高中数学第二章随机变量及其分布章末复习学案

1、第二章随机变量及其分布1离散型随机变量及其分布列(1) 随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示 在这个对应关系下， 数字随着试验结果的变化而变化 像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量通常用字母X，Y， ， ， 等表示(2) 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量(3) 离散型随机变量的分布列：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x1，x2 ， xi ， xn，X 取每一个值xi ( i 1，2， ， n) 的概率 P( X xi ) pi ，以表格的形式表示如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn我

2、们将上表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X的分布列有时为了简单起见，也用等式 P( X xi ) pi ，i 1， 2， ， n 表示 X的分布列(4) 离散型随机变量的分布列的性质：pi 0， i 1， 2， ， n；n pi 1.i 1(5) 常见的分布列：两点分布：如果随机变量1) 为成功概率 .X 的分布列具有下表的形式，则称X 服从两点分布，并称p P( XX01P1 pp两点分布又称0 1 分布，伯努利分布超几何分布：一般地，在含有M件次品的 N件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事k n kCMCNM件 X k 发生的概率为P( Xk) n ， k 0， 1，

3、2， ， m，即CNX01m0 n01 n 1m nmPCMCNMCMCNMCMCNMnnnCCCNNN其中 m min M， n ，且 n N， M N， n，M， N N* . 如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布2二项分布及其应用（）PAB(1) 条件概率：一般地，设A 和 B 是两个事件，且 P( A) 0，称 P( B| A) P（A） 为在事件 A发生的条件下，事件B 发生的条件概率P( B| A) 读作 A 发生的条件下B 发生的概率(2) 条件概率的性质： 0 P( B| A) 1；必然事件的条件概率为 1，不可能事件的条件概率为0；如果 B 和

4、 C是两个互斥事件，则P( BC| A) P( B| A) P( C| A) (3)事件的相互独立性：设A， B为两个事件，如果P( AB) P( A) P( B) ，则称事件 A与事件 B相互独立如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与B， A与 B， A与 B也都相互独立(4)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为 n 次独立重复试验(5)二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为p，那么在 n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生 k 次的概率为 P( Xk k p)n kX 服从二项分布， 记作 XB(

5、n，p) ，k) Cnp (1，k 0，1，2， ， n. 此时称随机变量并称 p 为成功概率两点分布是当n 1 时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式3离散型随机变量的均值与方差(1) 均值、方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2ppin则称 E( X) x1p1 x2p2 x p x p为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散i in n型随机变量取值的平均水平n2称 D(X)i E( X)iX 的方差，D（ X）为随机变量X的标准差( xp 为随机变量i 1(2) 均值与方差的性质：若 YaX b，其中 a，b 是常数， X是随机变量，

6、则 Y也是随机变量，且 E( aX b) aE( X) b，D( aX b) a2D( X) (3) 常见分布的均值和方差公式：两点分布：若随机变量X 服从参数为p 的两点分布，则均值 E( X) p，方差 D( X) p(1 p) 二项分布：若随机变量XB( n， p) ，则均值 E( X) np，方差 D( X) np(1 p) 4正态分布(1) 正态曲线与正态分布：正态曲线：我们把函数( x) 1（ x ）2， 2· e2 2， x ( ， )( 其中是样本均值， 是样本标准差 ) 的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线，正态曲线呈钟形，即中间高，两边低正态分布：一般地，如果

7、对于任何实数a， (a ) ，随机变量X满足( ) bbbP a X ba ， ( x)d x，则称随机变量X 服从正态分布正态分布完全由参数 ， 确定，因此正态分布常记作 ( ， 2) N(2) 正态曲线的特点：曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x 对称；1曲线在 x 处达到峰值； 2曲线与 x 轴之间的面积为 1.(3) 和 对正态曲线的影响：当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿x 轴平移；当 一定时， 曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”， 表示总体的分布越集中； 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散(4) 正态分布的 3 原则：若随

8、机变量 X N( ，2 ) ，则 P( X ) 0.682 6，P( 2 X 2) 0.954 4 ， P( 3 X 3 ) 0.997 4.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N( ， 2) 的随机变量X 只取 ( 3， 3 ) 之间的值， 并简称之为 3 原则 .题型一条件概率的求法P（ AB）求条件概率的主要方法： (1) 利用条件概率： P( B| A) P（ A） .(2)针对古典概型， 缩减基本事件总数 ( |) n（ AB）.P B An（ A）例 1 坛子里放着7 个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4 个是绿皮的，3 个是白皮的如果不放回地依次拿出2 个鸭蛋，求：(1) 第 1 次

9、拿出绿皮鸭蛋的概率；(2) 第 1 次和第 2 次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3) 在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2 次拿出绿皮鸭蛋的概率解设“第 1 次拿出绿皮鸭蛋”为事件，“第 2 次拿出绿皮鸭蛋”为事件，则“第 1 次和AB第 2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.(1) 从 7 个鸭蛋中不放回地依次拿出2 42. 根据分步乘法计数原理，2 个的事件数为 n( ) A711n( A) A × A 24.46n（ A） 24 4于是 P( A) n（ ） 42 7.2 12，(2) 因为 n( AB) A4n（ AB） 12 2所以 P( AB) （ ）427.n(3) 法一由 (1

10、)(2)可得，在第 1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2 次拿出绿皮鸭蛋的概率为2( |) P（ AB）7 1 .P B AP（ A）4 27法二因为() 12， ( ) 24，n ABn An（）121AB所以 P( B| A) n（ A） 24 2.跟踪演练1一个盒子装有 4 只产品，其中有 3 只一等品、 1 只二等品，从中取产品两次，每次任取一只， 作不放回抽样， 设事件 A 为“第一次取到的是一等品”，事件 B 为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A)解将产品编号1，2，3 号为一等品，4 号为二等品，以( i， j ) 表示第一次，第二次分别取到第i号、第j号产品，则试验的样

11、本空间为 (1，2) ，(1 ，3) ，(1 ，4) ，(2 ，1) ，(2 ，3)， (2 ，4)， ， (4，1) ，(4 ，2) ，(4 ，3)A(1 ，2)，(1 ， 3)，(1 ，4) ，(2 ，1) ，(2 ，3) ，(2 ，4)，(3 ，1) ，(3 ，2)，(3 ， 4)AB (1 ，2) ，(1 ，3)，(2 ，1) ，(2 ，3) ， (3 ，1) ，(3 ，2)n（ AB）2P(B|A) .题型二互斥事件、相互独立事件的概率求概率先转化为互斥事件概率的和，再运用相互独立事件的概率公式求解例2国家射击队为备战2016 年里约热内卢奥运会进行紧张艰苦的训练，训练项目完成后，教

12、练总会设计安排一些放松、娱乐性恢复活动在一次速射“飞碟”的游戏活动中，教练制定如下规则： 每次飞碟飞行过程中只允许射击三次，根据飞碟飞行的规律，队员甲在飞行距离为50 米远处命中的概率为23.(1) 如果队员甲一共参加了三次射击飞碟的游戏，试求队员甲在这三次游戏中第一次至少有一次击中的概率；(2) 如果队员甲射击飞行距离为50 米远处的飞碟，如果第一次未命中，则进行第二次射击，同时第二次射击时飞碟飞行距离变为100 米；如果第二次未命中， 则进行第三次射击， 第三次射击时飞碟飞行距离变为150 米 ( 此后飞碟不在射程之内 ) 已知，命中的概率与飞碟飞行距离的平方成反比，求队员甲在一次游戏中命

13、中飞碟的概率26A. P( A) 1P( A) 解 (1) 记“队员甲在三次游戏中， 第一次至少有一次命中”为事件27.(2) 记“在一次游戏中，第i次击中飞碟”为事件i (i 1，2， 3) B22121P( B1) 3，P( B2) 3×( 2)6，2 1 2 2P( B3) 3×( 3) 27.又 Bi 是相互独立事件， P( B) P( B1) P( B1B2) P( B1B2B3)P( B1) P( B1) · P( B2) P( B1) · P( B2) · P( B3) 2 1× 1 1× 5× 2

14、361.3363627486跟踪演练2甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6. 本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束 设各局比赛相互间没有影响，求前三局比赛甲队领先的概率解单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6 ，乙队胜甲队的概率为1 0.6 0.4 ，记“甲队胜三局”为事件，“甲队胜二局”为事件，则：AB( ) 0.6 30.216 ； () C32×0.6 2× 0.4 0.432.P AP B前三局比赛甲队领先的概率为P( A) P( B) 0.648.题型三离散型随机变量的分布列、期望与方差离散型随机变量的分布列是研究随

15、机变量的期望和方差的基础，利用分布列还可以求随机变量在某个范围内取值的概率例 3 (2013 ·山东理 ) 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束， 除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局23比赛结果相互独立(1) 分别求甲队以 30， 3 1， 3 2 胜利的概率；(2) 若比赛结果为30或31，则胜利方得3 分，对方得0 分；若比赛结果为32，则胜利方得2 分、对方得1 分求乙队得分X的分布列及数学期望解(1) 记“甲队以30 胜利”为事件A1，“甲队以31 胜利”为事件A2，“甲队以32胜利”为事件A3，由题意，

16、各局比赛结果相互独立，3 8故 P( A1) ( 3) 27，2222228P( A2) C3( 3) (13) × 3 27，2222214( 3) C4( ) (1 )× P A33227所以，甲队以88，430， 3 1， 3 2 胜利的概率分别是，；272727(2) 设“乙队以 32胜利”为事件 A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以22222× (114P(A) C(1 )() ) 4433227由题意，随机变量X的所有可能的取值为0， 1， 2， 3，根据事件的互斥性得121216P( X0) P( A A) P( A) P( A)27，4P( X

17、1) P( A3) ，4P( X2) P( A4) ，273P( X3) 1P( X0)P( X1) P( X2) 27故 X 的分布列为X0123P1644327272727所以 E( X) 0×161×4 2×4 3×37272727279跟踪演练 3口袋里装有大小相同的卡片8 张，其中 3 张标有数字1，3 张标有数字2，2 张标有数字3. 第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后，第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为 . 求 的期望解 依题意，随机变量 的取值是 2，3， 4， 5， 6.( 2) 3292×3218

18、2， ( 3) 2 ，P8P86464322×3×2 212×3×2 12P( 4) 82 64， P( 5) 8264，224P( 6) 82 64. 的分布列是23456P9182112464646464649182112415E( ) 2× 643× 644× 645× 646× 64 4 .题型四正态分布的应用求解正态分布的问题，要根据正态曲线的对称性，还要结合3 原则，知道正态曲线与x轴之间的面积为1.例 4某地数学考试的成绩X 服从正态分布，某密度函数曲线如右图所示，成绩X 位于区间 (52 ，68 的概率为多少？2解设成绩 X N( ， ) ，则正态分布的密度函数 ， ( x) 1（ x ） 2e22，由图可知， 60， 8.2 (52< 68) (60 8<x60 8) ( < ) 0.682 6.PXPPX跟踪演练 4已知某地农民工年均收入服从正态分