高考数学函数专题复习

1、函数专题【考点导读及高考要求】1 .映射/： A-B的概念（A）2 .函数九 A-B是特殊的映射（A）3 .同一函数的概念（A）4 .求函数定义域的常用方法（B）5 .求函数值域（最值）的方法：（B）6 .分段函数的概念（B）7 .求函数解析式的常用方法：（A）8 .反函数：（A）9 .函数的奇偶性（A）10 .函数的单调性（C）11 .常见的图象变换（A）12 .函数的对称性（A）13 .函数的周期性（A）14 .指数式、对数式：（B）15 .指数、对数值的大小比较：（B）16 .函数的应用（C）17 .抽象函数（A）【考点回顾】1 .映射AfB的概念在理解映射概念时要注意：（1） A中元素

2、必须都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如【典例解析】（1）设N是集合"到N的映射，下列说法准确的是A、A/中每一个元素在N中必有象B、N中每一个元素在中必有原象C、N中每一个元素在中的原象是唯一的D、N是例中所 在元素的象的集合（答：A）；（2）点伍，万）在映射/的作用下的象是（4, +。），则在/作用下点（3,1）的原象为点（答:（2, -1）：（3）若从=1,2,3,4, B = ab,c,凡仇ceR,则A到8的映射有一个，8到A的映射有一个,A到8的函数有个（答：81.64.81）；设集合用=1,0/,N = 123,4,5,映射/- N满足条件“对

3、任意的xe" , x + /(x)是奇数”，这样的映射/有一个(答：12)：(5)设/是集合A到集合B的映射,若8=1,2,则4口8一定是(答：0或1).【考点回顾】2 .函数/: A-B是特殊的映射特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与)， 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如【典例解析】(1)已知函数/(x), xwF,那么集合(x,y)ly = /(x),x£/p|(x,)，)lx = l中所含元素的个数有个(答：0或1)：(2)若函数2x + 4的定义域、值域都是闭区间2,2切，则= (答：2)2【考点回顾】3

4、.同一函数的概念：构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，所以当 两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数，如若一系列函数的解析式相同，值域相同， 但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为)，= /,值域为4, 1的“天一函数”共 有 个(答：9)【考点回顾】4 .求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则)：(D根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log.x中x>O,a>。且。工1,三角形中o<av；t,最大角之二，最小角等。如 33【典例解析】(1)函数4二&quo

5、t;的定义域是一(答：(0,2)U(2,3)U(3,4)：'lg(f-kx + 1 3(2)若函数r= 二一的定义域为R,则Ze(答：0,-)：代+4 人+ 3L 4;(3)函数/(X)的定义域是,，切，b>-a>0 ,则函数E(x) = /(x) + /(x)的定义域是（答：a-a）,（4）设函数/（x） = lg（，+2x + l）,若/（x）的定义域是R,求实数。的取值范围；若/（X）的 值域是R，求实数。的取值范围（答：。>1；OKa<l）（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）复合函数的定义域：若已知/（X）的定义域为口力,其复合函数的定义域由

6、不等式a«g（x）«b解出即可;若已知g（x）的定义域为a向，求的定义域,相当于当历时，求 g（x）的值域（即。（力的定义域）。如（1）若函数y = /（x）的定义域为1,2 ,则/（log, x）的定义域为 （答：I V2 < x < 4）：（2）若函数/（/ + 1）的定义域为一2），则函数/（X）的定义域为 （答：1,5）.5 .求函数值域（最值）的方法：（1）配方法一一二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间?,上的最值；二 是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”： 一看开口方向：二看

7、对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数y = r2x + 5,xe1,2的值域（答：4,8）（2）当xw（0,2时，函数/（x） = ad+4（" + l）x-3在x = 2时取得最大值，则。的取值范围是（答：之一!）： （3）已知/（x） = 3i（2<x<4）的图象过点（2,1）,则/（x） = L/'7。）27712） 2的值域为 （答：2,5）（2）换元法一一通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式 含有根式或三角函数公式模型，如17（1） y = 2sii/x-3cosx-l的值域为 （答：T,一）：8（2） y

8、 = 2x + l +的值域为（答：（3,y>）（令= /NO。使用换元法时， 要特别要注意新元/的范围）；（3） y = $h】工+ 85工+ 5山工85工的值域为 （答：-1,1 +应）;2（4），= x+4+>9-丁 的值域为一（答：L3& + 4）；<3）函数有界性法一一直接求函数的值域困难时，能够利用己学过函数的有界性，来确定所求函数 的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如4-1 2sin6-l3"2sin-lz/1、，八八 /31、求函数 y =， y = t y =的值域（答：（y>,一、（0,1 ）、（yq,一）；l + sin61

9、+ 31 + cos 022（4）单调性法一一利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求y = x- - （<x<9）, y = sin2 x + , y = 2'一、+log】 J7-1 的值域为 （答：（0,包）、x1 + siir x9弓、）：（5）数形结合法一一函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点P（x,y）在圆/ +），2 = 1上，求一）一及y 2x的取值范围（答：咛,4、 x+233-技/）;(2)求函数y = J(x2f+J(x + 8)2 的值域(答:10,y>)；（3）求函数 y =

10、Qx1 -6x+13 + !x2 +4x+5 及 y = x -6x + 13 x1 +4x+5 的值域（答：J方,+8）、（-J而，后）注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在X轴的两侧，而求 两点距离之差时，则要使两定点在X轴的同侧。（6）判别式法一一对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也能够用 其它方法实行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：），=型，可直接用不等式性质，如求y =二的值域（答：（0,3）k + x-2 + x2l）Yy一-一型，先化简，再用均值不等式，如厂 +mx + nX1（1）求），=干的值域（答：

11、（一8二）：1 +厂2（2）求函数y= 丁的值域（答：0,） x + 32.型通常用判别式法：如已知函数），=。3二八十 "的定义域为R,值域为厂 + nix + 厂 +10, 2,求常数?，的值（答：7 = = 5）X，+ /丫 + '4- r + 1）=：' 十型，可用判别式法或均值不等式法，如求），=-'十 的值域（答: mx+nx+（y>,-3UU，+s）<7）不等式法一一利用基本不等式“ 十之2，石（“,£/?+）求函数的最值，其题型特征解析式是和 式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方

12、等技巧。如设成等差数列，x,成等比数列，则叫二上"-的取值范围是.(答:也(,0U4»)。(8)导数法一一一般适用于高次多项式函数，如求函数/。)= 2/+4/40x,工仪3,3的最小 值。(答：-48)提醒：(1)求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？(2)函数的最值与值域之间有 何关系？6 .分段函数的概念：分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的 函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值/(/)时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集， 然后再代相对应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.

13、如 (x+r)2.(x< 1)(1)设函数/")=，则使得了WN1的自变量X的取值范围是 (答：4-7x-1.(a>1)(f ,-2U04。)；1 (x>0)3(2)已知/(x) = J ,则不等式 x + (x+2)/(x+2)<5 的解集是(答：7 .求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法一一已知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种：一般式： f(x) = ax2+bx + Ci 顶点式：/。) = *一6)2+：零点式：f(x) = a(x-xl)(x-x2),要会根据已 知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式)。如己知/3)为二次函数，且/(

14、x 2) = /(x 2),且f(O)=l,图象在x轴上截得的线段长为2及, 求/0)的解析式-(答：/(x) = ix2 + 2x + l)2(2)代换(配凑)法一一已知形如/(g(x)的表达式，求/(x)的表达式。如(1)已知/(lcosx) = sin2x,求/(一)的解析式(答：f(x2) = -x4+2xxe ->/2,)；(2)若/(x ，)=/2+上，则函数/(X -1)= (答：a-2-2a- + 3)； X厂(3)若函数/*)是定义在R上的奇函数，且当xw(O,+s)时，/(x) = x(l +盯)，那么当X£(S,O)时，f(X)= (答：X。-加).这里需

15、值得注意的是所求解析式的定义域的等价性, 即/(X)的定义域应是g(x)的值域。(3)方程的思想一一己知条件是含有/W及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的实行赋值，从而得到关于/(x)及另外一个函数的方程组。如2(1)已知/(x) + 2/(t) = 3x 2,求/(x)的解析式(答：/(x) = -3x-)：1Y(2)已知/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且/(x) + g(x)= ，则/W=(答：=一)。X-1厂 一 18 .反函数：(1)存有反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个)，值，都有唯一的工值与之对应，故单调函 数一定存有反函数，但反之不成立；偶函数只有/(x)=0

16、(xe0)有反函数；周期函数一定不存有反函数。 如函数 >'=炉- 2内-3在区间1, 2上存有反函数的充要条件是A、« eB、a e2,C、a e 1,2 D、a e(-oo, 1 U 2, +)(答：D)尸（幻=:匕*>1）.<2)求反函数的步骤：反求x：互换工、y：注明反函数的定义域(原来函数的值域)。注 意函数y = /(x+l)的反函数不是y = /T(x + l),而是”广人)-1。如设/(3) = (七，2双>0).求/(劝的反函数广匕)(答: X(3)反函数的性质:反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递

17、增函数/(x)满足条件/(ax + 3)= X，其中0 ,若/(x)的反函数/“(X)的定义域为;3 ,则/1)的定义域是 (答：4,7).函数丁 = /(文)的图象与其反函数y = /"(x)的图象关于直线y = x对称，注意函数)，=/(幻的图 象与x = /I(y)的图象相同。如(1)已知函数y = /(x)的图象过点(1,1),那么/(4-工,)的反函数的图象一定经过点 (答:(1,3):2( + 3(2)已知函数/(外=一，若函数y = g(x)与y = /"(x + l)的图象关于直线)，=x对称，求 X-17g(3)的值(答：-)；。如(1)已知函数/(x)

18、= log)(± + 2),则方程/7(幻=4的解x = (答：1)； X(2)设函数段)的图象关于点(L2)对称，且存有反函数广心)，/(4)=0,则尸(4)= (答:-2)互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知/(%)是R上的增函数，点A(-1,1).8(1,3)在它的图象上，/t(x)是它的反函数，那么不等式(log|<1的解集为 (答：(2,8)；设/(x)的定义域为A,值域为B,则有/,尸(x) = x(xe8),尸x) = xUe A),但几尸*)¥尸"(刈。9 .函数的奇偶性(1)具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原

19、点对称！为此确定函数的奇偶性时，务 必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数/*) =2sin(3x + J),x£225况3a为奇函数，其中8e(0,2/r),则的值是_ (答：0)；(2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性)：I v-41 -4定义法：如判断函数y= "的奇偶性(答：奇函数)。的-广利用函数奇偶性定义的等价形式：/(x)±/(-x) = 0M-= ±1 (/(幻工0)。如/U)判断/(x) = x(一一+ !)的奇偶性.(答：偶函数)2 -1 2图像法：奇函数的图象关于原点对称：偶函数的

20、图象关于y轴对称。(3)函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同：偶函数在关于原点对称的区间 上若有单调性，则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.若/CO为偶函数,则/() = f(x)= /(lxi).in若定义在R上的偶函数/(x)在(y),0)上是减函数，且/(-)=2,则不等式/(log, x)>2的解38集为.(答：(0,0.5)U(2,y)若奇函数/(X)定义域中含有0,则必有/(0)=。.故/(0) = 0是为奇函数的既不充分也不必要“2' + ci 2条件。如若/'")='

21、为奇函数,则实数。=(答：1).2+1定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成''一个奇函数与一个偶函数的和(或差)工 如设/*)是定义域为R的任一函数，F(x)=, G(x)="、二八二.判断尸(x)与G(x)22的奇偶性：若将函数/(x) = lg(K/+l),表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数(x)之和，则g(x) =(答：尸")为偶函数，G(x)为奇函数：g(x) = ；x)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.既奇又偶函数有无穷多个(/Cv) = o,定义域是关于原点对称的任意一个数集).10.函数的单调性(1)确定函数的单调

22、性或单调区间的常用方法：在解答题中常用：定义法(取值一一作差一一变形一一定号)、导数法(在区间(",)内，若总有 f(x) > 0,则/(x)为增函数：反之，若。(x)在区间伍,。)内为增函数,则广(工)20,请注意两者的区别所在。如已知函数/。)= /一心在区间工+s)上是增函数，则。的取值范闱是(答：(0,3)：在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意y = ax + 2(a>0匕>0)型函数的图象和单调性在解题中的使用：增区间为(1-加哦】如(1)若函数/*,) = /+2(4 l)x + 2在区间(-8, 4上是减函数，那么实数。的取值范围是

23、(答：a < -3 )；(2)己知函数/")=竺不在区间(一2,+8)上为增函数，则实数a的取值范围 (答：x 2(J,); / (3)若函数/(x) = log X + -4仅>0,且。1)的值域为R,则实数。的取值范围是 x J(答：0<a<4且awl)：复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减.如函数y = log|(-Y+2x)的单调递增区间是7一(答：(1,2)。(2)特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数/(x) = loga(x2-x + 3)在区间(y)，32上为减函数，求。的取值范闱(答：(L2JJ)：二是在多个单调区间之间不一定

24、能添加符号“U”和“或”： 三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示.(3)你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗？(比较大小：解不等式：求参数范围).如已知奇函数/(X)是定义在(2,2)上的减函数，若/(?一D + /(2/h-1)>0,求实数用的取值范围。(答：1 2<m< >2 311 .常见的图象变换函数丁 = f(x + a) (a > 0)的图像是把函数y = /W的图像沿X轴向左平移。个单位得到的。如设/(x) = 2-',g(x)的图像与/(x)的图像关于直线y = x对称，(x)的图像由g(x)的图像向右平移1个单 位得到，则

25、/?(X)为(答：/(x) = -log2(x-l)函数y = /。-+ a)("<0)的图像是把函数> =/的图像沿x轴向右平移闷 个单位得到的。如 (1)若“x + 199) = 4/+4x+3,则函数/(x)的最小值为一(答：2)：(2)要得到)，= lg(3 x)的图像，只需作)，= lgx关于 轴对称的图像，再向平移3个单位而得到(答：y ：右)；(3)函数/(x) = x/g(x + 2) 1的图像与x轴的交点个数有一个(答：2)函数,，=/(A)+n 3 > 0)的图像是把函数y =助图像沿y轴向上平移。个单位得到的；函数,，=/(x)+。(c/vO)

26、的图像是把函数y = /(x)助图像沿y轴向下平移同 个单位得到的：如将函数)，=/_ + 的图像向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图像如果与原图像关 x +a于直线 y = x 对称，那么 (A)a = l,0WO (B)a = -,beR (C) = l/w0(D)a = 0,beR (答：C)函数y = f(ax) (a > 0)的图像是把函数y = /'(x)的图像沿入轴伸缩为原来的!得到的。如 a(1)将函数y = /(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的;(纵坐标不变)，再将此图像沿x轴 方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为(答：/(3x + 6)：(2

27、)如若函数y = /(2x 1)是偶函数，则函数y = /(2x)的对称轴方程是(答：工=-2函数y = af(x) (a > 0)的图像是把函数,，=/("的图像沿y轴伸缩为原来的。倍得到的.12 .函数的对称性满足条件/(工一4)= 。一力的函数的图像关于直线X = F 对称。如2己知二次函数/(x) =+ bx(a丰0)满足条件/(5-x) = /(x-3)且方程/(x)=%有等根，则/(X)=(答：A + X );2点(%,)，)关于y轴的对称点为(x,y)；函数y = /(x)关于)，轴的对称曲线方程为y =点(x,y)关于A轴的对称点为(x,-y)：函数y = /(

28、X)关于X轴的对称曲线方程为y = -/(力：点(x, >-)关于原点的对称点为(-x-y):函数y = /(x)关于原点的对称曲线方程为y = -/(- x)；点(, y)关于直线y = ±x+a的对称点为(±(y -±x +。)：曲线y) = 0关于直线y = ±x + a 的对称曲线的方程为/(±(ya),±x+a) = 0。特别地，点(x,y)关于直线y = x的对称点为(y,x)；曲线 /(x, y) = 0关于直线y = x的对称曲线的方程为/(y, x)=0 ；点*,y)关于直线y = -x的对称点为(-y-x):

29、曲线于(x, y) = 0关于直线y = -x的对称曲线的方r-33程为/(一乂一幻=0。如已知函数f(x) = ,*工二)，若y = f(x +1)的图像是G，它关于直线y = % 2x-32对称图像是。2,a关于原点对称的图像为。3,则G对应的函数解析式是(答：y =-七二):2x+曲线/(x,)，) = 0关于点(。1)的对称曲线的方程为f(2a-x,抄一 y) = 0。如若函数)，=/ +工与)，= g(x)的图象关于点(-2, 3)对称，则 g(x)= (答：-x2-7x-6)形如y ="玷(c工0m"。从、)的图像是双曲线，其两渐近线分别直线x = -&

30、(由分母为零确定)和直线=且(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(-4,且).如已知函数图象 CC CC'与C:y(x + a + l) = ar + /+l关于直线y = x对称,且图象C'关于点(2, 3)对称，则的值为(答：2)I的图象先保留/(x)原来在4轴上方的图象，作出X轴下方的图象关于工轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；/(Ixl)的图象先保留/(x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后 作出)，轴右方的图象关于)，轴的对称图形得到。如(1)作出函数y=llog2 + l)l及y = log/x + ll的图象：若函数/(X)是定义在R上的奇

31、函数，则函数尸。)=|/(刈+ /(国)的图象关于一对称(答：>1轴)提醒：(1)从结论可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题:(2)证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(3)证明图像G与的对称性，需证两方面：证明G上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在G上: 证明C上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在q上。如(1)已知函数，(幻="+1一"(£/?).求证：函数/(X)的图像关于点成中心 a-x对称图形：(2)设曲线C的方程是)，=/一乩将c沿x轴，y轴正方向分别平行移动

32、单位长度后2 2)得曲线C-写出曲线G的方程(答：y = (x-t)3-(x-t)+s证明曲线c与G关于点4 士对 称。13 .函数的周期性(1)类比“三角函数图像”得：若> = /")图像有两条对称轴x = a，x =)(aW")，则)，= /(x)必是周期函数，且一周期为T = 2a-bi若y = f(x)图像有两个对称中心4(4,0),8(" 0)(4 W/2)，则y = f(x)是周期函数，且一周期为r = 2i«-/7i；如果函数y = /(a)的图像有一个对称中心A(4,0)和一条对称轴x = h(a h b),则函数)，=/(x)必是

33、 周期函数，且一周期为丁 = 41一。1；如已知定义在R上的函数/(x)是以2为周期的奇函数，则方程/(外=0在2,2上至少有 个实数根(答：5)(2)由周期函数的定义“函数/(X)满足f(x)= f(a + x) («>0),则/(X)是周期为。的周期函数” 得：函数/*)满足x) = /(a + x)，则/*)是周期为2。的周期函数：若/(x + a) = 1(4。0)恒成立，则丁 = 2"：/W若/* + ) = 一一1(工0)恒成立，则7 = 2./(X)如(1)设“X)是(8,+8)上的奇函数，/(x + 2) = -/(x),当OWxWl时,f(x) =

34、x ,则”47.5)等于（答：0.5）：定义在K上的偶函数/（x）满足/（x + 2） = /（x）,且在一3,-2上是减函数，若。,夕是锐角三角形的两个内角，则/（sina）J（cos/7）的大小关系为（答：f（sina） /（cos/?）：(3)已知/(x)是偶函数，且/=993, g(x) = /(x l)是奇函数，求/(2OO5)的值(答：993)：(4)设/(x)是定义域为R的函数，且1+2)口一/(工)=1 + /(力，又/(2) = 2+忘，则/T 2/(2006)=(答：14 .指数式、对数式：an = Jam , a tl= 1 , logfl 1 = 0 , logfl a

35、 = 9 Ig2 + le5 = l logr x = Inx ,户J = N Q log。N => 0/ ¥ 1, N > 0), c*% ' = N , log=121, log M bn = - log/人如(!产炉° ogca j m2的值为(答：)6415 .指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。16 .函数的应用（1）求解数学应用题的一般步骤：审题一一认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；建模一一通过抽象概

36、括，将实际问题转化为相对应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义 域：解模一一求解所得的数学问题：回归一一将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有:建立一次函数或二次函数模型；建立分段函数模型：建立指数函数模型；建立V = "X + 2型。X17.抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定 义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数实行类比探究。几类常见的抽象函数：正比例函数型：/（x） = W0） f（x±y） = f（x）±f（y）i塞函数

37、型：f(x)= x2 /(盯) = /(x)/(y)，/(-) = 4：y /(y)指数函数型：f(x) = ax f(x+y) = f(x)f(y), /(x)，)=尸.；/(y)Y对数函数型：/(x) = Iogflx 一一/5) = /(幻+ /()，)，/(一)= /'*,)-/(y)： y三角函数型：f(x) = tanx . /(x+y)=。如已知/")是定义在R上的奇函数,l-7(x)/(y)且为周期函数，若它的最小正周期为T,则/(一)=(答：0)2<2)利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)实行演绎探究：如(D设函数/(x)(xeN)表示

38、尤除以3的余数，则对任意的x,ye N,都有A、/(x + 3) = /(x)B、/(A-+y) = /Cv)+ /(>-) C、f(3x) = 3/(x) D、f(xy) = f(x)f(y)(答：A)：3(2)设/(x)是定义在实数集R上的函数,且满足f(x+2) = f(x+l)-/(x),如果/(l) = lg-, 2/(2) = lgl5,求“2001)(答：1)；(3)如设/*)是定义在R上的奇函数，且/(x + 2) = /0),证明：直线x = l是函数"X)图 象的一条对称轴；(4)已知定义域为R的函数/(x)满足/(x) = /(x + 4),且当x>

39、2时，/*)单调递增。如果玉+<4,且(七一2)(一2)<0,则/(七)+ /(±)的值的符号是一(答：负数)<3)利用一些方法(如赋值法(令尤=0或1,求出/(0)或/、令y = x或y = T等)、递推法、 反证法等)实行逻辑探究。如(1)若xeR, /(X)满足/(x+y) = /(x)+/(y),则的奇偶性是(答：奇函数):(2)若xwR，/(x)满足/Cxy) = /(x)+/(y),则/")的八 >奇偶性是(答：偶函数)：(3)已知/")是定义在(3,3)上的奇函数，当0cx<3时， »fW的图像如右图所示，那么

40、不等式x)cosxv0的解集是 (答：(-I)U(0，l)UC，3)： 22X (4)设/(x)的定义域为R-,对任意都有/() =/(幻一/。)，且x>l时， y/(x)<0,又/(_L) = 1,求证/")为减函数；解不等式/(x) + /(5 x)N-2.(答：(O,lu4,5). 2【易错题解析】水平训练一、选择题1.设集合A和B都是自然数集合N,映射f： AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n,则在映射f下，象20的原象是A. 2C. 4B. 3D. 52.设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题:若f(x)单调递增，g(x)单调递增, 若f

41、(x)单调递增，g(x)单调递减, 若f(x)单调递减，g(x)单调递增, 若f(x)单调递减，g(x)单调递减, 其中，准确的命题是则f(x)g(x)单调递增:则f(x)g(x)单调递增:则f(x)-g(x)单调递减:则f(x)g(x)单调递减;A.C.<3)B. ®®D.3.设全集为 R, A=xlx2-5x-6>0, B=xlx-5IVa)(a为常数),且 11WB,则I A. AUB = RB. AUB = RC. AUB = RD. AUB = R4.已知全集为I,集合M、NuL若MAN=N,则A. MNB. McNC. McND. MoN5.若定义在

42、区间(-1, 0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围是1 1A. (0, -)B. (0,-)乙乙C. (1，+°°)D. (0, +00)6.设 f(x)是(-8, +8)上的奇函数，f(x+2)=-f(x),当 OWxWl 时，f(x)=x,则 f(7.5)=A. 0.5B. -0.5C. 1.5D. -1.57.将y=2x的图象,再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2(x+l)的图象.A.先向左平行移动一个单位B,先向右平行移动一个单位C.先向上平行移动一个单位D.先向下平行移动一个单位8.若OVaVl,则函数y=loga（x+5）到的图象不经过A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.定义在区间（