数学选修1-1人教新课标3-4生活中的优化问题举例练习

1、生活中的优化问题举例一、选择题1将8分解为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为()A2和6B4和4C3和5 D以上都不对答案B解析设一个数为x，则另一个数为8x，则yx3(8x)3,0x8，y3x23(8x)2，令y0，即3x23(8x)20，解得x4.当0x<4时，y<0；当4<x8时，y>0，所以x4时，y最小2某箱子的容积与底面边长的关系为V(x)x2(0<x<60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为()A30 B40C50 D以上都不正确答案B3用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后

2、把四边折起，就能焊成铁盒所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A6 B8C10 D12答案B解析设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得Vx(482x)2(0<x<24)，V12(24x)(8x)令V0，则在(0,24)内有x8，故当x8时，V有最大值4内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()AR B2RC.R D.R答案C解析设圆锥高为h，底面半径为r，则R2(Rh)2r2，r22Rhh2，Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3，VRhh2，令V0得hR，当0<h<R时，V>0；当R<h<2R时，V<0.因

3、此当hR时，圆锥体积最大，故应选C.5要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积为最大，则高为()A.cm B.cmC.cm D.cm答案D6圆柱形金属饮料罐的容积一定时，为了使所用材料最省，它的高与底半径应为()Ah2R BhRChR Dh答案A7以长为10的线段AB为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A10 B15C25 D50答案C解析如图，设NOB，则矩形面积S5sin·2·5cos50sin·cos25sin2，故Smax25.8设圆柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面半径为()A. B.C. D2答案D解析设底面圆半径为x，高为h

4、，则Vr2h，h.S表2S底S侧2r22r·h2r22r·2r2.S表4r，V，又当x(0，)时，S表<0；当x(，V)时，S表>0，当r时，表面积最小9福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8 B.C1 D8答案C解析瞬时变化率即为f(x)x22x为二次函数，且f(x)(x1)21，又x0,5，故x1时，f(x)min1.10若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大为()A2r2 Br2C4r2 D.r2答案A解析设内接

5、圆柱的底面半径为r1，高为t，则S2r1t2r124r1.S4.令(r2rr)0得r1r.此时S4·r·4·r·r2r2.二、填空题11把长为60cm的铁丝围成矩形，长为_，宽为_时，矩形的面积最大答案15cm15cm解析设长为xcm，则宽为(30x)cm，此时Sx·(30x)30xx2，S302x0，所以x15cm，宽为15cm时，矩形的面积最大12将长为l的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为21及32的矩形，则面积之和的最小值为_答案l2解析设前者宽为x，面积之和为y，则y2x·x(l6x)·(l6x)x2lxl2，yxl

6、，令y0得，xl，yminl2.13做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为_时最省料答案4解析设底面边长为x，则高为h，其表面积为Sx24××xx2，S2x，令S0，则x8，则当高h4时S取得最小值14做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最小，则圆柱的底面半径为_答案3解析设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则VR2L27，L，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，S表R22RLR22，S(R)2R0，令S0得R3，当R3时，S表最小三、解答题15某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件

7、的售价比原来减少1元，试问订购多少件的合同将会使公司的收益最大？解析设x表示销售的件数，R表示公司的收益，则R等于每件的售价x×销售件数，当x>150时，则R200(x150)x350xx2为公司收益，先求R(x)3502x，令R(x)0，得x175时，R有最大值最大收益为R350×175(175)230625，而当一份合同订购的件数超过175时，则公司的收益开始减小16如图，水渠横断面为等腰梯形，水的横断面面积为S，水面的高为h，问侧面与地面成多大角度时，才能使横断面被水浸湿的长度最小？解析设浸湿的长度为l，ABCDx，则lBC2xxcos2x(2cos)·

8、;x(2cos)·，lh·h·.令l0，即h·0，解得cos.60°.l只有一个极值，它是最小值将60°代入l(2cos)·，解得lminh.当侧面与地面成60°角时，才能使横断面被水浸湿的长度最小17某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)200xx3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？解析设该厂生产x件这种产品利润为L(x)则L(x)500x2500C(x)500x2500300xx32500(xN)令L(x)300x20，得x60(件)又当0x<60时，L(x)>0x>60时，L(x)<0所以x60是L(x)的极大值点，也是最大值点所以当x60时，L(x)9500元18用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解析设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h4.53x(m)，故长方体的体积为V(x)2x2(4.53x)9x26x