(完整版)一线三等角专题训练

1、一线三等角问题一、问题引入如图，ABC中，B90 ，CDAC，过 D 作 DEAB交 BC 延长线与 E。求证： ABC CEDADBCE其他常见的一线三等角图形（等腰三角形中底边上一线三等角）（等腰梯形中底边上一线三等角）AEDFBC（直角坐标系中一线三等角）（ 1）等腰三角形中一线三等角（矩形， 正方形中一线三等角）例 1、 如图，已知在 ABC 中， AB=AC=6，BC=5，D 是 AB 上一点， BD =2，E 是 BC 上一动点，联结DE ，并作DEFB ，射线 EF 交线段 AC 于 F （ 1）求证： DBE ECF；（ 2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段BE 的长；（

2、3）联结 DF ，如果 DEF 与 DBE 相似，求FC 的长AADFDBECB (备用图 )C（ 1、 本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必有三角形相似；（ 2、 第二问中根据相似求线段的长， 也很常见； 有时候会反过来问， 线段的长是多少时，三角线相似。变式练习1 就是这类题型；（ 3、第三问，中间的三角形与左右两个形似时，有两种情况，一种是DF 与底边平行，一种是 E 为中点；（ 4、 在等腰梯形中，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适用。变式练习1 （浦东新区22 题）如图，已知等边ABC的边长为8，点DFEAB BC

3、ACBD3，、 分别在边、上，E为 AC中点，当 BPD 与 PCE 相似时，求 BP 的值 .变式练习2（宝山 22 题）如图6，已知ABC 中，ABAC,点E、F在边BC 上，满足EAF=C.求证：BF CEAB 2；ABCEF（图 6）（ 2）等腰梯形中一线三等角例 2.（长宁区 18 题）如图，等腰梯形ABCD 中， AD BC ， AD2，BC4 2 ，B45?E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜，直角三角板含 45 度角的顶点边与CD 交于点 F . 若 ABE 为等腰三角形，则CF 的长等于.ADFBEC第 18题例 3（徐汇区25）如图，在梯形 ABCD 中， AD BC

4、， AB CDBC 6 ，AD 3点M 为边 BC 的中点，以 M 为顶点作 EMFB ，射线 ME 交腰 AB 于点 E ，射线 MF交腰 CD于点 F ，联结 EF（1）求证： MEF BEM ；（2）若 BEM 是以 BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；（3）若 EFCD ，求 BE 的长例 4、（杨浦区基础考）四边形 ABCD 中， AD BC ，ABC0o90o ，AB DC 3， BC5 点 P 为射线 BC 上动点（不与点B 、 C 重合），点 E 在直线 DC上，且 APE记PAB1，EPC2， BPx ， CEy （1）当点 P 在线段 BC 上时，写出并证明1与2的数量关

5、系；（2）随着点 P 的运动，（ 1）中得到的关于1 与2 的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x 的取值范围；（3）若 cos=1 ，试用 x 的代数式表示y 3（ 3）坐标系中一线三等角例 5（金山区24）如图，住平面直角系中，直线AB ： y4x 4 a 0 分别交 x 轴、 ya轴于B 、A 两点，直线AE 分别交x 轴、 y 轴于E 、A 两点， D 是 x 轴上的一点，OAOD ，过 D作CDx 轴交AE于C，连接B C ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点 D重合）且 ABBC 时(1) 求证： ABO BC

6、D ；(2) 求线段 CD 的长（用 a 的代数式表示） ；(3) 若直线AE 的方程是y13xb ，求tanBAC 的值16变式练习3、在平面直角坐标系XOY中 ，AOB的位置如图所示，已知AOB900,A600 , 点 A 的坐标为3,1（ 1） 求点 B 的坐标；（ 2） 若抛物线 y ax 2 bx c 经过 A、 O、 B 三点，求函数解析式。（ 4）矩形中一线三等角例 6、（长宁区24 题）如图，在矩形的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点ABCD中， AB4， AD6，点 P是射线P ，三角板两直角中的一边始终经过点DA 上C ，另一直角边交射线BA于点 E （1）判断 EAP

7、与 PDC 一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PDx ，AEy ，求y 与 x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点P ，是EAP 周长等于PDC 周长的2 倍？若存在，请求出PD的长度；若不存在，请简要说明理由PADEBC一线三等角与因动点产生的等腰三角形问题的综合题目（徐汇24）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDC5,AD =2，BC=8 ，MENB MEN的顶点E 在边BC 上移动，一条边始终经过点A ，另一边与CD 交于点F，联接AF （ 1）设 BEx, DFy ，试建立 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数定义域；（ 2）若 AEF 为等腰三角形，求出 BE 的长MADADNFBCBEC备用图（虹口期中24）梯形 ABCD,AD BC,AB=CD=5，AD=3.5 ，sinB= 4,E 在 AB 边上， BE=3，P是5BC 上动点，联结EP 做