河北大学高数题库计算题答案

1、分）分）分）分）cucucudu =dx +dy + dzexoycz计算题，每道题8分1解:(5分）lim y=eJ =e(3分）2、解:由于 2xy x2+y2，故 0 xy(5分）xyX2+y2(2/ 2 23、解：ux(1,1,1)=zylxx分）分）=1(W)limlim (2(x,y)T(N切 x + yJx=o(1(2uy(1,1,1)=Zp-Vx丿=2(2uz(1,1,1)a.nlx丿X=00，1,1)(2分）du(i,i,i)=dx+2y4、解: 由复合函数求导的链式法则：u 2ex（ 2ssin y + cosy ）(5(2分）分）q = eX(2ssin y-cosy卜(

2、5分）exx+f2y(1分）CU吋(2y)+f2x(1分）c2Uex242xf2f肚22x +c2f2y+2yc2f2x +社f2y戌2(4分）C2U侨c f一2莎回（切+分）6、解设 F(x, y,z )=x2+ y2+z2 6zF2x,Fz=2z -6分）zFx2xFz6 -2z分）2(6-2z了+8x2(6-2z3分）7、令 F(x, y, z)=ez xyzFx= -yz,Fz= eZ- xy分）zxFzyzze -xyc2f2x +2xc2f(2y)+c2f2x(2(2(2(4(2(2分）分）分）&解cz分）C2zdxdy分）9、解分）分）10、分）分）分）分）12、解c2z

3、c322 z2y ze -2xy z y z e(ez-xy)3(4rxyf1e y+ 2xf2(3=f1exy+ f1exyx( f11exyx设F(x, y,z)=z-eX书2看czc2zFxczexxcyx-.2xcy+ 2yfi2exyy + 2x(f2iexyx + 2yf22)(5SX, FyHYMZ2Fz=1-eXW二2z(6FxFzf1y +f2=(f11X2xex2Fy12zexfF f12)y+ fl+f2iX +exFzf221-2zerF2(2(3(51f(xy) X1f (xy)yf(xy)f(xy)+y0(x + y)1 ” 中一 f (xy)中 yf (xy)e(

4、x+ y) + y0(x + y)+半(X + y) +y 半(X +y)(2(4(2(3分）=2f +xg12xyg22+ g2ccyQ=(2 f , + ycosxf2)=” C” C2( f11(2x -y) + f12(ysinx)+cosxf2+(f21 (2x - y) + f22(ysinX)ycosxcy刃HHHI-2 f 仆 +(2sin X ycosx) f12+ ysin xcosxf22+cosxf2=4x3f,中2xf；+ x4yf11 -yf； ；分）分）13、解z次f；(2X- y) + f2(ysinx) =2f ； + ycosxf2CXCX(3分）分）分）1

5、4、3x2f(xy,；yrx3yfxyf2X(3分）15、解盘CX= fi(X)+f2，(3分）c2zxcy=-f11(X)+ fJS (X)业 y) - f21 Jf22(y)。(5分）16、解czX1y + f2&)(3-2c zC(f1y今(5ZXcy(4(1(5分）分）xx 111 y1f11X + f12(-p)y+ f1+ f21x+ f22(-p) + f2(- = ) + g L (-字)+g*(一二) yy y11Xy-22二+ f；一 1yyx故所求切平面方程为 4x +2y Z 6 = 0,分）分）分）17、解令 F(X, y, Z )=X2+ y2-z-1则 F

6、x=2x, Fy所求切平面在点= 2y, Fz=1(2(2,1,4)的法向量斤=(421)(2(5(2分）法线方程为乎=宁z-4-1(2分）18解2ydsJJxydb = J dy f2xydxD(5分）458(2分）19、解原式=f dx 匚(y -x2dy0X丿丿1x22._0dxJ0(x -y dy(6分）1130(2分）20、解D1=(x,y)0 xM1,0yx,D2=(x,y)0 x,xy,2 2；emaxx2y2dxdyfjemaxx2y2dxdyjemaxx2y2dxdyDD1D2(41 x1 y(380分）分）231x2xy3川xyzdxdydz= J0 xdx J0y dy

7、f0zdz Q匹2兀411川zdv= f d Idrcos r2sindr=2 兀一sin2 2分）J fx4 05dxy6dy(2分）1364(1分）分）分）22、解：川Jx2+ yQ44一為n0J。叫叫2兀23利用球面坐标系计算分）(6(2兀41川xdv= Jd日JdWjrsi ncos日r2s in dr=s inO2兀2；!畀0 （21-sin4in2(4分）+ +y yg gd d2x22JJeydxdy= J dx J e dy + J dy JD211fxedxfyeydy =100(3(1(5(11 x1 y(380分）分）屮+z)dv=6(5D3分）f f fzdv = HJ

8、zrdrd 0dz = f 兀 d0 frdr J； zdzQQ024、解分）1 2 兀2二d叫r(16-r64)dr =兀(3分）25、解立体在 z 轴上的投影区域为0,4 ，平行于xoy平面的平面截立体所得的截面分）分）分）X2+y22z , (0 z 4),川（X2于是(142；!+ y2+z)dv = Jdz Jd90 0J (r2+z)rdr042=4兀fz dz=03(6(126、解: 令 x=cost,y =sint，贝 Uz = 2 cost+sint，积分曲线C的起点与终点所对的 t 的 值 分 别 为 t=2；i,t=0(2分)0丁(z -y)dx +(x -z)dy+ (

9、x -y)dz= J 2(sin t +cost) -2cos2t-1dt(5分）(1分）27、P=y中ex,Q=2x中cosy2.设L围成的区域为 D迟=1,坐=2cyex(2分）当L相对于 D 取正向时1sfx1=JJ dxdy = J0dx L dy =-(4分）(41当L相对于 D 取负向时，I 03所以根据格林公式得 q（x+ydy+（：-ydx=0Cx +y补充直线段 Ci： y = 0，方向为从点 0（0,0 倒 A（2,0）C fexsin y - ay dx + (excos y - a dy= f fadxdy -C(exsin y - ay dx + (excos y -

10、 a dy0刍兰2x_x2(2分）分）28解2 2因为卩甘嚼 W，”0，。）(2又(0,0 徑 &, y*x-2 i +(y -1f 1(3分）分）(329、解(5分）(3分）30、解写出L的参数方程:L:X述+我OSt，0兰亡“；j y= sint(1分）JLJx +y ds = J0;(5分）解:= 2a2(2记 L（a）为曲线 y=as inx，0兰x兰兀，则兀L(a)= J(1 + y3)dx + (2x +y)dy = J1 +a3si n3x + (2x + asi nx)acosx dx分）(2所以，L（a）在a=1处取得极小值，即为最小值, 故所求曲线为 y =Sin

11、x,0 x 兀。J J zdxdy + ydzdx+ xdydz = 6 + 1十1=1dS =JI+ z)+z2y= TFdxdy , 将积分曲面方程z=Jx2+y2带入被积表达式,JJzds=JJ Jx2+y272dxdy工Dxy22COSQ32=72 J d日J r2dr =一血。JI 092分）4a34a+；i ,3(1分）令 L(a) =4a2-4 =0 ,得a=1 (a = 1)舍去，又L(1) = 8A0.(2分）分）(132、解44原式=fH4-2x-y+2x + -y) dxdyDx；333(5分）=4/6T。(3分）33、解1JJzdxdy- H(1-x-y)dxdy= J

12、0dxJ0(1-x-y)dy=6rDxy611-X(5分）(3分）34、解曲面在xoy面上的投影区域为Dxy=（x,y） x2+y22x.(2分）2+ z2xy(4(2分）易看出 JJ（x + y）ds = O （或通过计算得出）I用球面坐标写出工的参数方程:匹2兀2于是I = jjzds= J de J sin申cosdW=兀。工00记 P(x, y, z )=x, Q(x, y, z)= y, R(x, y,z)= z ,则 P, Q, R 在球面S及S所围成的区域V上有连续的偏导数, 由高斯公式:ffxdydz + ydzdx+zdxdy=川3dxdydz。SV已知积分曲面II为闭曲，

13、且满足咼斯公式的条件， 可直接用咼斯公式将积分 化为三重积分=JJxdydz + y3dzdx + z3dxdy=3川(x2 3+ y2+ z2)dxdydzIQ2 = JJ yzdzdx + 2dxdy - JJ yzdzdx + 2dxdy ,S4S1S分）分）35、分）(4(436、解(5分）=4 兀 R3(3分）37、解分）(4兀2兀1=3 Jd Jd日Jr2r2sindr0 0 0(3分）(1分）(2分）y +y24令s表示I zy0，其法向量与z轴负向相同宀表示S与S所围成的闭38解区域，有由咼斯公式得22兀2分）兀JJ yzdzdx + 2dxdy= jjjzdv= jdWJde

14、Jrcos r sinWdr=4；!Q000JJyzdzdx + 2 dxdy=JJ2dxdy = 2 JJ dxdy =-8 兀S1S1Dxy =f f yzdzdx+2dxdy- JJyzdzdx+2dxdy=12兀。S4SS1JJx(x2+1)dydz + y(y2+2dlzdx+z(z2+3)dxdy =JJJ(3x2+3y2+3z2+6)dxdydz(4IQ其中。为单位球 X2+ y2+ Z2 1，采用球面坐标变换52=-JI。5分）41、解补充曲面工o：z=1（x2+y2,），上侧在旦+ Io 上利用高斯公式得啊 xdydz + ydzdx + zdxdy = JJJ 3dxdyd

15、z分）分）其中Dxy=(x, y) x2+y2乞 4。分）分）分）39、解原式=JJJR2-X2-y2dxdy = QdS J：jR2-r2rdrDxy2 兀（冷痔侃2-r2尸(5(340、解由高斯公式:分）(3S4Si按投影法得(2所以(1(4(4由咼斯公式得22兀2分）2兀110 d 叫 drSrdz(3分）而 JJ xdydz + ydzdx + zdxdy = JJdxdy = 271X2匚2所以原式=_!补充送1： Z = 0（x2+ y2 R2取下侧,而ff xdydz + ydzdx + zdxdy = 0 S(n+dan尹1lim上=lim-1 1an丄 兀3nnta n(1分

16、）分）分）所以原级数收敛(3分）44、解In(aI x 1+ X )= In a + In 1 +iV a 丿C4=lna+送(T)nJ-(-)n,x 年(一 a,an a(5n=1分）45、解nnxn=0oC=xW nxn #nJc= X(2n x )n=1(5(342、分）(3所以，原式=Egxdydz + y dzdx + zdxdy =川(1 +1+1 )dxdydzQ(4分）= R3(1分）43、解(52(3分）分）46、解(x+ 2)-(x +1)=1分）分）47、解分）分）分）分）48解分）1(x+ 2)-(x +1)=112= = X +3x+2(x+2)(x+1) x+1 x

17、+2C1Z (1)n(1K)xn, X 迂(一 1,1)n =0(3(5收敛半径 R = lim二annH11Tn= lim1(n +1 )”4nF设和函数为 S（x ），则 S（x）=处1则S； (x)=： Z -1nxn二4=4(2故所求和函数 S（x）=f(X =14_ 1(X +1 Kx +2) x+11Z2n z0处1七亠 xn=x S1(x) 心 n ”4(24 -xXHOx+2(x+4n1幷+4- 2丿3匕1 3丿(2(2(3分）C/11 、艺 I 歹 r 一讦1|(x +4)，其中 X e (6,_2).n z0I23丿1兀=一 f(x)sinnxdx jiy2三1_(_1)n

18、PR4j，n = 1,3,5,川，=n 兀0, n =2,4,6，川.（虫 x 处；X H0, 兀，2 兀川 I）.雹 4113=2-*。*严s3x+川+2kZ12Cos(2kj)xW，n =j；f(x)sin nxdx(-1厂,(n = 1,2,3川),分）分）49、解an=0 (n =0,1,2,川川)(2分）分）(2bn(3(350、解(7分）（一兀x 兀）(1分）51、解an=0,(n = 0,1,2,川),(2分)分）f(X)= 2(sinX -品n2x +品n3x- |23+ 4sinnx+|i) n(3分）52、解:(C x+ K,xH(2k + 1)兀，k壬Z)。(32xdx

19、”|2xdxJxy =e ( fxeedx + C)弋(+C),2(62特解为 y=h（計）(2(2分）对应的特征方程是 r2+ 4=0,两个特征根是1,2= 2 i，因此，对应的齐次方程的通解是Y= CiCOsZx+qsi n 2x ,代入原方程得，4,x故原方程的通解为 y =-sin 2x + c, cos2x+ c2sin2x。4分）53、解特征方程为 r2-2r -3 =0(2分）设特解为 y* =b0 x +6(2分）1求得b0= 1,b1=.(2分）求得特解 y 一亡(2分）54、解分）分）(32i是特征方程的根，所以设非齐次方程的特解为y =x(Acos2x + Bsi n2x)(2(3分）分）55、解设 y+ 2y-3y =0(3(2分）设方程 y + 2y3y =3x2+1 的特解为:可解得：a=T，b一4，_通解为：八。心亠宀鈔一17(3分）根据一阶线性微分方程的求解公式得所求方程的通解为特征方程为 r4+3r +2=0,r-2,r-1X X分）y =e、-C-dxQ(xdx +C =e1eEdxxdx + cI/(4(1分）因此所求特解为 y*亠（xex-ex+1）x(2分）分）56、解设 y+4y =0解得:y = G cos2x + C2sin