高中数学2.3圆的切线的性质及判定定理教案新人教A

1、圆的切线的性质及判定定理彳果的自主导学押数材白香白冽湖"总咄"门上学 习区I21课标解读1.掌握切线的性质定理及其推论，并能解决启美问题.2.掌握切线的判定定理，会判定直线与圆相切.1.切线的性质定理及推论图 231(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.如图231,已知AB切。O于点A,则OAL AB (2)推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.(3)推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.2.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.1 . “以圆的两条平行切线的切点为端点的线段是圆的直径”这句话对吗？为什么?【提示】正确.如图

2、ARCD分别切。O于E、F,连接EO并延长交CD于F', 二 AB是。O的切线，OEL AB . AB/ CD，OF，CD，F'为切点，F'与F重合，即EF是 。的直径.2 .判定直线与圆相切共有哪几种方法？【提示】判定直线与圆相切共有三种方法：(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线.3 .从圆的切线的性质定理及推论，你能得出怎样的结论？【提示】 分析圆的切线的性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可以得出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个.

3、垂直于切线； 过切点；过圆心.于是在利用切线性质时，通常作的辅助线是过切点的半径.彳果专* .动探究对疑南师生主动坦”知能”|誉贲? 圆的切线性质的应用图 232如图2- 32所示，已知 AB是。的直径，直线 CD与。相切于点C, AC平分/ DAB ADL CD(1)求证：OC/ AD(2)若AD= 2, AC=邓,求AB的长.【思路探究】(1)要证OC/ AD只需证明 OCL CD(2)利用 ADO ACER1求得.【自主解答】(1)如图所示，连接BC.CMO O的切线,. OCL CD又 ADL CDOCI AD(2) . AC平分 / DAB / DAC= / CAB.AB为。的直径，

4、ACB= 90°又 ADL CD / ADC= 90 , AD© ACBAD ACACT ABAC= AD- AB. AD= 2, AC=乖, 5. AB= 2.I规律方法I1 .利用圆的切线的性质来证明或进行有关运算时，常用连接圆心与切点的半径与切线 垂直这一理论产生垂直关系.2 .常作的辅助线：3 1)连接切点与圆心的半径.4 2)构造直径所对的圆周角.>/H洲.如图233,在ABC43, AB= AC以AB为直径的。O交BC于D,过D作。O的切线 交AC于E求证：DEL AC图 233【证明】 如图，连接OD AD. AB为。直径，ADLBCAB= AG即 AB

5、C为等腰三角形,.AD为BC边上的中线，即 B> DC 又 OA OB. OD ABC的中位线.OD/ AC DE切。于 D ODL DEDEL AC圆的切线的判定例 如图23 4, AB是。O的直径，AE平分/ BAF交。O于点E,过E作直线与AF垂直，交AF的延长线于点 D,且交AB的延长线于点 C求证：。迎。的切线.C £ I)图 234【思路探究】利用圆的切线的判定定理进行切线的证明，关键是找出定理的两个条件:过半径的外端；该直线与某一条半径所在的直线垂直.【自主解答】如图，连接OE. OA= OE / 1 = 7 2.又.AE平分/ BAF2=7 3.1=7 3,O曰

6、 AD-. ADL CDOEL CD. CD。相切于点E.II规律方法I1 .解答本题的关键是证明 OEL CD而已知 AD! CD故只需证明 O日AD2 .判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法(1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；(2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再 证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”.>9 It训博图 235(2013 洛阳模拟)如图 2 35,直角梯形 ABCD中，/ A= / B= 90° , AD/ B

7、C E 为AB上的点，DE平分/ADC CE平分/ BCD以AB为直径白圆与 CM怎样的位置关系？【解】 如题图，过E作EH CD于F,. DEW/ ADC CE平分/ BCD/ A= / B= 90 , 1 _.AE= EF= BE= 2AB以AB为直径的圆的圆心为 E,一一、 一，一 _ 1 _.EF是圆心E至ij CD的距离，且EF= 2ABi以AB为直径的圆与边CD是相切关系.圆的切线性质和判定定理的综合应用如图2 3 6, AB为。的直径，D是"BC的中点，DEL AC交AC的延长线于E,。的切线BF交AD的延长线于点 F.图 236求证：DE是。O的切线；（2）若DE=

8、3,。0的半径为5,求BF的长.【思路探究】（1）利用圆的切线判定定理证明.（2）作DGL AB于G 利用 AD与 AF邳解.【自主解答】（1）连接0DD是"BC中点.1=7 2.- 0A= 0D / 2=7 3,1=7 3,OD/ AE. DELAE,DEL OD即DE O 0的切线.(2)过 D 作 DGL AR/ 1=/ 2,DG= DE= 3.在 Rt0D*, 0G= "52- 32 = 4,AG= 4+5= 9.DGLAB FB±ABDG/ FB.AD。 AFBdgagBf= AB3 9BL 10'10BF= J.I规律方法I1 .解答本题（2）

9、的关键是作出辅助线 DGL AB G然后利用三角形相似求解.2 .对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线 是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果.变U涮tt已知如图237, A是。0上一点，半径 0C的延长线与过点 A的直线交于B点,_ 10C= BC AC= ,0B图 237求证：AB为。O的切线；(2)若/ACD= 45° , OG= 2,求弦 CD的长.【解】(1)证明：如图，连接 OA.OC= BC AC= OBOC= BC= CA= OA . ACCMl等边三角形，0= 60° , .B= 30° , ./OAB=

10、90 , .AB为O O的切线.(2)作 AEL CD于点 E, . /O= 60° , ./ D= 30° .又. / ACD= 45 , AC= OC= 2, . .在 RtACE中,CE= AE= ®在 RtADE中，Z D= 30 ,.AD= 2 ；-2,DE= 16. .CD= D& CE=巧+ .12.真即链接赏析腌链接(教材第32页习题2.3第3题)如图238, AB是0O的直径，BC是。O的 切线，切点为 B, OCFF行于弦 AD求证：DC是。O的切线.图 238（2013 ,江苏Wj考）图 239如图239,AB和BC分别与圆O相切于点

11、 D, C, AC经过圆心 O,且BC= 2OC求证:AG= 2AD.【命题意图】考查圆的切线性质、相似三角形的判定与性质.考查推理论证能力及分析问题、解决问题的能力.【证明】 连接OD因为AB和BC分别与圆O相切于点D, C,所以/ ADO Z ACB= 90 .又因为/ A= /A,所以 RtAADO" RtAACBBC AC所以OT ADAC又 BC= 2OC= 2OD故2AD务至双基达标4 £域生生主格达“双标” 奇.：1. AB是。的切线，能确定 CDLAB的条件是（）A. OC CDB. CD±切点C. OC CD且CD过切点 D . CD是。0的直径

12、【解析】 由切线的性质定理知，选项 C正确.【答案】 C2.图 23 10如图2310所示，直线l与。O相切，P是l上任一点，当 OPL l时，则()A. P不在O O上B. P在。上C. P/、可能是切点D. OP大于O O的半径【解析】由切线性质定理的推论 1,为切点，应选B.【答案】 B(3.如图2 311, AP为圆O的切线， ZAPB 于()A. 25°B, 20°C. 40° D , 35°【解析】 如图，连接OP( .AP为圆 O的切线，OPA= 90° , . Z A= 40° , ./ AOP= 90° 4

13、0° =1。 . OP= OB / OPB= 2X(180 -50 ./APB= / OPA / OP9 90° 65 二 【答案】 A4.如图2312, AB是半圆 O的直径 则点O到AC的距离OD=.经过圆心 O垂直于切线l的直线必过切点，故 P孑匆 2-3-11P为切点，OA交圆O于点B,若/ A= 40。，则50° .)=65° .= 25° .,ZBAC= 30° , BO半圆的切线， 且 BC= 473,图 23 12【解析】如图，BC为半圆的切线,.ABL BC又/ BAC= 30° , .C= 60°

14、; .设AC交半圆O于E,连接BE则BEL AC1./CBE= 30 ,EC= 2BC= 2gBE= bC eC =43 23 = 6,-1 .OD= 2BE= 3.【答案】31?后知能检测 溪下资得我译法里”者就” 界赁f一、选择题1 .下列说法：与圆有公共点的直线是圆的切线；垂直于圆的半径的直线是圆的切线；与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线.其中正确的有（）A.B.C.D .【解析】根据切线的定义及判定定理知正确.【答案】C2 . AB是O O的直径，BC是O O的切线，AC交O O于D, AB= 6, BC= 8,则BD等于（）A. 4 B,

15、 4.8C. 5.2 D. 6【解析】 AB是O O的直径，BC是O O的切线，.ABLCB BD±AC . AC=如1+ BC = 10,BD=AB- BC 6X8AC =布4.8.【答案】 C图 2313E、F、G点P是弧EG3.如图2313所示，O O是正 AB"勺内切圆，切点分别为上的任意一点，则/ EPF( )A. 120° B . 90C. 60° D . 30【解析】如图所示，连接 OE OF. OELAR OFXBQ ./ BEG=Z BFO= 90 ./ EOFZ ABG=180 .Z EOF 120 .1 Z EPF-Z EOF60

16、2【答案】 C4.如图2314所示，AC切。于D, AOW延长线交。于B,且AEL BC若AD： AC=1 ： 2,则 AO： OB=( )A. 2 ： 1 B , 1 ： 1C. 1 ： 2 D , 1 ： 1.5【解析】如图所示，连接 OD OC则OtX AC. AB BC / ODC / OB8 90°OB= OD OC= OC. .CD CBO，BC= DC里1AC 2'AD= DC一 1 一BC= 2AC又 OBL BC / A= 30 ,1八. OB= OD= ,AQAO 2Ob"彳.【答案】A二、填空题5.图 2315(2013 开封模拟）如图 231

17、5,在 RtABC, / ACB= 90 , AC= 5, BC= 12,分别与边AB AC相切，切点分别为 E、C则。O的半彳5是 【解析】 连接OE设OEf r,. OC= OE= r, BC= 12,则 BO= 12- r, AB= 122+52 =13,BO OE由 ABEa ABC>A 得奇 ac12- r135，解得 r=10.【答案】10y6. （2012 广东高考）图 23 16如图2 316所示，圆O的半径为1, A, B, C是圆周上的三点，满足/ ABC= 30° , 过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点 P,则P/A=.【解析】连接OA AP为O O的

18、切线， OAL AP又/ABC= 30 , .AO8 60 .在 RtAAOP, OA= 1, PA= OA tan 60=m.【答案】,-13三、解答题图 23 177.如图2317, AB是。的直径，/ BAC= 30° , M是OA上一点，过 M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点 E,直线CF交ENT点F,且/ ECM / E求证：CF是O O的切线.【证明】 如图，连接OC .AB是。的直径， ./ACB= 90 .川/ BAC= 30 , ./ABC= 60 ,又 OB= OC./ OCB= / OBC= 60 ,在 RtAEME,E+ / MBE= 90

19、6; ,E= 30° . / E= / ECF ./ ECM 30° ,，/ ECR / OCB= 90 .又 / ECR / OCB- / OCR 180 , OCR 90° . CF为。O的切线.8.如图2 318, AB是。O的直径，点=Z PCE w0jP在BA的延长线上，弦 CDL AB于E, / POC求证：PC是。0的切线;(2)若 OE： EA= 1 ： 2, PA= 6,求。0半径.【解】(1)证明：在4 OCP<CEP43,. / POC= / PCE / OPC= / CPE ./ OCP= / CEP CDLAB / CEP= 90

20、,OCP= 90 .又C点在圆上，PC是OO的切线.(2)法一 设 OE= x,则 EA= 2x, OC= OA= 3x. / COE= / AOC / OEC= / OCP= 90 ,八八OC OP .OCP AOPC 介已OE OC2_即(3x) =x(3x+ 6), x= 1,.OA= 3x=3,即圆的半径为3.法二由知PC是。O的切线,又CDL OP由射影定理知 OC= OEOP以下同法一.9.如图2319, AD是。的直径，BC切。于点D, AB AC与圆分别相交于点 E、F.图 23 19(1) AE- AB与AF- AC有何关系？请给予证明；(2)在图中，如果把直线 BC向上或向下平移，得到图(1)或图(2),在此条件下，