河南省中考数学专题复习专题四与圆有关的计算训练12281139

1、专题四与圆有关的计算类型一与切线有关的简单证明与计算iffi±（2018 昆明）如图，AB是。0的直径,ED切。0于点C,AD交。0于点F, AC平分/ BAD连接BF.(1)求证：ADL ED(2)若 CD= 4, AF= 2,求。0 的半径.幺【分析】（1）连接OC先证明OC AD然后利用切线的性质得OCL DE从而得到 ADL ED (2)OC交BF于CDFHK/矩形得至U FH= CD /CHF= 90°AB,从而得到。0的半径.H,如解图，利用圆周角定理得到/AFB= 90。，再证明四边形用垂径定理得到 BH= FH,在RtABF中，利用勾股定理计算出【自主解答】

2、（1）证明：连接OC如解图,. AC 平分/ BAD1 = /2, .OA= OCZ 1 = Z 3,，/2=/3, .OC/ AD ED切。于点C, OCLDE .ADLED例1题解图（2）解：。仅 BF于点H,如解图,.AB为直径,，/AFB= 90° ,易得四边形CDFHM巨形，FHk CD= 4, / CHF= 90° , .OHL BF,.BH= FH= 4, .BF= 8,在 RtABF 中，AB=4AF+ BF ="+82 =217, .oo的半径为#7.1. (2018 河南说明与检测)如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上任一点.(1)若/BAG

3、= 30° ,过点 C作半圆 O的切线交直线 AB于点P.求证： PB隼AAOQ (2)若AB= 6,过点C作AB的平行线交半圆 。于点D,当以点A、O C D为顶点的四边形为菱形时，求 BC的长.2. (2018 河南说明与检测)如图，在。0中，/AOB= 120° ,点C为AB的中点，延长 OC到点D,使CD=OC AB交 OC点 E.(1)求证：DA是。0的切线；(2)若OA= 6,求弦AB的长.交BC于3. (2018 河南说明与检测)如图， ABC中，/ACB= 90° , D为AB上一点，以CD为直径的。0点E,连接AE交CD于点P,交。0于点F, Z

4、CA(E= / ADF.(1)判断AB与。0的位置关系，并说明理由；(2)若 PF： PC= 1 : 2, AF= 5,求 CP的长.4. (2018 金华)如图，在 RtABC中，点O在斜边AB上，以。为圆心，OB为半径作圆，分别与BC AB相交于点 D, E,连接AD.已知/CA年/B.(1)求证：AD是。0的切线;八一_1(2)若 BC= 8, tan B =2,求。0 的半径.5. (2018 玉林)如图，在 ABC中，以 AB为直径作。0 交BC于点D, / DAC= / B.(1)求证：AC是。0的切线；1(2)点E是AB上一点，若/ BC(E= /B, tan/B= 万，00的半

5、径是4,求EC的长.6. (2018-天津)已知AB是。0的直径，弦 CD与AB相交，Z BAC= 38° .(I)如图，若 D为AM中点，求/ ABC和/ABD的大小；(阴如图，过点 D作。0的切线，与 AB的延长线交于点 巳 若DP/ AC求/OCD的大小.图图7. (2018信阳一模)如图，AB是。0的弦，D为半径 OA的中点，过 D作CDL OA交弦AB于点E,交。0于点F,且CE= CB.(1)求证：BC是。0的切线；(2)连接AF, BF,求/ ABF的度数.8. （2018 河南说明与检测）如图，AB是。0的直径，C是AB勺中点，00的切线BD交AC的延长线于点 D,E

6、是OB的中点，CE的延长线交切线 BD于点F, AF交。0于点H,连接BH.(1)求证：AC= CD(2)若OB= 2,求BH的长.-ft)类型二 与四边形判定结合的证明与计算商庄大（2018 河南）如图，AB是。0的直径，DOLAB于点0,连接DA交。0于点C,过点C作。0的切线交D0于点E,连接BC交DO于点F.求证：CE= EF;（2）连接AF并延长，交。0于点G.填空：当/D的度数为 时，四边形ECFG为菱形；当/D的度数为 时，四边形EC0W正方形.例2题图【分析】(1)连接OC如解图，利用切线的性质得/ 1 + 74=90° ,再利用等腰三角形的性质和互余证明Z1 = Z

7、2,然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；(2)要证明四边形 ECF劭菱形，可知 CEF为等边三角形，一/ AC由90° , Z CFE= 60° ,可求;.四边形 ECO更正方形，/ CO& 90° , /COF= 45° ,则/ COA= 45° ,根据 ACO 是等腰三角形， 在RtAOD中，已知/ DAO则/D 可求.【自主解答】(1)证明：连接OC如解图，,CE为切线，OCL CE，/OCE= 90° ,即/1 + /4=90° , . DOLAB, .3+Z B= 90° , /2=/3,，/2

8、+/B= 90° ,又。氏 OC4=/B, .1 = /2, ，CE= FE;(2)解：当/ D= 30°时，四边形 ECF劭菱形，【解法提示】二四边形ECF劭菱形，.CE= CF= FG= EG由(1)知 CE= EF, .ECF是等边三角形，/CFD= 60° , . /ACB= 90° , . /DCF= 90° , ./ D= 90° -60° =30° .当/D-22.5°时，四边形 ECOG正方形.【解法提示】例2题解图四边形ECO劭正方形，.CO= CE ./ OCE= 90° ,

9、.COE是等腰直角三角形，/COE= 45° , .DOL ABZ DOA= 90° ,，COA= /DOAt /COE= 45° , .OA= OC /CA乐 67.5 ° , ./ D= 90° -62.5 ° = 22.51. (2016河南)如图，在 RtABC中，/ABC= 90° ,点 M是AC的中点，以 AB为直径作。O分别交AC,BIW点 D, E.(1)求证：MD= ME(2)填空：若 AB= 6,当 AD= 2DM时,DE=;连接OD OE,当/A的度数为 时，四边形 ODME1菱形.2. (2015 河

10、南)如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点 A B重合的一个动点，延长 BP到点C,使PC= PB, D是AC的中点，连接 PR PO.求证： CDP POB (2)填空:若AB= 4,则四边形AOPD勺最大面积为连接OD当/ PBA的度数为时时，四边形BPDH菱形.3. (2014河南)如图，CD是。0的直径，且 CD= 2 cm,点P为CD的延长线上一点，过点 P作。0的切线PA, PB,切点分别为点 A, B.(1)连接AC若Z APO= 30° ,试证明 ACP是等腰三角形;(2)填空：当DP=cm时，四边形 AOBD菱形；当DP=cm时，四边形 AOB厚正方形.4.

11、(2018 驻马店一模)如图，AC是。0的直径，点P在线段AC的延长线上，且 PC= CQ点B在。0上,且/CAB= 30° .(1)求证：PB是。0的切线；(2)若D为圆O上任一动点，00 的半径为5 cm时，当弧CD长为 时，四边形 ADP斯菱形；当弧CD长为 时，四边形ADC斯矩形.5. (2018 濮阳一模)如图，已知 ABC内接于。O, AB是直径，OD/ AC AD= OC.(1)求证：四边形 OCA/平行四边形；(2)探究：当/B=°时，四边形 OCA星菱形；当/ B满足什么条件时，AD与。0相切？请说明理由.6. (2017 河南模拟)已知：如图，在平行四边

12、形ABCM, 00是经过A、B、C三点的圆，CD与。0相切于点C,点P是BC上的一个动点(点P不与 B C点重合)，连接PA PB PC.(1)求证：CA= CB;(2)当点P满足 时，4CP率ABC请说明理由;当/ABC的度数为 时，四边形ABCD菱形.7. (2018 河南说明与检测)如图， ABC内接于圆O,且AB= AC.延长BC到点D,使CD= CA连接AD交圆O于点E. 求证： AB珞 ACDE.(2)填空：当/ABC的度数为 时，四边形AOCE菱形;若AE= 4 AB= 2通 则DE的长为.8. (2018 河南说明与检测)如图，半圆O的直径为AB,点M为半圆上一动点(不与点A,

13、 B重合)，点N为AM勺中点，NDLAB于点D,过点M的切线交DN的延长线于点 C.08(1)若 MC/ AB,求证：AA CN;填空：四边形 OMCD1何种特殊的四边形？ .(2)填空：当/ ANM= 时，四边形 ANMO菱形.9. （2018 河南说明与检测）如图，在 RtABC中，/ABC= 90° ,以 AB为直径的。0 与AC边交于点 D, 过点D作。0的切线交BC于点E,连接OE.(1)求证：OE AD(2)填空：/BAC=°时，四边形 ODEB1正方形;当/BAC=° 时, AD= 3DE.10. (2017 濮阳一模)如图，AB是。0的直径，点P是

14、AB下方的半圆上不与点 A, B重合的一个动点，点C为AP中点，延长 CO交。0于点D,连接AD过点D作。0的切线交PB的延长线于点 E,连CE交AB于点F,连接DF.(1)求证： DA8 AECP (2)填空:四边形ACE虚何种特殊的四边形?在点P运动过程中，线段 DR AP的数量关系是11 .如图，已知。A 的半径为4, EC是。A的直径，点 B是。A的切线CB上的一个动点，连接 AB交。A于点D,弦EF平行于AB,连接DF, AF.(1)试判断直线BF与。A的位置关系，并说明理由；(2)填空：当/ CAB=时，四边形 ADFE菱形;当EF=时，四边形 ACBFME方形.12 . (201

15、8 河南说明与检测)如图，在 ABC中，AB= AC以AB为直径的。0交BC于点D,交AC于点E,过点D作DF!AC于点F.(1)求证：DF为。0的切线；(2)若过点A且与BC平行的直线交 BE延长线于点G,连接CG.设。0的半径为5.当CF=时，四边形 ABCG菱形；当BC= 4，5时，四边形ABCG勺面积是.参考答案类型一针对训练1. (1)证明：: AB是。0的直径， /AC乐90° . /BAG= 30° ,，/ABC= 60° . . OB= OC OBC是等边三角形.OC= BC, /OBC= /BOC= 60° .，/AOC= /PBC=

16、120° . CP是。0 的切线，OCLCP. /OCR 90° ./ACG Z PCB.在AAOC和PBC中，/ AOC= / PBCOC= BC, . .PBC AAOC./ AOC= / PCB(2)解：如解图，二四边形 AOCM菱形，.OA= AA C况 OC.连接OD则OA= O&OC.1.人。口和 coco是等边三角形. /AO及 /CO及 60° . ./ BOC= 60° .60 71 X 3 BC勺长为痴=兀180如解图，同理，/ BO及120° ,120兀 X3BC勺长为一而一=2兀.180综上可知，BC勺长为兀或2

17、7t.图图第1题解图2. (1)证明：如解图，连接 AC.-. C是AB的中点,ac> BC第2题解图 . Z AOB= 120° , ./ AOG= / BO及 60° . .OA= OC.AOC是等边三角形.，/OAC= /OCA= 60° , AC= OC.,.CD= OC .CD= AC., 一 1 ，/DAC= /D= -ZOCA= 30 .2，/DAO= /OAG /DAC= 90° .,OA是。0的半径，.DA是。0的切线.(2)解：OA= OC /AOC= /BOC= 60° ,.AE BE, OaAB.3在 RtAOE中

18、，AE= OA- sin 60= 6X22-=33.AB= 2AE=6 3.3. (1)证明：AB与。0相切，理由如下:. /AC乐90° , /CA4 /AEC= 90° , / CAE= / ADF/ AEC= / FDC /ADR /FDC= 90° ,即/ADC= 90° . CDL AB.又CD为。0的直径，. AB与。0相切.第3题解图(2)解：连接FC, DE如解图， .CD为。0 的直径，DEC= 90° . /ACB= 90° , .DE/ AC，/CAE= Z DEA / DEA= / DCF/ CAE= / DC

19、F 即 / CAP= / FCP / CPA= / FPC .CAP- AFCPPC PA 一=一,PF PCPPF 1PAT P(T 2'53'.PA= 2PC= 4PF,1PF= -AF= 310 .C之 2PF= y.4. (1)证明：连接OD .OB= OD ./ 3=/ B,. / B= / 1,Z 1 = Z 3,在 RtAACD, /1 + /2=90°.-7 4=180° -(Z2+Z3)=90第4题解图，ODL AD OD为。0的半径， AD为。0的切线；(2)解：设。0的半径为r,在 RtABC中，AC= BC- tan B = 4, 根

20、据勾股定理得：AB= 42+82=4 5, .OA= 4 5-r ,1在 RtACD中，tan/1= tan B =,.CD=AC- tan / 1= 2,根据勾股定理得： aD=AC?+cD= 16+4= 20,在 RtADO中,OA=O0+Aj,即(4>/5r) 2=r2+20, 解得：r=专.5. (1)证明：.AB 是直径，ADB= 90° , /B+ /BAD= 90° , . /DAC= /B,Z DA(CF Z BAD= 90° ,，/BAC= 90° , .BAL AC .AC是。0的切线.(2)解：. / BC2 / B, .EC

21、= EB,设 EC= EB= x,AC 1在 RtABC中，tan/B= AB= 8,AB 2 .AC= 4,在 RtAEC中， EC2=AE2+AC2,.x2=(8 -x)2 + 42,解得 x=5,.CE= 5.6. 解：(I) .AB 是。0 的直径，弦 Cg AB相交，/ BAC= 38° ,，/ACB= 90° , / ABC= 52° ,D 为AB勺中点，Z AOB= 180° , /AO及90° , /AB氏45° .(n)连接OD如解图，.DP切。0于点D, ODL DP 即/ODP= 90° ,由 DP/

22、AG 又. / BAG= 38° ,，/P= /BAG= 38° , / AOD>A ODP的一个外角， ./AOD= / P+ Z ODP= 128° ,，/ACD= 64° ,. OG= OA /BAG= 38° ,，/OCA= /BAG= 38° ,，/OCD= /ACD- /OCA= 64° -38° =26第6题解图7. (1)证明：连接 OB如解图， . CE CB, / CB2 /CEB. CDL OA /DA4 /AED= 90° ,又. / CEB= / AED /DA4 Z CB

23、E= 90° , .OA= OB/ OAB= / OBA /OBAF / CBE= 90° ,即 / OBC= 90° , OBLBC .OB 是。0 的半径， .BC是。0的切线；(2)解：连接OF,交AB于点H,如解图，DF± OA AD= OD.FA= FO,又,。已OA .OAF为等边三角形，/AOF= 60° ,1。，/AB已-Z AOR 30第7题解图8. (1)证明：连接OC如解图,第8题解图 ,C是AB勺中点，AB是。0的直径， COL AB.BD是。0的切线， BDL AB. .OC/ BD .OA= OB，AC= CD.(2

24、)解：是OB的中点， .O9 BE.在 4COE 和 FBE 中，/ CEO= /FEB OE= BE,ZCOE= / FBE.COE2 FBE.CO= BF, OB= 2,BF= 2,AF= AB"+ BF = 24，. AB是直径，BHLAF,.ABQ ABHFAB AF,=BH BF即 AB- BF= AF - BHAB- BF 4X2 4 5BH= -=-.AF 2 .55类型二针对训练1. 证明：/ ABG=9(1 , AM= MQ,-，BM= AM= MQ Z A= Z ABM 四边形ABE迎圆内接四边形， AD4 / AB9180 ,又/AD 4/MDB180 ,同理证

25、明：Z ME9/A, .Z MDE=Z MEQ MD= ME.(2)解：由可知,Z A=/ MD), DE MD.DE AR,- AB MA. AD= 2DM DM： M/1 ： 3,1 1.Dg -AB=-X6= 2. 33故答案为2.第1题解图当/A= 60°时，四边形 ODM层菱形.理由如下：如解图，.四边形 ODM层菱形，. OD= O£D阵MG. D阵 ME.DME是等边三角形，./ EDM=60° , v DE/ AB.,Z A=Z MD&60° .2. (1)证明：: PC= PB, D是AC的中点，DP/ AR1.DR= -AB,

26、 Z CPD= Z PBQ1 .BO= -AB, .DF BQ在ACDP与POB中，DF BOZ CP& Z PBO,PC= PB.-.CDIAPOB(SAS)(2)4【解法提示】当四边形AOP明ACM上的高等于半径时有最大面积，= AB= 4,O”2, 最大面 积为2X2= 4;第2题解图600【解法提示】 连接OD如解图，DP/ AR DP= BO, 四边形BPDO1平行四边形， 四边形 BPDO1菱形，. PB= BO . P0= BQPB= BO= PO .PBO是等边三角形，/ PBA的度数为60° .第3题解图3. (1)证明：连接OA如解图，.PA是。0 的切线

27、，OALPA在 RtAOP中，/AOP= 90° -Z APO= 90° -30° =60° ,，/ACP= 30° , . /APO= 30° ,，/ACP= Z APO AG= AP, .ACP是等腰三角形.(2)解：DP= 1 ,理由如下： 四边形AOB比菱形，.OA= AD- OD，/AOP= 60° , .OP= 2OA DP= OD.，DP= 1 ,dp=i,理由如下： .四边形 AOB沈正方形，/ AOP= 45° , . OA= PA= 1 , OP=啦，.DP= OP- 1 , DP=近1.4.

28、(1)证明：如解图，连接 OB BC. .OA= OB，/OAB= /OBA= 30° ,，/COB= /OABF /OBA= 60° ,.OB= OC .OBC是等边三角形，BC= OCPC= OQ.BC= Ca CP,，/PBO= 90° , OBLPB, .OB 是。0 的半径, .PB是。0的切线.图第4题解图5兀(2)解：C而长为 cm时，四边形ADPB是菱形.理由如下: 3如解图，四边形 ADPB是菱形，Z CAB= 30° , ./DAC= 30° ,，/COD= 2ZCAD= 60° ,x-x, t,、, 60 .兀

29、55 兀CD勺长为 =cm.Io0 3107t当弧CD的长为-cm时,3四边形ADC时矩形，理由如下：如解图，当四边形 ADC觉矩形时，易知/ COD= 120° ,5. (1)证明：: OA= OC AD= OCCD勺长为120 兀 518010兀3cm.OA= AD,/ AOD= / ADO . OD/ AC/ OAC= / AOD/ OAC= / OCA= / AOD= / ADO / AOe / OAD .OC/ AD 四边形OCAD1平行四边形；(2)解：30【解法提示】二四边形OCAD1菱形，.OG= AC,又,.OG= OA.OG= OA= AG, ./AOG= 60&

30、#176; ,，一 1， 一 。，/B=/ AOG= 30 ;2，当/B= 45°时，AD与。0相切，理由如下：.AD与。0相切，/OAD= 90° ,. AD/ OG./AOG= 90° ,，一 1， 一 。，/B= 2/ AOG= 45 .6. (1)证明：连接GO并延长交AB于点E,如解图, GD与。0相切于点G, GEL GD 四边形ABG的平行四边形， .AB/ GD GEL AB,.AE= BE,BG= AG;(2)解：当 AG= AP时，AGP率AABG.理由如下：: AG= BG AG= AP, ./ABG= /BAG /APG= Z AGP .

31、/ABG= / APG,/ BAG= / AGP/ APG= / ABG在 GPAA ABG 中， / AGP= / GAB,AG= GA .GP率 AABG图第6题解图当/ABC的度数为60°时，四边形 ABC比菱形.理由如下: 如解图，连接 OC OB . /ABC= 60° ,，/BCD= 120° ,.CD与。0相切于点 C, ./ OCD= 90° , ./ BCO= 30° ,.OB= OC，/OBC= 30° ,，/ABO= 30° , BO垂直平分 AC,.AB= BC, 四边形ABC虚菱形.7. (1)证明

32、：AB= AC, CD=CA/ ABC= / ACB AB= CD. 四边形ABCE圆内接四边形， /ABO /AEC= 180° , / BA曰 Z BCE= 180° . /CEDF /AEC= 180° , / ECDF Z BCE= 180° ,/ CED= / ABC / ECD= / BAE. ./ CED= Z ACB. / ACB= / AEB ./ CED= Z AEB.在 AABEA CDE中， / CED= / AEB/ DCE= / BAE. .AB* ACDE.(2)解：60;8. 解：（1）连接ON如解图.点N为AM勺中点，. AN= MN . OA= OM ON= ON.AO隆AMON.OAN= / OMN.CM为。0 的切线，CMOM.第8题解图 .Z CMN- /OMN90° , . NDL AB /NADF /AN氏 90° , ./AND= Z CMN MCI AR CDL AR MCL ND 即/ NCM= 90° .又A* NM / ADN= 90° , . .AN国ANMC AD= CN.矩形.(2)120.9. (1)证明：连接OD.DE是。0的切线，