广西桂林中学12-13高二下学期期中-数学（理）

1、 广西桂林中学20122013学年度下学期期中考试高二数学理试题时间 120分钟, 满分150分 第卷(选择题, 共60分)一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1. 下列说法正确的是 ( ) 平面和平面只有一个公共点 两两相交的三条线必共面 不共面的四点中, 任何三点不共线 有三个公共点的两平面必重合2. 设均为直线,其中在平面的（ ）条件 充分不必要 必要不充分 充分必要 既不充分也不必要3.有三个球，一个球内切于正方体的各个面，另一个球切正方体的各条棱，第三个球过正方体的各个顶点（都是同一正方体），则这三个球的体积之比为（ ） 4.过三棱锥高的中点与底面平行的平面把这个

2、三棱锥分为两部分，则这上、下两部分体积之比为( ) 14 17 23 185. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） 6. 如图，四棱锥PABCD中，底面是边长为1的菱形，ABC60，PA底面ABCD，PA1，则异面直线AB与PD所成角的余弦值为 ( ) 7. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ( )14 24 28 488. 在正三棱柱中，则与平面所成的角的正弦值为（ ） 9.用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）48个 36个 24

3、个 18个10如图：已知矩形ABCD中，AB2，BC，若PA平面ABCD，在BC边上取点E，使PEDE，则满足条件的E点有两个时，的取值范围是（ ） 4 4 04 0411. 若地球半径为，在北纬45圈上有两点，且这两点间的球面距离为，则北纬45圈所在平面与过两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为 ( ) 12在棱长为1的正方体ABCD中，若点P是棱上一点，则满足的点P的个数为（ ） 4 6 8 12 第卷(非选择题,共90分)二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，满分20分）13. 菱形中，已知垂直于所在平面且，则到的距离为 。14. 把边长为1的正方形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使顶点

4、B和D的距离为1，此时D点到平面ABC的距离为 。15展开式中， 的系数是_ 。16. 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 。三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17（本小题10分）（）计算：； （）解方程：18（本小题 12 分） 从4名女同学和6名男同学中，选出3名女同学和4名男同学，7人排成一排.（1）如果选出的7人中，3名女同学必须站在一起，共有多少种排法?（2）如果选出的7人中，3名女同学互不相邻，共有多少种排法?(注:必须用数字表示最终结果)A119（本小题 12 分）

5、在长方体中，、分别为、的中点（）求证：平面；（）求证：平面 20（本小题 12 分） 直三棱柱中，侧棱，是棱的中点，是中点，求: （） 二面角的大小； （） 到平面的距离.21（本小题12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别为、的中点（）求证：平面；（）设，求与平面所成的角的正弦值CDEAB22（本小题 12 分） 四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，（）证明：；（）设与平面所成的角为，求二面角的大小参考答案 第卷(选择题, 共60分)一 、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1. 下列说法正确的是 ( C )平面和平面只有一个公共点 两两相交的三条线必共面不共面的四点中,

6、 任何三点不共线 有三个公共点的两平面必重合均为直线,其中在平面的（ A ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分 C. 充分必要D. 既不充分也不必要3.有三个球，一个球内切于正方体的各个面，另一个球切正方体的各条棱，第三个球过正方体的各个顶点（都是同一正方体），则这三个球的体积之比为（ C ） 4.过三棱锥高的中点与底面平行的平面把这个三棱锥分为两部分，则这上、下两部分体积之比为( B ) 14 17 23 185、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）A B C D6.如图，四棱锥PABCD中，底面是边长为1的菱形，ABC60，PA底面ABCD，

7、PA1，则异面直线AB与PD所成角的余弦值为 ( A) A. B. C. D.7. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ( A )A. 14 B. 24 C. 28 D. 488. 在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（ D ）A. B. C. D. 9.用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ B ）10如图：已知矩形ABCD中，AB2，BC，若PA面AC，在BC边上取点E，使PEDE，则满足条件的E点有两个时，的取值范围是（ A

8、 ） 4 4 04 0411. 若地球半径为R，在北纬45圈上有A、B两点，且这两点间的球面距离为，则北纬45圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为 ( D ) A. B. C. D. 12在棱长为1的正方体ABCD中，若点P是棱上一点，则满足|PA|的点P的个数为（ B）A4 B6 C8 D12 第卷(非选择题,共90分)二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，满分20分）13. 菱形中，已知垂直于所在平面且，则到的距离为 。10cm14. 把边长为1的正方形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使顶点B和D的距离为1，此时D点到平面ABC的距离为 15展开式中，的系数是_.24

9、16. 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17. （本小题满分 10 分）（）计算：； （）解方程：解：（）=5543443 4分 =348 5分（） 7分2 x=1 或 2 x +1=5 9分 x=（舍） 或 x=2 故方程得解为x=2 10分18.（本小题满分 12 分）从4名女同学和6名男同学中，选出3名女同学和4名男同学，7人排成一排.（1）如果选出的7人中，3名女同学必须站在一起，共有多少种排法?（2）如果选出的7人中，3名女同学互不相

10、邻，共有多少种排法?(注:必须用数字表示最终结果)解：（1）先选人，有种选法，再把3名女同学看成一个元素，与其余4名男同学相当于5个元素进行全排列，然后3名女同学再进行全排列，由分类计数原理，共有=43200种排法 (6分)(2) 选完人后，先让4名男同学全排列，再把3名女同学在每两男生之间（含两端）的5个位置中插入排列，共有=86400种排法(12分)A119.（本小题满分 12 分）在长方体中，、分别为、的中点（）求证：平面；（）求证：平面 证明：侧面，侧面，3分在中，则有， ， A1又平面 6分（2）证明：连、，连交于， 连结OE，四边形是平行四边 10分又平面，平面，平面 12分20（

11、本小题满分 12 分）直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱CC1 = 2，BAC = 90，M是棱BC的中点，N是CC1中点，求 （1）二面角B1ANM的大小； （2）C1到平面AMN的距离.20、解法一：（1）建立坐标系如图所示，则1分设平面AMN的法向量为，平面AB1N的法向量为 2分由，得，令，则，于是 3分由，得，令，则，于是 4分 5分所以二面角B1ANM的大小 6分 （2），C1到平面AMN的距离：12分 解法二：BAC = 90，AB = AC =，M是棱BC的中点.AMBC，BC = 2，AM = 1，AM平面BCC1B1，平面AMN平面BCC1B1.2分 （1）作B1HMN于H

12、，HRAN于R，连B1R平面AMN平面BCC1B1 = MNB1H平面AMN，又由三垂线定理知，B1RAN，B1RH是二面角B1ANM的平面角3分由已知得 ，则又RtAMNRtHRN， 5分所以二面角B1ANM的大小 6分 （2）N是CC1中点C1到平面AMN的距离等于C到平面AMN的距离设C到平面AMN的距离为h，由VCAMN = VNAMC得 12分21.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别为、的中点（1）求证：平面；（2）设，求与平面所成的角的正弦值解：取PA中点G, 连结FG, DG. 6分设AC, BD交于O，连结FO.设BC=a, 则AB=a, PA=a, DG=a=EF, PB=2a, AF=a.设C到平面AEF的距离为h.VCAEF=VFACE,