利用导数求曲线的切线和公切线

1、利用导数求曲线的切线和公切线求过点Q (2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线12的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二有关切线的条数【例2】.(2014 ?北京)已知函数f (x) =2x 3 - 3x .(I) 求f (x)在区间-2, 1上的最大值；(n)若过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切，求t的取值范围;(川)问过占 A (- 1,2 ), B( 2 ,10 ), C(0 , 2 )分别存在几条直线与曲 线y=f (x )相切？(只需写出结论)【解答】解：(I)由 f (x) =2x 3 - 3x 得 f ' x) =6x 2 - 3 ,令 f&

2、#39; () =0 得，x=-或 x=',f (-2) = - 10 , f (-丄)=:：,f (_)= - :：, f (1) = - 1 ,f (x)在区间-2 , 1上的最大值为折.(n)设过点P (1 , t)的直线与曲线y=f (x)相切于点(X0, y0),则 yo=23XI-3 Oo,且切线斜率为k=6-3,2 O切线方程为y - yo=6t - yo= (6 诸-3)( 1 - xo),即 4肩+t+3=0，设 g( x )=4x 3 - 6x 2 +t+3 ,则“过点P (1 , t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切”，等价于“ g (x)有3 个不同的零点”

3、.T g ' x) =12x 2 - 12x=12x(x - 1),'g (0) =t+3 是g (x)的极大值，g (1 ) =t+1是g (x)的极小值.g (0)>0 且 g (1 )v0,即3vtv 1 ,当过点过点P (1 , t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切时，t的取值范围是(3， 1).(川)过点A ( 1 , 2)存在3条直线与曲线y=f (x)相切;过点B (2 , 10 )存在2条直线与曲线y=f (x)相切;过点C (0 , 2)存在1条直线与曲线y=f (x)相切.【例3】已知函数f (x) =lnax (a工0 , a R),吕G)二鱼二

4、.(I) 当a=3时，解关于x的不等式：1+e f (x)+g (x)>0；(U)若f (x) >g (x)(x >1)恒成立，求实数a的取值范围；(川)当a=1时，记h (x) =f (x) g (x)，过点(1, 1 )是否存在函 数y=h (x)图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由.【解答】解：(I )当a=3时，原不等式可化为：1+eln3x+等价于，解得x£，故解集为对x >1恒成立，所以】.I'-lnx ,令上*:O(Q1),可得h (x)在区间1 , + %)上单调递减, 故h (x )在x=1处取到最大值，故Ina >

5、h (1) =0，可得a=1 ,故a的取值范围为：1 , + %)x0-l(川)假设存在这样的切线，设切点 T (xo， 丁 ),Ko賃 =疋_一(百J J切线方程：y+仁-1)，将点T坐标代入得：4-1=0吋切S即1 衍1=0,°呵川设g (x)二血十色吕-1,则# 3，T)严JX XXx >0 , :g (x)在区间(0 , 1 ),( 2 , + X)上是增函数，在区间(1 , 2)上是减函数，故 g (x)极大=g (1) =1 > 0，故 g (x)极，小=g (2) =ln2+ 当 > 0 ,4又 g (丄)=h丄+12 - 6 - 1= - ln4 -

6、 3 V 0 ,由g (x)在其定义域上的单调性知：g (x) =0仅在(,1)内有且仅有一根,方程有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条.【作业1】.(2017 ?莆田一模)已知函数f (x) =2x 3 - 3x+1 , g (x) =kx+1-Inx .(1)设函数h(i) =g(K)?x<l当kV0时，讨论h(x)零点的个数;两条互相垂直的直线与函数f (x) =ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+辽心/比的取值范围是.粹 1 f (巧-a+b cos jt rsin x =Jh丄 + c2 cos(jc 牛卩)=口 + cos(x+ 即)令= C 则叫十护二即

7、巧+卩=g. fx)-a + O由題就 存在e,即(a+cos堵X切 +009码w-l*即关于席的二次方 ftitf:+(cos +cos)a + cos<；os +l = O(*)Yj 实根所W A = (cosl + co$ft)*-4coscostf1-4iO(costfl - cosft)2 2 4所闵co昭 co迢122,又|cos -co5|<2» 所tx|cos -cos| = 2所cos=l?cos =-lit时方程广)变为沖=0a=0则a 2b . 3c 2b 3c ,：b2+c2=1 , 设b sin ,a cos ,/ . 2b3c .5 sin(

8、),故a+股比尽 -眄伍,【例5.已知函数f (x) =lnx - a (x - 1 ) , g (x) =e x，其中e为自然对数 的底数.(I)设 t &、WsO xE (0, +8),求函数 t (x)在m , m+1 (m >0) 上的最小值；(n)过原点分别作曲线y=f (x)与y=g (x)的切线l1, l2，已知两切线的斜 率互为倒数，求证：a=0或1.ee【解答(I)解：t (£二匚 疋(6 +8), F (工)二”巳 异Kf令 t' (x) > 0 得 x > 1，令 t' (x )v 0 得 x V 1 ,所以，函数t (

9、x )在(0 , 1)上是减函数，在(1 , + X)上是增函数，T1L当m >1 时，t (x)在m , m+1(m >0)上是增函数，.£)11屮二土(10)二"ID当0 V m V 1时，函数t (x )在m , 1上是减函数，在1 , m+1上是增函数，-t (X) min =t ( 1 ) =e .I11e，-切线11的方程为K 忙(U)设12的方程为y=k 2X,切点为(X2, y2),则 'X2=1 , y2=e /-k2=e .由题意知，切线11的斜率1 1 丫1W (土 1 1又 y1=1 nx 1 - a (X1 - 1)，消去 y

10、1,a后整理得“宀士吉,1 1a=一芷I e工，设11与曲线y=f (x)的切点为(X1, y1),11旳二l-Wa=e令，则：Y PV _ Zm (x)在(0 , 1)上单调递减，在(1 , + %)上单调递增,若 X1 ( 0 ,1 ) ,vm(一)=-2+ue二.：-|, -I 二-二乞 | ,1 1a-_朮1 e而在 e单调递减，'x1=e，-1 a=-=oe综上，a=0或日2 1« 7ee若 X1 ( 1 ,+ x),：m (x )在(1 , + %)上单调递增，且 m (e) =0 ,【作业2】.(2017 ?黄山二模)已知函数f (x) = (ax2+x - 1

11、) ex+f (0)(1 )讨论函数f (x)的单调性；(2) 若 g (x) =e -xf (x) +lnx , h (x) =e x，过 O (0 , 0)分别作曲线 y=g感谢下载载(x)与y=h (x)的切线li, 12，且li与12关于x轴对称，求证:e+2四. 求公切线的方程【例6】.(2018 ?安阳一模)已知函数，g (x) =3elnx，其中e为自然对数的底数.(I)讨论函数f (x)的单调性.(U)试判断曲线y=f (x)与y=g (x)是否存在公共点并且在公共点处有公切线.若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由.【解答】解：(I)由门 7 IeJA 2.33-e

12、e 2 2KEK令f' () =0，得廉詰一.且 x 却时，f' x )v 0 ；当 k>¥- 'f (x )在(时，f' x)>0.，0 )上单调递减，在(0，子T上单调递减，在十8)上V4V4单调递增;(U)假设曲线y=f (x)y=g (x)存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为X0 >0，则即I V - - -I .Selnxn 其中(2 )式即记 h (x) =4x 3 3e2x e3，x ( 0，+ x)，贝y h' (x) =3 (2x+e )(2x 得h (x )在(0,专)上单调递减，在 又 h (0

13、) = - e3, h 打 二-2 J , h (e) =0 , 故方程h (xo) =0在(0, + %)上有唯一实数根xo=e，经验证也满足(1 )式.于是，f (xo) =g (xo) =3e , f' Xo) =g' (xo) =3 ,曲线y=g (x )与y=g (x )的公切线I的方程为y - 3e=3 (x - e), 即 y=3x .【作业3】.已知函数f (x) =lnx , g (x) =2 - (x >o)(1 )试判断当f (x)与g (x)的大小关系；(2) 试判断曲线y=f (x)和y=g (x)是否存在公切线，若存在，求出公切 线方程，若不存

14、在，说明理由；(3) 试比较(1+1 X2)(1+2 X3)( 1+2012 X2013 )与 e4°21 的大小， 并写出判断过程.五. 与公切线有关的参数取值范围问题【例 7 】.已知函数 f (x) =blnx , g (x) =ax 2 - x (a R).(I)若曲线f (x)与g (x)在公共点A (1, 0)处有相同的切线，求实数a、 b的值；(U)当b=1时，若曲线f (x)与g (x)在公共点P处有相同的切线，求证： 点P唯一；(川)若a >0 , b=1 ,且曲线f (x)与g (x)总存在公切线，求正实数 a的 最小值.【解答】解：(I) f' x

15、) = , g' (x) =2ax - 1 .曲线f (x)与g (x)在公共点A (1 , 0)处有相同的切线，二呂二m，解得a=b=1.|(b=2a-l(U)设 P (xo, yo)，则由题设有 Inx o=ax o2 -xo，又在点P有共同的切线，二f x。) =g x。)，二2且,呦 c1丰工1 1'a=；，代入得 Inx o=_ xo，2呵2 2设 h (x) =lnx -+丄x，贝U h， x)二丄+(x >o)，贝U h， x)> o，22x 2h (x)在(0 ， + %)上单调递增，所以h (x) =o最多只有1个实根,从而，结合(1)可知，满足题

16、设的点P只能是P (1，o).(川)当 a>o，b=1 时，f (x) =lnx ，f' x)=，f (x)在点(t，Int )处的切线方程为 y - Int=十(x - t)，即 y=*x+lnx - 1 . 与 y=ax 2 - x，联立得 ax2 -(1 + ) x - Int+1=0 .曲线f (x )与g (x )总存在公切线，关于t (t >o)的方程 =(l*)4a (Int - 1) =o，即)'=4a (1 - Int )(*)总有解.若t > e,则1 - Int v o，而(1#严0,显然(*)不成立，所以0 v tv e， 从而，方程(

17、*)可化为4a='.令 H (t)=厂 '(0 v t v e)，贝U H '()=t2 (1 -Int)tJd当 0 v t v 1 时，h' (t )v 0 ；当 1 v t v e 时，h' (t )> 0，即h (t )在(0，1)上单调递减，在(1，e) 上单调递增. (t )在(0 ， e)上的最小值为h (1) =4，要使方程(*)有解，只须4a >4，即a >1 .正实数a的最小值为1 .【例8】.(2017?韶关模拟)已知函数f (x) =aex (a工0), g (x) =x 2(I)若曲线ci : y=f (x)与

18、曲线C2: y=g (x)存在公切线，求a最大值.(U)当 a=1 时，F (x) =f (x) - bg (x) - cx - 1，且 F (2) =0 ,若 F (x) 在(0 , 2 )内有零点，求实数b的取值范围.【解答】解：(I)设公切线I与C1切于点(X1, a ')与C2切于点(X2，二)， f' () =ae x，g ' x) =2x，由知X2工0,代入:=2X2，即 X2=2x-2，丄金如2(2"-小/、 4T,八8-4x由知 a=，设 g (x) =，gX)= ，:，令 g ' X) =0，得 x=2 ;当 x V 2 时 g &#

19、39; X )> 0，g (x)递增. 当 x > 2 时，g ' X )V 0，g (x)递减.44'X=2 时，g (X ) max =g ( 2 ) =，.'.amax=.ee(H) F (x) =f (x) - bg (x) - cx - 1=e x - bx 2 - cx - 1，VF (2) =0=F(0)，又 F (x)在(0，2)内有零点,F (x )在(0 , 2)至少有两个极值点，即F' X) =ex - 2bx - c在(0, 2)内至少有两个零点.F X) =ex - 2b , F (2) =e2- 4b - 2c - 1=0

20、 , c= "；1-' 当 b w丄时，在(0, 2) 上, ex>e0=1 >2b , F X)> 0 ,F &)在(0, 2)上单调增，F' X)没有两个零点. 当 b时，在(0，2)上，护< e2 PbFX)< 0 ,F X)在(0， 2)上单调减，F' X)没有两个零点； 当丄vb V时，令 F x) =0，得 X=ln2b ，因当 x >ln2b 时，F X)>0，x v ln2b 时，F X)v 0，F' X)在(0，In2bff)递减，(ln2b，2)递增,所以 x=ln2b 时，：F&#

21、39;X)最小=F ' I(h2b ) =4b - 2bln2b -旦+丄2设 G ( b) =F ' 102b )2+1¥=4b - 2bln2b令 G ' b ) =2 - 2ln2b=0 ，当b=G' b)得2b=e，即b=学，当b，G (b)最大=G () =e+122G (b) =f ' l(h2b )v 0 恒成立, 因F' X) =eX - 2bX - c在(0, 2)内有两个零点，r 20)二 1-口，一严T >01谄G二劭2b52b<0,V宀b-亠笄解得：丄V b V，综上所述，b的取值范围(一丄，一).【

22、作业 4】.已知函数 f ( x ) =a ( X) - blnx ( a , b R), g ( x ) =x 2.(1 )若a=1 ,曲线y=f ( x)在点(1 , f (1)处的切线与y轴垂直，求b 的值;(2)若b=2，试探究函数f ( x)与g ( x)在其公共点处是否有公切线，若存在，研究a的个数；若不存在，请说明理由.六. 公切线的条数问题【例9】.已知函数f (x)=lnx ，g ( x) =ex.(1 )确定方程f (x)=岂二实数根的个数；(2)我们把与两条曲线都相切的直线叫作这两条曲线的公切线，试确定曲线y=f(x) ，y=g (x)公切线的条数，并证明你的结论.【解答

23、】解：(1 )由题意得lnx= 十，即lnx -仁分别作出y=lnx - 1和y-的函数图象，由图象可知：y=lnx - 1和y=£的函数图象有两个交点，方程f (x)= 卑有两个实根；S-1(2)解：曲线y=f (x) ，y=g (x )公切线的条数是2，证明如下：，化简得有两个实根,，g '()m_l设公切线与f (x) =lnx ，g (x) =ex的切点分别为(m，lnm )，(n，en)， m剂，_1ITIF IE当 m=1 时，(m 1)当m工1时，(m - 1)1 XI 二巴 LI)由(1)可知，方程lnm= 二曲线y=f (x) ，y=g (x )公切线的条数

24、是2 条.【作业 5】.已知函数 f (x) =x 2+2 (1 - a) x - 4a , g (x)=丄-(a+1 ) 2,则f (x )和g (x)图象的公切线条数的可能值是 .【作业 1 解答】解：(1) f' x) = (2x+1 )(x - 1) 2=0 , x=-二或 1 ,x=-丄是h (x )的零点；k v0 , g ' x)<0 , g (x )在1 , + x)上单调递减，g (x)的最大值为g (1) =k+1 .k v- 1, g (1 )v 0 , g (x )在1 , + x)上无零点；k= - 1 , g (1) =0 , g (x )在1

25、 , + x)上有 1 个零点；-1 v k v 0 , g (1 )> 0, g (e1 - k) =ke 1 - k+k v 0 , g (x)在1 , + x)上有1个零点；综上所述，k v- 1时，h (x)有1个零点；-1 <k v0时，h (x)有两个零点；(2)设切点(t, f (t), f ' x) =6x 2 - 6x，二切线斜率 f ' () =6t 2 - 6t , 切线方程为 y - f (t) = (6t2- 6t )(x - t),切线过 P (a,- 4 ),.-4 - f (t) = (6t2 - 6t)( a - t),4t3- 3

26、t2- 6t2a+6ta - 5=0 由题意，方程有3个不同的解.令 H (t) =4t 3 - 3t2- 6t2a+6ta - 5，则 H '(t) =12t 2 - 6t - 12at+6a=0. t=-或a.a=丄时，H( t0>0 , H (t )在定义域内单调递增，H (t)不可能有两个零点， 方程不可能有两个解，不满足题意；a寺时，在(-R,斗)，(a, + x)上，H( t O>0，函数单调递增，在(丄,a)上，H ' tQv 0，函数单调递减，H (t)的极大值为H (丄)，极小值为H(a);a),(丄，+ %)上，h ' tO>0，函

27、数单调递增，在(a ,-)上, H ' tQv 0，函数单调递减，H (t)的极大值为H (a)，极小值为H要使方程有三个不同解，则 H (丄)H ( a)< 0，即(2a - 7) ( a+1 ) (2a2-5a+5 ) > 0， a >或 a <- 1 .【作业2解答】解：由已知得f (x) =ax 2+ (2a+1 ) xe x，f (0) =0，所 以 f (x) = (ax2+x - 1) ex.(1) f (x) =ax 2+ (2a+1 ) xe x=x (ax+2a+1 ) ex. 若 a > 0，当或 x > 0 时，f (x) &

28、gt; 0 ；当时，f (x) <aa0，所以f ( x )的单调递增区间为 (严 -2丄h (山+处)；单调递减区间为 (-2-丄心.a 若 a=0，f (x) = (x - 1) ex，f (x) =xe x，当 x >0 时，f (x) >0 ；当 x< 0 时，f (x) < 0，所以f (x)的单调递增区间为(0，+ % )；单调递减区间为(-X，0). 若 三MrCO，当工或 x <0 时，f (x) <0丄时，f (x)za3.> 0，所以f ( x )的单调递增区间为(0,-戈-丄)；单调递减区间为(6,0),(-2,心)a 若：

29、: .1,故 f （X）的单调递减区间为（-g, + X）.Hu 若八丄，当- 一或 X > 0 时，f （ X ）V 0 ；当-时，f （ X）> 0 ,所以f （ X ）的单调递增区间为（-2-丄，0）;单调递减区间为 a（七比-2）,（0.+8）.a当a>0时，f （x）的单调递增区间为-I. I. ;单调递减区间 a为（-三-丄，0）.a当a=0时，f （x）的单调递增区间为（0 , + g）;单调递减区间为（-g, 0）.,当4-<<0时，f（ x ）的单调递增区间为（Q, -2丄）;单调递减区间为 2a（七比0人（-戈丄，心）.a当二一时，f（x）的单

30、调递减区间为（-g,+ g）;当*_时，f （x）单调递增区间为（-2-丄 0）;单调递减区间为兀，-,2aa（0, + g）;（2） 证明：g （x） =e -xf （x） +1 nx= e -x （ax2+x 1 ） ex+Inx=ax 2+x 1+lnx , 设l2的方程为y=k 2X，切点为（X2 , y2），则八_，所以X2 = 1 ,y2=e , k2=e .由题意知ki= k2= e ,所以li的方程为y= - ex，设li与y=g （x）的切点 为（xi, yi）,则冷二吕"（葢1）二2短1*1匸二空=已乞二.又二曰+-1 + 1 口IT二-UX i, 即 区41门玄

31、专二0, 令亠一,u (x)是单调递增函数,在定义域上，u' (x)> 0，所以(0 , + x) 上,又二一一 r-，所以 i : j -t '-1 ,即t2+ (e+1) t4(守铝，-(甘1)刁 <e+22e?【作业3解答】解：(1 )证明：设F (x)=f (X) - g (x)，则 F' x)=3_2由 F' (x) =0 ,得 x=3，当 0 v x v 3 时,F' (x )v 0,当x >3时F' (x)>0，可得F (x)在区间(0 , 3 )单调递减，在区间(3, +x)单调递增,所以F (x)取得最小

32、值为F (3) =ln3 - 1 >0 ,F (x) > 0，即 f (x) > g (x);(2)假设曲线f (x)与g (x)有公切线，切点分别为P (X。, Inx0)和Q (xi,_3_所以分别以P (X0, Inx 0)和Q (xi, 2 -因为f' x)=丄3SL)为切线的切线方程为y=+lnx 0-1, y=L 3lnz0-l=2- 6,即 2lnx 1 +(3+ln3 ) =0 .:11 + -6<1-(262 K1令 h (x) =2lnx所以由h' X)=0，得 xi=3 .3+ln3 ).显然，当 0vxiv3 时，h' (

33、x)v0,当 xi>3 时，h'(x) >0 ,所以 h (x ) min =ln3 1 > 0 ,所以方程2lnx 1 + -(3+ln3 ) =0 无解,故二者没有公切线.所以曲线y=f (x )和y=g (x)不存在公切线;(3) ( 1+1 X2 ) (1+2 X3) ? 1(+2012 X2013 )> e4021理由：由(1)可得lnx >2 -(x>0),可令 x=1+ n (n+1 )，可得 ln (1+n (n+1 ) )> 2l+n(n-hl)nCn+1)=2 - 3 (n+1)，则 ln (1+1X2) +ln (1+2

34、X3) + +ln (1+2012 X2013 )> 2 X20121112+2-3 (1 -4+)=4024 - 3+32013>4021 .即有(1+1X2) (1+2 X3) ( 1+2012 X2013 ) >e4021【作业4解答】解：(I) I f (x) =x -二-blnx ,由于曲线y=f (x)在点(1，f (1)处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0，即f'1) =0 ,即1+1 - b=0 ,b=2 ;(2)假设f (x) , g (x)的图象在其公共点(xo, yo)处存在公切线,由 f (x) =a (x 丄)2lnx，得 f' X)

35、 =, g ' () =2x , 由 f' (o) =g ' xo)，得=2x o，即 2x o3 - ax o2+2x o - a=0 ,即(xo2+1 ) (2x o - a) =o，则 xo=2,又函数的定义域为(0 , + %),当a W0时,xo=,则 f (x )g (x)的图象在其公共点(xo , yo)处不存在公切线；2 2当a>o时，令f (岂)=g (骨)，夢-2ln寺-2=专2 一 即：5一，-In(x >o),令 h (x)h ' x)=贝U h (x )在(o , 2 )递减，(2 , + %)递增且 h (2) 且当 xo

36、 时，h (x) + %;当 x+ %时，h (x) + %,'h (x )在(o , + %)有两个零点，2 方程=ln 7在(o , + %)解的个数为2.综上：当a <o时，函数f (x )与g (x )的图象在其公共点处不存在公切线;当a > o时，函数f (x )与g (x)的图象在其公共点处存在公切线，a的值有2 个.在导数的练习中，常见这一类题型：已知含有的一个不等式，以及 /（上）的一些其他性质，让解不等式或者比较大小。这类题型的常用思路是emph构造函数，下面举例说明。D(-冷-l)U(O.L)分析：观察条件给的不等式它的左边是的导函数。故构造汛岀，并把题中；F；j討的其他性质转化成 扛尺勺的性质，把要求解的不等式也转化成关于的不