圆锥曲线与方程-知识点详细教学内容

1、锥 曲 线 与 方 程 -知 识点详细椭圆1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PFi | PF2 | 2a IF1F2),这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距 离叫作椭圆的焦距。.注意：若(PFi|PF2|"1F2),则动点P的轨迹为线段F1F2；若(PFi|PF2I"1F2),则动点P的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程221) .当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程： 三、1 (a b 0),其中c2 a2 b2;a b222) .当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：4 勺1(a b 0),其中c2 a2 b2 ；a

2、b注意：在两种标准方程中，总有a>b> 0,并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示:22 1 或者 mx2+ny2=1。 m n223、椭圆：x2 冬 1(a b 0)的简单几何性质a2 b222(1)对称性：对于椭圆标准方程、之1(a b 0):是以x a b轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。(2)范围：椭圆上所有的点都位于直线x a和y b所围成的 矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 x | a " y | bo2 x-2 a2 y b21 (a b 0)与坐(3)顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点

3、称为 椭圆的顶点。椭圆标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A( a,0), A2(a,0), BK0, b) , B2(0,b) 0线段AA2, B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，| AA22a, B1B22b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长2c c(4)离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做 椭圆的离心率，用e表小，记作e 。2a a因为(a c 0),所以e的取值范围是(0 e 1)。e越接近1,则c就越接近a ,从而b Ja2 c2越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0, c就越接近0,从而b越接近于a ,这当且仅当a b时，c 0,这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为02

4、时椭圆就越接近于圆 x2y2 a。2PFiPF 2（提示：用三角函数假设P点的坐标PM 1PM 24、椭圆的另一个定义：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上臼-PFiIPF2图中有i; ee ePM1 I PM 2 I22225、椭圆x241与、1 （a b 0）的区别和联系 a ba b标准方程22、乌 1 (a b 0) a b22与31 (a b 0) a b图形y0,一.sJ4 bA此*性质隹百八、八、F1( c,0), F2(c,0)F1(0, c), F2(0,c)焦距| F1F22cF1F22c范围1 xa ,ybXb, |ya对称性关于x轴、y轴和原点对

5、称顶点(a,0) , (0, b)(0, a) , ( b,0)轴长长轴长=2a ,短轴长=2b离心率ce -(0 e 1) a准线方程2 ax c2 a yc焦半径PF1I a eX),IPF2aex0IPF1Ia e%, IPF2a ey)般而M：椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线；椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点；离心率确定了椭圆的形状（扁圆形状），当离心率越接近于0,椭圆越圆；当离心率越接近于1时，椭圆越扁。6 .直线与椭圆的位置关系1 .将直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆是否相交、相切或相离。

6、2 .消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根 之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础。7 .椭圆方程的求解方法1 .要学会运用待定系数法来求椭圆方程，即设法建立a,b或者e,c中的方程组，要善于抓2 2住条件列方程。先定型，再定量，当焦点位置不确定时，应设椭圆的标准方程为今、1a b22（ab0）或I'liabO）；或者不必考虑焦点的位置，直接把椭圆的标准方 a b22程设为:y- 1或者mx2+ny2=i （m 0,n 0,m n）,这样可以避免讨论及繁杂的计m n算，当已知椭圆上的两点坐标时这种解题更方便。但是需要注意的是m和n （或者）和

7、）谁代表a2,谁代表b2要分清。不要忘记隐含条件和m n222c方程，例如：a2 b2 c2, e一等等。不同的圆锥曲线有不同的隐含条件和方程，切勿弄a混。2.求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形分析，即使画不出图形，思考时也要联想图形，注意数形结合法的使用，切勿漏掉一种情况。【典型例题】1、椭圆的定义例1、已知F1（-8, 0）, F2（8, 0）,动点P满足|PF1|+|P冏=16,则点P的轨迹为（）A圆 B椭圆 C线段 D直线2、椭圆的标准方程例2、求满足以下条件的椭圆的标准方程（1）长轴长为10,短轴长为6; （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2, 1）; （3）经过点（5, 1）,

8、（3, 2）3、离心率22例3、椭圆、与 1（a b 0）的左右焦点分别是Fi、F2,过点Fi作x轴的垂线交椭圆于P a b点。若/FiPF2=60° ,则椭圆的离心率为 4、最值问题2例4、椭圆y21两焦点为Fi、F2,点P在椭圆上，则|PF1|PF2|的最大值为,最小4 值为5、直线和椭圆22例10、已知直线l:y=2x+m,椭圆C:） : 1 ,试问当m为何值时：（1）有两个不重合的公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点.双曲线、知识点讲解(1)双曲线的定义：平面内与两个定点 Fi,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 | F1F2 |)的点的轨迹。其中：两个定点叫

9、做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：|PFi| IPF2I 2a 与 IPF2I |PFi| 2a (2a | F1F2 |)表示双曲线的一支。2a | F1F2 |表示两条射线；2a | F1F2 |没有轨迹;(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质:中心在原点，焦点在X轴上中心在原点，焦点在y轴上标准力 程22xy,八、-2- -TT 1（a0, b 0）a b22yx4r1（a 0,b 0） ab图形3y2O*顶点A（ a,0）,A2（a,0）BK0, a）, B2（0,a）对称轴x轴，y轴；虚轴为2b,实轴为2a焦点F1（ c,0）,F2（c,0）F1（0, c）, F2（0,c

10、）焦距22,2IF1F2I 2c（c 0）c a b离心率e C(e 1)(离心率越大，开口越大) a渐近线b y - x aa y - xb通径2b2 a(3)双曲线的渐近线:_. 一 22. .一一 .一. .22求双曲线、y_ 1的渐近线，可令其右边的1为0,即得与与°,因式分解得到 a2 b2a b22oo与双曲线x2与i共渐近线的双曲线系方程是 与ya2b2a2b2(4)等轴双曲线为x2 y2 t2,其离心率为22 1.注意定义中“陷阱 问题1:已知Fi( 5,0), F2(5,0), 一曲线上的动点P到Fi,F2距离之差为6,则双曲线的方程为3 一、.2.注意焦点的位置：

11、问题2:双曲线的渐近线为y 3x,则离心率为2【典型例题】1.定义题：1 .某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是 1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的.21的左161,2,3关于y轴对称,22 .如图2所示，F为双曲线C:人9焦点，双曲线C上的点P与P7i i则 PF P2FP3F P4FP5FP6F 的值是（）A. 9 B. 16

12、C. 18D. 27223. P是双曲线I yr 1(a 0,b 0)左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c, a b则PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为(A) a(B) b(C)c(D) a b c2.求双曲线的标准方程221 .已知双曲线C与双曲线x_- 匕=1有公共焦点，且过点(3 22 , 2).求双曲线C的方程.1641.设P为双曲线x* 1 2L 1上的一点,12F1, F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:| PF2 | 3:2,则2 .已知双曲线的渐近线方程是y x ,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程 PF1F2 的面积为() A. 6石B. 12

13、C.12V3D. 245.求弦1 .双曲线x4.几何 y2 1的一弦中点为(2, 1),则此弦所在的直线方程为(A. y 2x 1 B. y 2x 2 C. y 2x 3 D. y 2x 3抛物线知识点1.抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线:在平面内；(2)动点到定点F距离与到定直线l的距离相等；(3)定点丕在定直线上.知识点2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2= 2 Px(p>0)y2= - 2px(p>0)x2= 2py(p>0)x2= 2py(p>0)p的几何意义：焦点 F到准线l的距离图形1(If末顶点O(0,0)对称轴y= 0x= 0焦点F殳

14、0F -p，0F 0, p2F 0, -2离心率e=准线方程x= - P2x= p x 2y=，y 2y， y 2范围x>0, yC Rx< 0, yC Ry>0, xC Ry<0, xC R开口方向向右向左向上向卜焦半径(其中P(xo, yo)|PF|=xo + p|PF|=- xo+2|PF|=y0+p|PF|=-y0+2【典型例题】例1设P是抛物线y2= 4x上的一个动点.(1)求点P到点A( 1,1)的距离与点P到直线x=- 1的距离之和的最小值;(2)若 B(3,2),求 |PB|十|PF| 的最小值.变式练习1.若点P到直线y=1的距离比它到点(0,3)的距

15、离小2,则点P的轨迹方程是 .(2)过抛物线 y2=4x的焦点作直线l交抛物线于 A, B两点，若线段 AB中点的横坐标为3,则|AB|等于变式练习2.(1)已知直线l过抛物线C的焦点，且与 C的对称轴垂直，l与C交于A, B两点，|AB|=12, P为C的准 线上一点，则4 ABP的面积为()A . 18 B . 24 C. 36 D . 48变式练习3.1.已知直线y= k(x + 2)(k>0)与抛物线C: y2=8x相交于A, B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|,求k的 值.【归纳总结】4个结论一一直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦

16、点的直线交抛物线于A, B两点，设 A(X1, y1)，B(x2, y2),则有以下结论：八2p(1)|AB|=x+x2+p或|AB|= 序"(a为AB所在直线的倾斜角)； sin ap2(2)xiX2=-；(3)y1y2=- p2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2P.3个注意点一一抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置 (或开口方向)判断是哪一种标准方程.(2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题.(3)直线与抛物线有一个交点，并不表

17、明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1.到两定点F1,F2的跑离之 和为定值2a(2a>|FiF2|)的点的 轨迹1.到两定点F1,F2的跑离之 差的绝对值为定值2a(0<2a<|FiF2|)的点的轨迹2.与定点和直线的跑离之比 为定值e的点的轨迹.(0<e<1)2.与定点和直线的跑离之 比为定值e的点的轨迹.(e>1)与定点和直线的距 离相等的点的轨 迹.方程标准 方程22x y，,一2 u21(a b>0)a b22x y1 (a>

18、0,b>0) a by2=2px参数 方程x a cosy bsin(参数为离心角)x asecy btan(参数为离心角)2x 2Pt (t为参 y 2 pt数)范围a x a, b y b|x| a, y Rx 0中心原点O (0, 0)原点O (0, 0)顶点r (a,0), ( a,0) (0,b) , (0, b)(a,0), ( a,0)(0,0)对称轴x轴,y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a,虚轴 长2b.x轴隹百 八、八、Fi(c,0), F2( c,0)F1(c,0), F2( c,0)F4,0)2焦距2c (c= <a2 b2 )2c (c=Ja2 b2 )离心率ce 一(0 e 1) ae (e 1) ae=1准线