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文档简介
1、离散数学( 屈婉玲版)第一章部分习题精品文档第一章习题1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命题 .并将命题符号化 ,并讨论它们的真值.(1) 2是无理数 .是命题 ,简单命题 .p:2是无理数 .真值 :1(2) 5能被 2整除 .是命题 ,简单命题 .p:5能被 2整除 .真值 :0(3) 现在在开会吗 ? 不是命题 .(4) x+5>0.不是命题 .(5) 这朵花真好看呀 ! 不是命题 .(6) 2是素数当且仅当三角形有 3条边 .是命题 ,复合命题 .p:2是素数 .q:三角形有 3条边 .pq真值 :1(7)雪是黑色的当且仅当太阳从东方
2、升起.是命题 , 复合命题 .p: 雪是黑色的 .q: 太阳从东方升起 .p q真值 :0(8) 2008年10月 1日天气晴好 .是命题 , 简单命题 .p:2008 年10月1日天气晴好 . 真值唯一 .(9) 太阳系以外的星球上有生物 .是命题 , 简单命题 .p: 太阳系以外的星球上有生物 . 真值唯一 .(10) 小李在宿舍里 .是命题 , 简单命题 .P: 小李在宿舍里 . 真值唯一 .(11) 全体起立 ! 不是命题 .(12) 4是2的倍数或是 3的倍数 .是命题 , 复合命题 .p:4 是2的倍数 .q:4 是3的倍数 .p q真值 :1收集于网络,如有侵权请联系管理员删除精
3、品文档(13) 4是偶数且是奇数 .是命题 , 复合命题 .P:4 是偶数 .q:4 是奇数 .p q真值 :0(14) 李明与王华是同学 .是命题 , 简单命题 .p: 李明与王华是同学 . 真值唯一 .(15) 蓝色和黄色可以调配成绿色 .是命题 , 简单命题 .p: 蓝色和黄色可以调配成绿色 . 真值:11.3判断下列各命题的真值.(1) 若 2+2=4, 则 3+3=6.(2) 若 2+2=4, 则 3+3 6.(3) 若 2+2 4, 则 3+3=6.(4) 若 2+2 4, 则 3+3 6.(5)2+2=4 当且仅当 3+3=6.(6)2+2=4 当且仅当 3+36.(7)2+2
4、4当且仅当 3+3=6.(8)2+2 4当且仅当 3+36.答案 :设p:2+2=4,q:3+3=6, 则p,q 都是真命题 .(1)p q, 真值为 1.(2)p q, 真值为 0.(3) p q, 真值为 1.(4) p q, 真值为 1.(5)pq, 真值为 1.(6)p q, 真值为 0.(7) p q, 真值为 0.(8) p q, 真值为 1.14将下列命题符号化,并讨论其真值。( 1)如果今天是 1号,则明天是 2号。p:今天是 1号。q:明天是 2号。符号化为: p q收集于网络,如有侵权请联系管理员删除精品文档真值为: 1( 2)如果今天是 1号,则明天是 3号。p:今天是
5、1号。q:明天是 3号。符号化为: pq真值为: 01.5将下列命题符号化。( 1)2是偶数又是素数。( 2)小王不但聪明而且用功。( 3)虽然天气很冷,老王还是来了。( 4)他一边吃饭,一边看电视。( 5)如果天下雨,他就乘公共汽车上班。( 6)只有天下雨,他才乘公共汽车上班。( 7)除非天下雨,否则他不乘公共汽车上班。(意思为:如果他乘公共汽车上班,则天下雨或如果不是天下雨,那么他就不乘公共汽车上班 )(8)不经一事,不长一智。答案:( 1)设 p:2是偶数, q:2是素数。符号化为:pq( 2)设 p:小王聪明, q:小王用功。符号化为: pq( 3)设 p:天气很冷, q:老王来了。符
6、号化为: pq( 4)设 p:他吃饭 ,q:他看电视。符号化为: p q( 5)设 p:天下雨, q:他乘公共汽车。符号化为: p q( 6)设 p:天下雨, q:他乘公共汽上班。符号化为: qp( 7)设 p:天下雨, q:他乘公共汽车上班。符号化为: q p或 q p( 8)设 p:经一事, q:长一智。符号化为: p q1.6设 p,q的真值为 0; r,s的真值为 1,求下列各命题公式的真值。( 1)p(q r)( 2)(p? r)(?ps)( 3)(p (qr) (pq)(r s)( 4)?(p (q (r?p) (r ?s)收集于网络,如有侵权请联系管理员删除精品文档解:(1) p
7、 (q r)rpqp(qr)qr00100(2) (p? r) (?ps)pqrsp?p(p r) (? p?prss)00110110(3)(p (q r) (p q)(r s)p q r s q)(r (p(qr)qp (qpr(prr)qss) (pq)(r s)0011100101(4) ?(p(q(r ?p) (r ?s)p q r s ?rq(r (p (q(rp?p?p) ?p)00111111(r?(p(q(r?s)?p) (r ?s)1117 判断下列命题公式的类型。( 1)p (p q r)解:pqrp qp qp (p qrr)0000010010110101110111
8、11收集于网络,如有侵权请联系管理员删除精品文档100111101111110111111111由真值表可知,该命题公式为重言式。(2)( p p) ppp p(p)ppp01111001由真值知命题公式的类型是:重言式( 3)(q p) ppqqp( qp)(qp) p00100010101010011100此命题公式是矛盾式。(4)(p q) (q p)解:其真值表为 :pq(pq)( qq p qqp p p)0011111011011110010011100111由真值表观察 ,此命题为重言式 .(5)( p q)(q p)解:其真值表为 :收集于网络,如有侵权请联系管理员删除精品文档
9、p qpq( qp q)pqp p)001011011111100111110100由真值表观察 ,此命题为 非重言式的可满足式 .(7)( p p) (q q) r)解:p qr p pq qr(q ( p p)q)(q q) rr)00010100001100000101010001110000100101001011000011010101111000结论: 此命题为矛盾式1.7(8)(pq) (p q).pq(pq)(p q) (p q)(pq) (pq)001011010101100101111100由此可以知道,上式为非重言式的可满足式.(9) ( )( ) ( )收集于网络,如有
10、侵权请联系管理员删除精品文档解:p ()A()0001111100111111010100110111111110001001101010111101000111111111该命题为永真式(10)( pq) r )s解:p q rsp(p q) (pq)r )qrs00000100001011001001000110110100101010110001101100111111111111111101101101100收集于网络,如有侵权请联系管理员删除精品文档11001011001100101011010111111000101结论:此命题为非重言式可满足式1.8 用等值演算法证明下列等值式(
11、 1)( pq) (p q) p证明:(p q) (p q)(分配律)p(q q)(排中律)p1(同一律 )p(3)( pq)( ( pq )( pq ) )证明:(pq)( ( pq )(qp ) )( (pq )(qp ) )(pq )(qp )( pq )( qp )( ( pq )q )( (pq )p )( ( pq )(qq ) )( ( pp )(qp) )( pq )1)(1(qp) )( pq )(qp)( pq )( pq )1.9 用等值演算法判断下列公式的类型。(1)( p q)p) .解:( 1)( p q)p)( p q)p)蕴含等值式收集于网络,如有侵权请联系管理
12、员删除精品文档( pq)p德·摩根律pqp双重否定律ppq交换律0q矛盾律0零律即原式为矛盾式 .(2) (pq)(qp)(pq)解: (pq)(qp)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(p q) (p q)(Pq)(pq)1(pq)(pq)即(pq)(qp)(pq)是重言式。(3) (pq) (qp).解: (p q) (qp)(pq) (qp)(pq) (qp)( p(pq) (q(qp) )( (pp) q) ( (qq)p(pq) ( pq)(pq)或 ( p q) (q p)(pq) (qp)(pq) (qp)( ( p q) q) p结合律 p q 吸收律结论:该公
13、式为可满足式。1.12(1)求下面命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。(p (qr)( pqr)收集于网络,如有侵权请联系管理员删除精品文档(p (qr) (p qr)(?p(?q?r ) (p qr)(?p?q) (?p ?r ) (p q r)(?p?q) (r ?r) ) (?p?r )(q?q) (p q r)(?p?q r) (?p ?q?r) ( ?p?q?r) (?p q ?r ) (p qr)(?p?q r) (?p ?q?r) (?p q?r ) (p q r)(?p?q?r) (?p ?qr) (?pq?r ) (p qr)m0m1m2m7 (0,1,2,
14、7)故 其主析取范式为(p (qr)( pqr)(0,1,2,7)由最小项定义可知道原命题的成真赋值为(0,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1)成假赋值为 (0,1,1)(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)由主析取范式和主合取范式的关系即可知道主合取范式为(p (qr)( pqr) (3,4,5,6)(3)(pq)qr解:(pq) qr(p q) q rp q q r0既(pq)qr 是矛盾式。(pq)qr 的主合取范式为M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7, 成假赋值为: 000, 001,010,011,100,101, 11113.通过求主析取范式判断
15、下列各组命题公式是否等值。( 1) p(q r); q (p r).解: p (q r)p(q r) p ( q r) p q r收集于网络,如有侵权请联系管理员删除精品文档( p (qq)(rr) )( (pp)q (rr) )( (pp)(qq)r )( p q r)( p q r)( p q r)( p q r)(pq r)(pq r)( p qr) (0,1,2,3,4,5,7)q (p r)q( p r) p q r (0,1,2,3,4,5,7)所以两式等值。( 2) p q (p q)(p (q q) (q (p p)(p q) (pq)(qp)(pq)(pq) (pq) (p
16、q)m1m0m2 (0,1,2)(p q) 处原为 (q p) ,不是极小项令 A = pqB=(p q)C=(pq)(pq) (p q)D = p q则B*=(p q)p q=D且ABC所以DA* C*C* = (pq) (pq) (p q)( 0, 1, 2) (3)所以! 1.15某勘探队有 3名队员,有一天取得一块矿样,3人判断如下:甲说:这不是铁,也不是铜;乙说:这不是铁,是锡;收集于网络,如有侵权请联系管理员删除精品文档丙说:这不是锡,是铁;经实验室鉴定后发现,其中一人两个判断都正确,一个人判对一半,另一个人全错了。根据以上情况判断矿样的种类。解: p:是铁q:是铜r:是锡由题意可
17、得共有 6种情况:1)甲全对,乙对一半,丙全错: (p q) ( p r) (p r) (r p) 2) 甲全对,丙对一半,乙全错: (p q) ( r p)(r p) ) (p r)3) 乙全对,甲对一半,丙全错: ( p r ) ( pq) ( q p) (r p) 4) 乙全对,丙对一半,甲全错:( p r ) ( r p)(r p) (p q) 5) 丙全对,甲对一半,乙全错: ( r p) ( (pq) (p q)(p r)6) 丙全对,乙对一半,甲全错: ( r p) ( p r) (p r) (p q)则1 ( p q p r r p) (p qp r r p) 00 0 (p
18、q r pp r) (p q r ppr) 00 0 ( pr pq r p) ( pr qpr p)( pqr ) 0p qr( pr r ppq)( pr r pp q)000 ( r p pq p r) ( r pp q pr)0(p q r)p q r ( r p p r pq) ( r p pr pq) 0 0 0收集于网络,如有侵权请联系管理员删除精品文档所以 ( pqr )( p qr )而这块矿石不可能既是铜又是锡,所以只能是1.16判断下列推理是否正确,先将命题符号化,再写出前提和结论,让后进行判断。3 如果今天是 1号,则明天是 5号。今天是 1号,所以明天是 5 号。p:
19、今天是 1号q:明天是 5号解:前提: pq ,p结论: q推理的形式结构为:(pq)p) q证明:pq前提引入p前提引入q假言推理此命题是正确命题1.16(2)判断下列推理是否正确,先将命题符号化再写出前提和结论,然后进行判断如果今天是 1号,则明天是 5号。明天是 5号,所以今天是 1号。解 设p: 今天是 1号 ,q: 明天是 5号,则该推理可以写为( (pq) q) p前提 p q,q结论 p判断证明( (pq) q) p( (pq) q) p收集于网络,如有侵权请联系管理员删除精品文档( p q) qp(pq) qp(p q) q pqp此式子为非重言式的可满足式,故不可以判断其正确
20、性所以此推理不正确1.16(3)如果今天是 1号,则明天是 5号,明天不是 5号,所以今天不是 1号。解: p:今天 1号.q:明天是 5号.(pq) ?q) ?p前提 :pq, ?q.结论 :?p.证明 : p q前提引入?q前提引入?p拒取式推理正确1.17(1)前提:( p q) , qr, r结论: p.证明: q r前提引入 r前提引入 q析取三段论 (p q)前提引入 pq置换 p析取三段论即推理正确。( 2)前提: p(q s),q, p r结论: r s.证明: p r前提引入 r附加前提引入收集于网络,如有侵权请联系管理员删除精品文档 p析取三段论 p(q s)前提引入 q
21、s假言推理 q前提引入 s假言推理由附加前提证明法可知,结论正确。(3): 前提 : p q.结论 : p(pq).证明 : pq.前提引入p附加前提引入q假言推理p q合取引入规则(4)前提: qp,qs,st,t r.结论: p q s r.证明: 1) t r;前提引入2) t ;1)的化简3) s t;前提引入4)(st)(ts); 3)的置换5) t s 4)的化简6) s; 2),5)的假言推理7) q s;前提引入8) (q s) (s q);7)置换9) s q 8)的化简10) q;6),9)的假言推理11) q p;前提引入12) p;10),11)的假言推理13) r 1
22、)的化简14) p q s r 6),10),12),13) 的合取所以推理正确。118 如果他是理科学生,他必学好数学。如果他不是文科学生,他必是理科学生。他没学好数学。所以它是文科学生。收集于网络,如有侵权请联系管理员删除精品文档判断上面推理是否正确,并证明你的结论。解: p: 他是理科学生q:他学好数学r:他是文科学生前提: pq , r p , q结论: r p前提引入 p q前提引入 p拒取式 r p前提引入 r拒取式1.19给定命题公式如下:p (qr) 。求命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。解:p (qr)( pqq) (rr) (qr) (pp)p q r)
23、m 7 m 6m 7 m 6p qm5vm 4m 5vm 4r)(p q r) (p q r) (p q r) ( p q r)m6m2m22、 4、 5、 6、7p (q r)0、1、3既010 、100 、101 、 110 、 111 是成真赋值,0 、001 、011 是成假赋值1.20给定命题公式如下:(p q)r 。求命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。解:(p q)r(pq)r( (pq)(rr) )( (pp)(qq)r )收集于网络,如有侵权请联系管理员删除精品文档(pq r)(pqr)(pq r)(pq r)(p q r)(pqr)m7 m6 m7 m5 m3 m1m7 m6m5 m3 m11、3、5、6、7( p q)r0、2、4既001、011、 101、 110、111是成真赋值, 000 、 010、100是成假赋值。例题例1.25 给定命题公式如下,用等值演算判断公式类型(1)(p q) (p q)解:(p q) (p q) p q p q( p p)( q q)1 11所以为重言式( 2)(p? q) ? (p q)(qp)解: (p? q) ?(p
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