直线和圆基础习题附答案(经典题).

1、【熟悉知识网络】综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力【典型例题】 例 1（ 1）直线 x y=1 与圆 x2 y2 2ay=0(a 0)没有公共点，则 a 的取值范围是（）A（0， 2 1）B（ 2 1， 2 1）C（ 2 1，2 1）D（ 0， 21（ 2）圆（ x 1)2 (y3 )2=1 的切线方程中有一个是（ ）A x y=0B x y=0C x=0D y=0（ 3） “a=b”是 “直线 yx 2与圆( x a)2( y b) 22相切 ”的 （）A充分不必要条件B 必要不充分条件C充分必

2、要条件D 既不充分又不必要条件（ 4）已知直线5x12y a=0 与圆 x2 y2 2x=0 相切，则 a 的值为2 2（ 5）过点（ 1， 2 ）的直线 l 将圆（ x 2) y =4 分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线 l 的斜率 k= 例 2 设圆上点A （ 2， 3）关于直线相交的弦长为22 ，求圆的方程x 2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x y 1=0例 3 已知直角坐标平面上点 Q（ 2，0）和圆 C： x2y2=1,动点 M 到圆 C 的切线长与 |MQ| 的比等于 （ 0）求动点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 例 4 已知与曲线 C： x2 y2 2x2y 1

3、=0 相切的直线l 叫 x 轴， y 轴于 A ，B 两点，|OA|=a,|OB|=b(a 2,b 2)(1)求证：（ a 2)(b 2)=2 ；(2)求线段 AB 中点的轨迹方程；（ 3）求 AOB 面积的最小值【课内练习】1 过坐标原点且与圆x2 y2 4x2y 5 =0 相切的直线的方程为（）211A y= 3x或 y= 3 xB y=3x或 y= 3 x11Cy= 3x 或 y= 3 xD y=3x或 y= 3x2 圆 (x 2)2 y2=5 关于原点 (0,0)对称的圆的方程为()A (x 2)2 y2=5B x2 (y 2)2=5C (x 2)2 ( y2) 2=5D x2 (y

4、2)2=53 对曲线 |x| |y|=1 围成的图形，下列叙述不正确的是（ ）A 关于 x 轴对称B关于 y 轴对称C关于原点轴对称D关于 y=x 轴对称4 直线 l1： y=kx 1与圆 x2y2 kx y 4=0 的两个交点关于直线l 2： yx=0 对称，那么这两个交点中有一个是（ ）A（ 1， 2）B（ 1， 2）C（ 3， 2）D（ 2， 3）5若直线 y=kx 2 与圆（ x 2)2 (y 3)2=1 有两个不同的交点， 则 k 的取值范围是6已知直线 ax by c 0 与圆 O：x2 y2 1 相交于 A 、B 两点，且 |AB| 3，则OA OB.7 直线 l1： y= 2x

5、 4 关于点 M （ 2， 3）的对称直线方程是8 求直线 l 1： xy 4=0 关于直线 l： 4y 3x 1=0 对称的直线 l2 的方程9 已知圆 C： x2y2 2x 4y 3=0（ 1）若 C 的切线在 x 轴， y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；（ 2）从圆 C 外一点 P（x1,y1) 向圆引一条切线，切点为M ，O 为原点，且有 |PM|=|PO|，求使 |PM| 最小的 P 点的坐标10 由动点 P 引圆 x2 y2=10 的两条切线PA， PB，直线 PA， PB 的斜率分别为k1,k2(1)若 k1 k2 k1k2= 1,求动点 P 的轨迹方程；（ 2）若点 P

6、 在直线 xy=m 上，且 PA PB，求实数m 的取值范围115 直线与圆的综合应用A 组1 设直线过点（ 0，a），其斜率为 1，且与圆 x2 y2=2 相切，则 a 的值为（ ）A± 2B±2C±2 2D ±4222 将直线 2x y 0，沿 x 轴向左平移1 个单位，所得直线与圆相切，x +y +2x 4y=0则实数 的值为A3或7B2或8C0或 10D1 或 113 从原点向圆x2 y2 12y 27=0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )A B 2C 4D 64若三点 A（ 2，2），B（a,0)，C（ 0，b)（ a，b 均不

7、为 0）共线，则11 的值等于5 设直线 ax y 3=0 与圆（ x1)2 (y 2)2 =4 有两个不同的交点abA ， B，且弦 AB 的长为2 3 ，则 a 等于76 光线经过点A（1，4），经直线 l ：x y1=0 反射，反射线经过点B（ 1， 1）（ 1）求入射线所在的方程；（ 2）求反射点的坐标7在 ABC y=0, 若 B中，BC 边上的高所在的直线方程为点的坐标为（ 1， 2），求点 A 和点x 2y 1=0,A C 的坐标的平分线所在直线方程为yBAOxC8 过圆 O： x2 y2=4 与 y 轴正半轴的交点 A 作这个圆的切线 l ， M 为 l 上任意一点，过 M作圆

8、 O 的另一条切线，切点为Q，当点 M 在直线 l 上移动时，求 MAQ 垂心 H 的轨迹方程B 组1 已知两定点A （ 2， 0）， B（ 1， 0），如果动点P 满足 |PA|=2|PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于（）A B 4C8D 92 和 x 轴相切，且与圆x2 y2 =1 外切的圆的圆心的轨迹方程是（）A x2=2y 1B x2= 2y 1C x2=2y 1D x2=2|y| 13 设直线的方程是AxBy0 ，从 1， 2， 3， 4， 5 这五个数中每次取两个不同的数作为A 、 B 的值，则所得不同直线的条数是（）A 20B 19C 18D164 设直线 2x 3

9、y10 和圆 x2y22x 3 0 相交于点 A、 B，则弦 AB 的垂直平分线方程是.22(y sin )，直线 l： y=kx，下面四个命题5已知圆 M ：（ x cos )=1A 对任意实数 k 和 ，直线 l 和圆 M 都相切；B 对任意实数 k 和 ，直线 l 和圆 M 有公共点；C对任意实数 ，必存在实数 k，使得直线 l 和圆 M 相切；D 对任意实数 k，必存在实数，使得直线 l 和圆 M 相切其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号） 6已知点 A ，B 的坐标为（3， 0），（3， 0），C 为线段 AB 上的任意一点， P，Q 是分别以 AC ， BC 为直径的两圆O1，

10、 O2 的外公切线的切点，求PQ 中点的轨迹方程7已知 ABC 的顶点 A （ 1， 4），且 B 和 C 的平分线分别为l BT ： y 1=0,l CK :x y 1=0, 求 BC 边所在直线的方程8设 a,b,c,都是整数，过圆x2 y2=（ 3a 1)2 外一点 P（b3b,c3 c)向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（纵横坐标均为整数的点）115 直线与圆的综合应用【典型例题】例 1 （ 1）A 提示：用点到直线的距离公式（ 2） C提示：依据圆心和半径判断（ 3） A 提示：将直线与圆相切转化成关于ab 的等量关系（ 4） 18 或 8提示：用点到直线

11、的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况（ 5）2提示：过圆心（ 2， 0）与点（ 1，2 ）的直线 m 的斜率是2 ，要使劣弧所2对圆心角最小，只需直线l 与直线 m 垂直2 2 2例 2、设圆的方程为（ xa) (y b) =r , 点 A （ 2， 3）关于直线 x 2y=0 的对称点仍在圆上，说明圆心在直线 x2y=0 上， a 2b=0，又（ 2 a)2(3 b)2 =r2,而圆与直线 x y 1=0相交的弦长为22 ，故 r 2 ( ab1 )2=2,依据上述方程解得：2b1=3b2= 7a1=6或a2=14r 12=52r22=244所求圆的方程为（x6)2222 (y 3)

12、 =52，或（ x 14) (y 7)=224例3、设切点为N， 则 |MN| 2=|MO| 2 |ON|2=|MO| 2 1 ， 设M （ x,y), 则222)2222 y22xy 1( xy，整理得（ 1）（x)4x (14） =05当 =1时，表示直线x=；当 1时，方程化为 ( x222213222,0) ，半径为1322)y(22 ，它表示圆心在( 21|21|11)的一个圆例 4、（ 1）设出直线方程的截距式，用点到直线的距离等于1，化减即得；（ 2）设 AB 中点 M(x,y), 则 a=2x,b=2y, 代入（ a 2)(b 2)=2 ，得（ x 1)(y 1)= 1(x 1

13、,y21)；(3) 由（ a 2)(b 2)=2得 ab 2=2(ab) 4ab ,解得 ab 22 （ ab 2 2不合，舍去），当且仅当 a=b 时， ab 取最小值642 ， AOB 面积的最小值是322【课内练习】1 A 提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率2 D提示：求圆心关于原点的对称点3 C.提示：画张图看，或考虑有关字母替代规律4 A 提示：圆心在直线l 2 上45 0 k3 提示：直接用点到直线的距离公式或用 法16提示：求弦所对圆心角27 2x y 10=0提示：所求直线上任意一点（x,y) 关于（ 2， 3）的对称点（4 x,6 y)在已知直线上82x 11y 16=0

14、提示：求出两直线的交点，再求一个特殊点关于l 的对称点，用两点式写 l2 的方程；或直接设l 2 上的任意一点，求其关于l 的对称点，对称点在直线l1 上求对称点时注意，一是垂直，二是平分9（ 1）提示：切线在x 轴， y 轴上的截距的绝对值相等，切线的斜率是±1分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或 法，解得切线的方程为：x y3=0, x y 1=0, x y 5=0, x y1=0 (2) 将圆的方程化成标准式（x 1)2 (y2) 2=2，圆心 C（ 1， 2），半径 r=2，切线 PM 与 CM222垂直， |PM|=|PC| |CM| ，又 |PM|=|PO

15、|，坐标代入化简得2x1 4y1 3=0|PM|最小时即 |PO|最小，而 |PO|最小即 P 点到直线2x1 4y13=0 的距离，即 35 10x12y129P 坐标为（3，3）从而解方程组20 ，得满足条件的点1052 x14y130| kx0y0|，10（ 1）由题意设 P（ x0,y0)在圆外 ,切线 l ： y y0=k(x x0)，110k 2（ x02 10)k 22x0 ·y0 k y02 10=0由 k1 k2k1k2=1 得点 P 的轨迹方程是 xy±2 5 =0y0210（ 2） P（ x0,y0)在直线 x y=m 上， y0=m x0,又 PA

16、PB， k1k2=1,21,即：x010x02 y02=20,将 y0=m x0 代入化简得 ,2x 02 2mx 0 m2 20=0 0, 2 10 m210 ,又 x02 y 2 10 恒成立， m 2,或 m 250 m 的取值范围是 2 10 ， 2 5 （ 2 5 ， 2 10 115 直线与圆的综合应用A 组1 B 提示：用点到直线的距离公式或用 法2 A 提示：先求出向左平移后直线的方程，再用点到直线的距离公式3 B 提示：考虑切线的斜率及劣弧所对圆心角12a 2b=ab，两边同除以ab 即可4 2 提示：由三点共线得两两连线斜率相等，5 0提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解

17、216（ 1）入射线所在直线的方程是：5x 4y 2=0；（ 2）反射点（ 3 ， 3 ）提示：用入射角等于反射角原理7 点 A 既在 BC 边上的高所在的直线上，又在A 的平分线所在直线上，由x 2y 1= 0y= 0得 A （ 1，0） kAB =1又 A 的平分线所在直线方程为y=0 kAC = 1 AC 边所在的直线方程为y= （ x1）又 kBC = 2, BC 边所在的直线方程为y 2= 2（ x 1）联列得 C 的坐标为（ 5， 6）8 设所求轨迹上的任意一点H （ x,y) ，圆上的切点Q（ x0,y0) QH l,AH MQ, AH OQ,AQ QH 又 |OA|=|OQ|

18、，四边形AOQH 为菱形 x0=x,y 0=y 2点 Q（ x0,y0)在圆上， x02 y02=4 H 点的轨迹方程是：x2 （ y 2） 2=4（ x 0)B 组1B 提示：直接将动点坐标代如等式，求得点的轨迹是一个以（2， 0）为圆心， 2 为半径的圆2 D提示：设圆心（x,y) ，则x2y2| y | 13 C提示：考虑斜率不相等的情况4 3x2y30 提示：弦的垂直平分线过圆心| k cossin |1 k 2 |sin() |5 B，D 提示： 圆心到直线的距离 dk 2=|sin( ）11 k 2| 16作 MC AB 交 PQ 于 M，则 MC 是两圆的公切线 |MC|=|MQ|=|MP| ，M 为 PQ 的中点 设M （ x,y), 则点 C， O1， O2 的坐标分别为（ x,0),(3 x,0),(3 x,0)22连 O1M ，O2M ，由平面几何知识知O1MO 2=90 ° |O1M| 2 |O2M| 2=|O1O2|2，代入坐标化简得： x2 4y2 =9(3 x 3)7 BT,CK 分别是 B 和 C 的平分线，点A 关于 BT,CK 的对称点 A， A必