相似三角形的总复习模型地总结

1、实用标准文档三角形相似总复习第一部分相似三角形知识要点大全知识点 1. 相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。 （即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读 ：（ 1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到（ 2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同（ 3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关例 1放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同例 2下列各组图形：两个平行四边形；两个圆；两个矩形；有一个内角80

2、6;的两个等腰三角形；两个正五边形；有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_( 填序号)解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形， 而圆、正多边形、 顶角为 100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似 答案：知识点 2比例线段对于四条线段 a,b,c,d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 ac （或bda:b=c:d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段解读 ：（ 1）四条线段a,b,c,d成比例，记作 ac （或 a:b=c:d ），不能写

3、成其他形式，即比例线段bd有顺序性（ 2）在比例式ac（或 a:b=c:d ）中，比例的项为a,b,c,d，其中 a,d 为比例外项， b,c 为比例内项， dbd是第四比例项ab（ 3）如果比例内项是相同的线段，即bc或 a:b=b:c ，那么线段b 叫做线段和的比例中项。(4) 通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a 和 b 统一为一个单位，c 和 d 统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等例 3已知线段 a=2cm, b=6mm, 求 a b分析：求a 即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比b例 4已知 a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3

4、dm,d= 3 dm，求 c 的长度2分析：由a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d ，再把所给各线段a,b,d统一单位后代入求c知识点 3相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等解读 ：（ 1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系（ 2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性例 5若四边形ABCD的四边长分别是4， 6，8， 10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1 的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1 的最小边长是多少？精彩文案实用标准文档分析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1 相似，且它们的相似比为

5、对应的最大边长的比，即为1 ，再根据相似3多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长知识点 4相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形解读 ：（ 1）相似三角形是相似多边形中的一种；（ 2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；（ 3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（ 4）相似用“”表示，读作“相似于” ；（ 5）相似三角形的对应边之比叫做相似比注意 ：相似比是有顺序的，比如ABC A1B1C1，相似比为k, 若 A1B1C1ABC，则相似比为1 。若两个三角形的相似比为1，则这两个三角形全等，全等三Ak角形是相似三角形的特殊情况。若两个三角形全

6、等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等例 6如图，已知ADE ABC，DE=2， BC=4，则和的相似比是多少？点D， E分别是 AB， AC的中点吗？DEBC注意 ：解决此类问题应注意两方面：（ 1）相似比的顺序性， （ 2）图形的识别解：因为 ADE ABC，所以 DEADAE ，因为DE21，BCABACBC42所以 ADAE1，所以 D， E 分别是 AB，AC的中点ABAC2知识点 5相似三角的判定方法（ 1） 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；（ 2） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似（ 3

7、） 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（ 4） 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（ 5） 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（ 6） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似例 7如图，点 D 在 ABC的边 AB上，满足怎样的条件时，ACD与 ABC相似？试分别加以列举分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判别方法可知，ACD与 ABC已有公共角 A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可解：当满足以下

8、三个条件之一时，ACD ABC条件一：ADAC2ACAB 1=B；条件二： 2= ACB；条件三：，即 AC=AD· AB知识点 6相似三角形的性质（ 1） 对应角相等，对应边的比相等；（ 2） 对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；（ 3） 相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方例 8如图，已知 ADE ABC，AD=8， BD=4， BC=15， EC=7（ 1） 求 DE、 AE的长；（ 2） 你还能发现哪些线段成比例精彩文案实用标准文档ADEBC分析：此题重点考查由两个三角形相似，可得到对应边成例，即DEADAEBCABAC例 9已知 ABC

9、 A1B1C1，= 2，AB ABC的周长为 20cm，面积为 40cm23A1B1求（ 1） A1B1 C1 的周长；（2） A1B1C1 的面积分析：根据相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方求解易求出 A1B1C1 的周长为30cm; A1B1C1 的面积 90cm2第二部分相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一） A 字型、反A 字型（斜A 字型）AADDEEBCBC（平行）（不平行）（二） 8 字型、反8 字型AABBOJCDDC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型精彩文案实用标准文档AADDBCC（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰

10、三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：精彩文案实用标准文档ADC二、相似三角形判定的变化模型旋转型： 由 A 字型旋转得到。8 字型拓展AAEFGDBCEBC共享性一线三等角的变形精彩文案实用标准文档一线三直角的变形第三部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例 1：如图，梯形ABCD 中， AD BC，对角线 AC、 BD 交于点 O， BE CD 交 CA 延长线于E求证： OC2OA OE 例 2：已知：如图，ABC 中，点 E 在中线 AD 上 ,求证：（1） DB 2DE DA ； （2）DEBABC DCEDACBDEAC例 3：已知：如图，等腰

11、ABC 中， AB AC， AD BC 于 D ， CG AB， BG 分别交 AD 、 AC 于 E、 F精彩文案实用标准文档求证： BE2EFEG 相关练习：1、如图，已知AD 为 ABC 的角平分线，EF 为 AD 的垂直平分线求证：FD 2FBFC 2、已知： AD是 Rt ABC中 A 的平分线， C=90°， EF 是 AD的垂直平分线交 AD于 M， EF、 BC的延长线交于一点 N。求证： (1) AME NMD;(2)ND2 =NC· NB3、已知：如图，在ABC中， ACB=90°， CD AB于 D， E 是 AC上一点， CF BE 于 F

12、。求证： EB·DF=AE· DB精彩文案实用标准文档5 已知：如图，在Rt ABC中， C=90°， BC=2， AC=4， P 是斜边 AB 上的一个动点，PD AB，交边 AC于点 （点D与点 、 都不重合），E是射线上一点， 且= 设、DA CDCEPD AABP两点的距离为x， BEP的面积为 y（ 1）求证： AE=2PE；P（ 2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（ 3）当 BEP与 ABC相似时，求 BEP的面积AD EC（第 25 题图）双垂型1 、如图，在ABC中， A=60°， BD、 CE分别是 AC、 AB上的

13、高精彩文案AED实用标准文档求证：（ 1） ABD ACE；（2） ADE ABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角 ABC ，AD 、CE 分别是 BC 、AB 边上的高， ABC 和 BDE 的面积分别是27和3，DE=6 2 ，求：点 B 到直线 AC 的距离。AEBDC共享型相似三角形1 、 ABC是等边三角形,D、 B、 C、 E 在一条直线上120，已知 BD=1， CE=3， , 求等边三角形的边, DAE=长 .精彩文案实用标准文档ADBCE2、已知：如图，在Rt ABC 中， AB=AC， DAE =45°求证：（ 1） ABE ACD ；（ 2） BC 22B

14、E CD ACBDE一线三等角型相似三角形A精彩文案EF实用标准文档例 1：如图，等边ABC 中，边长为6，D 是 BC 上动点， EDF =60°（ 1）求证： BDE CFD（ 2）当 BD =1， FC=3 时，求 BE例 2：（ 1）在ABC 中， ABAC 5， BC8，点 P 、Q分别在射线 CB、 AC 上（点 P不与点 C、点 B 重合），且保持 APQABC .若点 P 在线段 CB 上（如图），且 BP6 ，求线段 CQ 的长；若 BPx ， CQy ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；AAAQBPCBCBC备用图备用图（ 2）正方形ABCD

15、的边长为 5 （如下图），点 P 、 Q 分别在直线 CB 、 DC 上（点 P 不与点 C 、点 B 重合），且保持APQ 90 .当CQ1 时，求出线段BP的长.ADADADBCBCBC例 3：已知在梯形 ABCD 中， ADBC， AD BC，且 AD 5， AB DC 2（ 1）如图 8， P 为 AD 上的一点，满足 BPC A精彩文案实用标准文档求证； ABP DPC求 AP 的长APDBC（ 2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合），且满足 BPE A， PE 交直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设AP

16、x，CQyy关于x的函数解析式，并写出函数的 ，求定义域；当 CE 1 时，写出 AP 的长ADBCADBC例 4：如图，在梯形ABCD 中， AD BC ， ABCDBC6 ， AD3 点 M 为边 BC 的中点，以M 为顶点作EMFB ，射线 ME 交腰 AB 于点 E ，射线 MF 交腰 CD 于点 F ，联结 EF （ 1）求证：MEF BEM ；（ 2）若 BEM 是以 BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；精彩文案实用标准文档（ 3）若 EFCD ，求 BE 的长相关练习：1、如图，在ABC 中， ABAC8 ， BC10 ， D 是 BC 边上的一个动点，点E 在 AC 边上，且

17、ADEC (1) 求证： ABD DCE；A精彩文案E实用标准文档(2) 如果 BDx ， AEy ，求 y 与 x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；(3) 当点 D 是 BC 的中点时，试说明 ADE 是什么三角形，并说明理由2、如图，已知在ABC 中， AB=AC=6，BC=5 ，D 是 AB 上一点， BD=2，E 是 BC 上一动点，联结DE ，并作DEFB ，射线 EF 交线段 AC 于 F（ 1）求证： DBE ECF ；（2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段BE 的长；（ 3）联结 DF ，如果 DEF 与 DBE 相似，求FC 的长AFDBEC3、已知在梯形 ABC

18、D 中， AD BC， AD BC，且 BC =6， AB=DC =4，点 E 是 AB 的中点（ 1）如图， P 为 BC 上的一点，且 BP=2 求证： BEP CPD；（ 2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、 C 不重合），且满足 EPF= C，PF 交直线 CD 于点 F ，同时交直线 AD 于点 M，那么当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP= x ， DF = y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；精彩文案实用标准文档当 S DMF9时，求 BP 的长S BEP4ADADEEBPCBC（第 25 题图）（备用图）4、如图，已知边长为3 的等边 ABC ，点 F 在边 BC 上， CF 1 ，点 E 是射线 BA 上一动点， 以线段 EF为边向右侧作等边EFG ，直线 EG, FG 交直线 AC 于点 M , N ，（ 1）写出图中与 BE