1-7-1(必做部分）

1、第1讲立体几何中的向量方法1(2014·新课标全国卷)如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.(1)证明：ACAB1；(2)若ACAB1，CBB160°，ABBC，求二面角A­A1B1­C1的余弦值(1)证明连接BC1，交B1C于点O，连接AO.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且O为B1C及BC1的中点又ABB1C，ABBOB，所以B1C平面ABO.由于AO平面ABO，故B1CAO.又B1OCO，故ACAB1.(2)解因为ACAB1，且O为B1C的中点，所以AOCO.又因为ABBC，所以BOABOC

2、.故OAOB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为CBB160°，所以CBB1为等边三角形又ABBC，OCOA，则A，B(1,0,0)，B1，C.，.设n(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则即所以可取n(1，)设m是平面A1B1C1的法向量，则同理可取m(1，)则cosn，m.所以二面角A­A1B1­C1的余弦值为.2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160°.(1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B

3、1B，ABCB2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值(1)证明如图，取AB的中点O，连接CO，A1O，A1B.因为CACB，所以COAB，由于AA1AB，BAA160°，故AA1B为等边三角形，所以ABA1O，因为OCOA1O，所以AB平面A1OC，又AC平面A1OC，故ABA1C.(2)解由(1)知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直以O为原点，OA所在直线为x轴，OA1所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立如图直角坐标系，则A(1,0,0)，A1(0，0)，B(1,0,0)，C(0,

4、0，)，B1(2，0)，则(1,0，)，(1，0)，(0，)，设n(x，y，z)为平面BB1C1C的法向量，则即可取n(，1，1)故cosn，.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.(1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值(1)证明连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点又D是AB的中点，连接DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)解由ACCBAB得，ACBC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，

5、的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量，则即可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值为.4(2013·陕西卷)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1.(1)证明：A1C平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的

6、夹角的大小(1)证明由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图ABAA1，OAOBOA11，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，A1(0,0,1)由，易得B1(1,1,1)(1,0，1)，(0，2,0)，(1,0,1)·0，·0，A1CBD，A1CBB1，又BDBB1B，A1C平面BB1D1D.(2)解设平面OCB1的法向量n(x，y，z)(1,0,0)，(1,1,1)，取n(0,1，1)，由(1)知，(1,0，1)是平面BB1D1D的法向量，cos |cosn，|.又0，.5(2013·辽宁卷)如图，

7、AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)若AB2，AC1，PA1，求二面角C­PB­A的余弦值(1)证明由AB是圆的直径，得ACBC，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.又BC平面PBC，所以平面PBC平面PAC.(2)解过C作CMAP，则CM平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系在RtABC中，因为AB2，AC1，所以BC.因为PA1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)

8、故(，0,0)，(0,1,1)设平面BCP的法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以不妨令y11，则n1(0,1，1)因为(0,0,1)，(，1,0)，设平面ABP的法向量为n2(x2，y2，z2)，则所以不妨令x21，则n2(1，0)于是cosn1，n2.所以由题意可知二面角C­PB­A的余弦值为.6(2013·天津卷)如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点(1)证明B1C1CE；(2)求二面角B1CEC1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长解如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0，0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)(1)证明易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是·0，所以B1C1CE.(2)(1，2，1)设平面B1CE的法向量m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一个法向量为m(3，2,1)由(1)，B1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故(1,0，1)为平面CEC1的一个法