数学奥林匹克高中训练题(26)及答案

1、数学奥林匹克高中训练题（26）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）2x+yx+y，C=1(训练题59)已知x,y是两个不等的正数，则A=，B=1122+xy的大小顺序是(C)(A)A>B>C (B)A>C>B (C)B>A>C (D)B>C>A2(训练题59)函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域，对定义域中任何x，有f(x)+f(-x)=0，g(x)g(-x)=1，且当x0时，g(x)1，则F(x)=2f(x)+f(x)是(B) g(x)-1b+arctan)，则a(A)奇函数 (B)偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非

2、奇非偶函数 3(训练题59)已知a,b为非零常数，若M=asin+bcos，N=对任意的(C)(A)M=N (B)MN (C)仅当a>0时，M=N (D)仅当b>0时M=N4(训练题59)如图1，在棱长为a的正方体ABCD-A1BC点E、F分别是面BB1C1C和ABCD11D1中，D1的中心，则异面直线EF与AC11的距离为(C) A1(A)a236 (B)a (C)a (D)a 2234A C5(训练题59)已知周期数列xn满足xn=xn-1-xn-2(n3)，若x1=1,x2=a0，则当该数列的周期最小时，数列的前2002项的和是(B)(A)2002 (B)1335 (C)19

3、49 (D)1428x2y26(训练题59)设点F1,F2分别为椭圆2+2=1的左右两焦点，l为右准线，若在椭圆上存在点M，abM到l的距离d成等比数列，则椭圆离心率e的取值范围是(A)使MF1,MF2，点(A)1,1)(B)1(C)(D)二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1(训练题59)已知复数z1,z2，满足z1=1z=2,z31-z2=，i3则2z1+z2=3-9+ 72(训练题59)已知x0,x2+(y-4)24，设w=x2+2y2，则w的取值范围是 x2+y252w 23(训练题59)已知在三棱锥S-ABC中，底面三角形每个顶点处的三个面角和均为180，底面三角形三边分别是3、

4、2和5，则该三棱锥的体积是o 4(训练题59)设f1(x)=2f(0)-11，定义fn+1(x)=f1fn(x)，且an=n，则a100=-101 1+x2fn(0)+2x2+ky2=1，点A,B是过原点的直线与椭圆的两个交点，若5(训练题59)已知焦点在x轴上的椭圆2数k使得在椭圆上还存在另一点C，使ABC为正三角形，则对所有这样的k，ABC的面积最大值是 xy+=16(训练题59)已知方程组ab，有且仅有整数解，则满足题意的实数对(a,b)的个数是 60 22x+y=50三、(训练题59)(本题满分20分)已知aiR+，且aiai+1,i=1,2, ,n-1，求证：ana1a2n+ + a

5、1+a2a2+a3an+a12四、(训练题59)(本题满分20分)给定空间不共面的n个点(n4)试问：是否一定存在这样一个平面，仅过这n个点的其中三个？并请证明你的结论五、(训练题59)(本题满分20分)如果在一条平面曲线上存在四点，使得这四点构成的图形是一个菱形，x2y2x2y2则称该曲线存在内接菱形现已知双曲线c1:2-2=1，双曲线c2:2-2=1，其中abbaab,a>0,b>0证明：在双曲线c1与c2中有且仅有一条存在内接菱形第二试一、(训练题59)(本题满分50分)如图2，点P,Q是ABC的外接圆上（异于A,B,C）的两点，点P关于直线BC,CA,AB的对称点分别是U,V,W，连线QU,QV,QW分别与直线BC,CA,AB交于（1）U,V,W三点共线；（2）D,E,F三点共线 D,E,F，求证：n2nk二、(训练题59)(本题满分50分)已知xi0(i=1,2, ,n),n2，且xi+2xkxj=1，试求xiji=1i=11kjn的最大值和最小值三、(训练题59)(本题满分50分)已知(a1,a2, ,an)是自然数1,2, ,n的一个排列，且满足：对任意1in-1，均有ai+iai+1+i+1(1)若记xi为数i(1in)在排列中所处位置的序号（如排列(1,3,4,2