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a()A1 B1C3 D4解析：当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3，选C.答案：C3设x，yR，a1，b1.若axby3，ab2，则的最大值为()A2 B.C1 D.解析：由axby3，得xloga3，ylogb3，log3(ab)log3()21，故

2、选C.答案：C4当x2时，不等式xa恒成立，则实数a的()A最小值是8 B最小值是6C最大值是8 D最大值是6解析：x(x2)2426，又xa恒成立，故a6，所以a的最大值为6.答案：D5已知x0，y0，且1，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是()Am4，或m2 Bm2，或m4C2m4 D4m2解析：x0，y0，且1，x2y(x2y)()4428，当且仅当，即4y2x2，x2y时取等号，又1，此时x4，y2.(x2y)min8，要使x2ym22m恒成立，只需(x2y)minm22m成立，即8m22m，解得4m2.答案：D6某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产

3、x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60件 B80件C100件 D120件解析：若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是，存储费用是，总的费用是220，当且仅当时取等号，即x80.答案：B二、填空题7已知log2alog2b1，则3a9b的最小值为_解析：log2alog2blog2(ab)log2alog2b1，ab2且a0，b0.3a9b3a32b222218，当且仅当a2b，即a2，b1时等号成立3a9b的最小值为18.答案：188若实数x、y满足x2y2xy1，则xy的最大值是_解析：x

4、y(xy)2，1x2y2xy(xy)2xy(xy)2(xy)2(xy)2，(xy)2，xy，当xy时，xy取得最大值.答案：9在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是_解析：由题意知：P、Q两点关于原点O对称，不妨设P(m，n)为第一象限中的点，则m0，n0，n，所以|PQ|24|OP|24(m2n2)4(m2)16(当且仅当m2)，即m时，取等号)，故线段PQ长的最小值是4.答案：4三、解答题10设(1，2)，(a，1)，(b, 0)，a0，b0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，求的最小值解析：(a1,1)，(b1,2)，与

5、共线，2(a1)b10，即2ab1.a0，b0，()(2ab)4448，当且仅当，即b2a时等号成立的最小值为8.11如图所示，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)能使矩形广告面积最小？解析：方法一：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab9000.广告的高为a20，宽为2b25，其中a0，b0.广告的面积S(a20)(2b25)2ab40b25a5001850025a40b18500218500224500.当且仅当

6、25a40b时等号成立，此时ba，代入式得a120，从而b75，即当a120，b75时，S取得最小值24500，故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小方法二：设广告的高和宽分别为xcm，ycm，则每栏的高和宽分别为x20，.其中x20，y25.两栏面积之和为2(x20)18000，由此得y25，广告的面积Sxyx(25)25x，整理得S25(x20)18500.因为x200，所以S21850024500.当且仅当25(x20)时等号成立，此时有 (x20)214400(x20)，解得x140，代入y25，得y175.即当x140，y175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小12在锐角ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m(2sin(AC)，)，n，且向量m、n共线(1)求角B的大小；(2)如果b1，求ABC的面积SABC的最大值解析：(1)mn，2sin(AC)cos2B0.又ACB，2sinBcosBcos2B，即sin2Bcos2B.tan2B，又ABC是锐角三角形，0B，02B，2B，故B.(2)由