(完整版)《复变函数》考试试题与答案(十三)

1、复变函数考试试题（十三）一、填空题（每题分）设 z r (cosi sin)，则 1_ z设函数f ( z)u(x, y)iv (x, y) ， Au0 iv 0 ， z0x0 iy 0 ，则 lim f ( z)A 的充z z0要条件是 _ 设函数f ( z) 在单连通区域 D 内解析，则f (z) 在 D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分f ( z)dz_ C设 z a 为 f ( z) 的极点，则 limf (z)_ z a设 f ( z)zsin z ，则 z 0 是 f ( z) 的 _阶零点设 f (z)1，则 f ( z) 在 z0 的邻域内的泰勒展式为 _1z2设 z a za

2、b ，其中 a, b 为正常数，则点z 的轨迹曲线是 _ 设 zsini cos，则 z 的三角表示为 _ 664 z coszdz_ 0设 f ( z)e z，则 f ( z) 在 z0 处的留数为 _ z2二、计算题计算下列各题 （分）(1)cosi ；(2) ln(23i ) ;(3) 33 i2求解方程z380（分） 设 ux2y2xy ， 验 证 u 是 调 和 函 数 ， 并 求 解 析 函 数 f (z) uiv ， 使 之f (i )1i （分）计算积分 （ 10 分）(1)(x2iy) dz，其中 C 是沿 yx2 由原点到点 z1i 的曲线C1 iy)ix 2 dz ，积分

3、路径为自原点沿虚线轴到i ，再由 i 沿水平方向向右到1 i (2)( x0试将函数f (z)1分别在圆环域 0z1 和 1 z 2 内展开为洛朗级(z1)(z 2)数（分）计算下列积分 （分）5z2(2) ?zsin 2z(1)?z 2 z(z1)2dz；4 z2 ( z1)dz 计算积分x24 dx （分）1x求下列幂级数的收敛半径（分）(1)nzn 1 ；(2)( 1)n zn n 1n 1n!2讨论f ( z)z 的可导性和解析性 （分）三、证明题设函数f ( z) 在区域 D 内解析，f (z) 为常数，证明f (z) 必为常数（分）试证明 azazb0 的轨迹是一直线，其中a 为复

4、常数， b 为实常数（分）复变函数考试试题（十三）参考答案一、填空题（每题分）1.1 e i2.lim u(x, y)rxxoyyo5.26.1z2z4u0 及z6limv(x, y) v03.04.xxoyyo(1)n z2n7.椭圆8.1 (12i )9.2 (14)110.122二、计算题计算下列各题 （分）解: (1)cosi1 (ee 1 )2(2)ln(23i )ln23ii arg(23i )1i (3ln13arctan)22(3)33ie(3i)ln3e(3 i )(ln3i 2k)e3ln32 k i (6 kln3)27 e2 kcos(ln 3)i sin(ln 3)3

5、3ii2 k332.解 :8 0z82e(k0,1,2)z8e故 z380 共有三个根 :z013 ,z12 , z2 1 33.解 :ux2y 2xyux2xy,uy2 yx2u2u220u 是调和函数 .x22yv(x, y)( x, y)uxdyc( x, y )(2 yx)dx(2 xy)dyc( uy ) dx(0,0)(0,0)xx)dxyy)dyc(2 x00x2y2c2xy22f (z)uiv(x2y2xy)x2y21i(2xy2)221(2i ) z21i22154.解 (1)(x2iy )dz1( x2ix 2 )d ( xix 2 )i0c661 iy)ix 2 dzi1

6、1( x1)ix 2 dx(2)( x(y)dy000ii11 (3i )2326n5. 解:0 z 1 时 f ( z)1111( z)zn( z 1)(z 2) z 2 z 12 n o 2n 0(11) znn0zn11z2 时 f ( z)11111(z1)(z2)z2z12(1z)z(11)2zzn1no 2n1n0 zn6.解 :(1)cz25z22 dz2iRe s( f ,)4iz( z1)?(2)?zsin 2 zdz2i Re s( f ,)04 z2 ( z1)7.解 :设 f (z)1z2z12 (1i ) 和 z22 (1i) 为上半平面内的两个一级极点 ,z422且

7、 Res f ( z), z1limz21i2 (42iz z1 z1i )( z2i )2Re s f ( z), z2 limz21iz z22 (1i )( z2i )42i z21x2dx2i( 1i1i )2x442i42i8. (1) R1(2)R9. 解 : 设 zxiy ,则 f (z)z22y 2ux2x,uy2 y, vx vy 0x当且仅当 xy0时,满足 CR 条件 ,故 f (z) 仅在 z0 可导 ,在 z 平面内处处不解析 .三、1. 证明 : 设 fuiv ,因为 f ( z) 为常数 ,不妨设 u2v2C (C为常数 )则 u uxv vy0u u yv vy0由于f (z)在D,ux vy,uyvx内解析 从而有将此代入上述两式可得uxuyvxvy0于是 uC1 ,vC2 因此f ( z) 在 D 内为