总结材料力学、弹性力学、有限元三门课程解决问题的思路和步骤-指出其异同点

1、精品可编辑总结材料力学、弹性力学、有限元三门课程解决问题的思路和步骤，指出其异同点航天航空学院1334班 艾松 学号：4113006012名称材料力学弹性力学有限元英文名称Mecha nics of materialsTheory of elasticityFEA，Finite Element Analysis定义材料力学(Mechanicsof materials)弹性力学（Theory of elasticity，也称有限元法(FEA，Finite Element是研究工程结构中材料的强度和构件承载弹性理论）研究弹性体在荷载等外来因Analysis）的基本概念是用较简单的力、刚度、稳定的学

2、科。研究材料在各种外素作用下所产生的应力、应变、位移和问题代替复杂问题后再求解。它将求力作用下产生的应变、应力、强度、刚度、稳定性的学科。主要研究弹性体在外力解域看成是由许多称为有限元的小稳定和导致各种材料破坏的极限。材料力学作用或温度变化等外界因素下所产生的互连子域组成，对每一单元假定一与理论力学、结构力学并称三大力学。的应力、应变和位移，从而解决结构或个合适的（较简单的）近似解，然后机械设计中所提出的强度和刚度问题。推导求解这个域总的满足条件（如结是材料力学、结构力学、塑性力学和某构的平衡条件），从而得到问题的解。些交叉学科的基础。这个解不是准确解，而是近似解。由于大多数实际问题难以得到准

3、确解，精品可编辑而有限元不仅计算精度高，而且能适 应各种复杂形状，因而成为行之有效 的工程分析手段。研究对象材料力学基本上只研究杆状构件。弹性力学研究包括杆状构件在内连续体、离散体、混合系统/结的各种形状的弹性体。构，包括杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑性体。研究内容在人们运用材料进行建筑、工业生产的弹性力学研究和所依据的基本规杆、梁、板、壳、块体等各类单元构过程中，需要对材料的实际承受能力和内部律有二个：变形连续规律、应力-应变成的弹性（线性和非线性）、弹塑性变化进行研究，这就催生了材料力学。运用关系和运动（或平衡）规律，它们有时被或塑性问题（包括静力和动

4、力问题）。材料力学知识可以分析材料的强度、刚度和称为弹性力学三大基本规律。弹性力学能求解各类场分布问题（流体场、温稳定性。材料力学还用于机械设计使材料在中许多定理、公式和结论等，都可以从度场、电磁场等的稳态和瞬态问题），相同的强度下可以减少材料用量，优化结构三大基本规律推导出来。水流管路、电路、润滑、噪声以及固设计，以达到降低成本、减轻重量等目的。连续变形规律是指弹性力学在考体、流体、温度相互作用的冋题。精品可编辑在材料力学中，将研究对象被看作均虑物体的变形时，只考虑经过连续变形精品可编辑匀、连续且具有各向同性的线性弹性物体。 但在实际研究中不可能会有符合这些条件 的材料，所以须要各种理论与实

5、际方法对材 料进行实验比较。材料力学研究内容包括两大部分：一部分是 材料的力学性能（或称机械性能）的研究， 而且也是固体力学其他分支的计算中必不 可缺少的依据；另一部分是对杆件进行力学 分析。杆件按受力和变形可分为拉杆、压杆（见柱和拱）、受弯曲（有时还应考虑剪切） 的梁和受扭转的轴等几大类。杆中的内力有 轴力、剪力、弯矩和扭矩。杆的变形可分为 伸长、缩短、挠曲和扭转。后仍为连续的物体，如果物体中本来就 有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。这里主要使用数学中的几何方程和位 移边界条件等方面的知识。数学弹性力学的典型问题主要有 一般性理论、柱体扭转和弯曲、平面冋 题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形

6、等方面。在近代，经典的弹性理论得到了新 的发展。例如，把切应力的成对性发展 为极性物质弹性力学；把协调方程（保 证物体变形后连续，各应变分量必须满 足的关系）发展为非协调弹性力学；推 广胡克定律，除机械运动本身外，还考 虑其他运动形式和各种材科的物理方精品可编辑程称为本构方程。对于弹性体的某一点 的本构方程，除考虑该点本身外还要考 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为 非局部弹性力学等。虽然弹性力学和材料力学都研究 杆状构件，但前者所获得的结果是比较 精确的。解决问根据胡克定律（Hookes law），在弹性求解一个弹性力学问题，就是设法有限元方法（FEM）的理论基础题的思限度内，材料的应力与应

7、变成线性关系。确定弹性体中各点的位移、应变和应力是变分原理和加权余量法。仍然遵路和步在处理具体的杆件问题时，根据材料性共15个函数。从理论上讲，只有15从平衡方程、几何方程、本构方程、骤（基本质和变形情况的不同，可将问题分为三类：个函数全部确定后，问题才算解决。但协调方程，其解满足应力边界条件、方程）线弹性冋题。在杆变形很小，而且材在各种实际问题中，起主要作用的常常位移边界条件。料服从胡克疋律的刖提下，对杆列出的所有只是其中的几个函数，有时甚至只是物其基本求解思想是把计算域划方程都是线性方程，相应的问题就称为线性体的某些部位的某几个函数。所以常常分为有限个互不重叠的单元，在每个问题。对这类问题

8、可使用叠加原理，即为求用实验和数学相结合的方法，就可求单兀内，选择一些合适的节点作为求精品可编辑解。直角坐标系下的弹性力学的基本方程为：瓯，莎十眶一丽，一豆十茹a粧9y J几何方程（2）解函数的插值点，将微分方程中的变 量改写成由各变量或其导数的节点 值与所选用的插值函数组成的线性 表达式，借助于变分原理或加权余量 法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成 不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力 学，后来随着计算机的发展慢慢用于 流体力学的数值模拟。在有限元方法 中，把计算域离散剖分为有限个互不 重叠且相互连接的单元，在每个单元 内选择基函数，用单元基函数的线形 组

9、合来逼近单元中的真解，整个计算 域上总体的基函数可以看为由每个杆件在多种外力共同作用下的变形（或内力），可先分别求出各外力单独作用下杆件的变形（或内力），然后将这些变形（或内力）叠加，从而得到最终结果。2几何非线性问题。若杆件变形较大，就不能在原有几何形状的基础上分析力的 平衡，而应在变形后的几何形状的基础上进 行分析。这样，力和变形之间就会出现非线性关系，这类问题称为几何非线性问题。3物理非线性问题。在这类问题中，材 料内的变形和内力之间（如应变和应力之间）不满足线性关系，即材料不服从胡克定 律。在几何非线性问题和物理非线性问题中，叠加原理失效。解决这类问题可利用卡 氏第一定理、克罗蒂-恩盖

10、塞定理或采用单平衡微分方程（1）精品可编辑位载荷法等。在许多工程结构中， 杆件往往在复杂载 荷的作用或复杂环境的影响下发生破坏。例 如，杆件在交变载荷作用下发生疲劳破坏，在高温恒载条件下因蠕变而破坏，或受高速 动载荷的冲击而破坏等。这些破坏是使机械 和工程结构丧失工作能力的主要原因。所 以，材料力学还研究材料的疲劳性能、蠕变 性能和冲击性能。材料力学基本公式(解决问题方法)：) ) )2(1+ 4 一仏2(1十巧Txz=Tzx、Txy为应力分量，X、Y、Z为单位体积的体力在三个坐标方向的分量；(2)式中的u、v、w为位移 矢量的三个分量(简称位移分量)，xy、&Z、丫yz、丫为应变分量

11、y (3)式中的E和v分别表示杨氏弹性模 量和泊松比。拉压：maxNAmaxQ剪切：maxA挤压：挤压P挤压A挤压单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 根据所采用的权函数和 插值函数的不同，有限元方法也分为 多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法 和伽辽金法，从计算单元网格的形状Tzy、物理方程(3)(1)式中的(T x、y、Z、Tyz=来划分，有三角形网划分，又分为线性插值函数和高次插 值函数等。不同的组合同样构成不同 的有限元计算格式。对于权函数，伽 辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼 近函数中的基函数；最小二乘法是令在物

12、体的表面，如已知面力，则边权函数等于余量本身,而内积的极小、应力与强度条件5 =巫丁# -卩(口工十巧 金-%精品可编辑圆轴扭转:平面弯曲:T_Wt斜弯曲:maxt maxcmaxmaxMWzMImaxmaxyt maxzMmax.ycmax1zQmaxSZ maxIzbmax拉（压）弯组合:max圆轴弯扭组合:t maxcnaxt maxcmaxN MAWz maxtc第三强度理论r3JMWM；Wz第四强度理论2 2：_2 c 2 Mw0.75Mnr4 / w3nWz界条件表示为：去=6f卄片犧WF 斗 为亠g 哥昭丘二 7十唁丿3十冬巴边界条件（4）（4）式中的X、Y、Z表示作 用在物体表

13、面的单位面积上的面力矢 量的三个分量，I、m、n表示物体表面 外法线的三个方向余弦。如物体表面位移u、V、w已知，则边界条件表示为u=u、v= V、w= w（5）因此，弹性力学问题归结为在给定 的边界条件下求解一组偏微分方程的 问题。主要解方程（1）、（2）、（3）中有15值则为对代求系数的平方误差最小； 在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个 配置点上严格满足微分方程，即在配 置点上令方程余量为0。插值函数一 般由不同次幕的多项式组成，但也有 采用三角函数或指数函数组成的乘 积表示，但最常用的多项式插值函 数。有限元插值函数分为两大类，一 类只要求插值多项式本身在插值点

14、 取已知值，称为拉格朗日（Lagrange）多项式插值；另一种不仅要求插值多 项式本身，还要求它的导数值在插值 点取已知值，称为哈密特（Hermite）精品可编辑二、变形及刚度条件拉压.LNLNjLjN(x)dxEAEALEA扭转：TLTiLi TxdXGIpGIpGIpT 180L GIp弯曲：积分法：Ely (x) M (x)EIy(x) EI (x)M (x)dx CEIy(x) M (x)dxdx Cx D(2)叠加法：f R, P2= f Pif P2+P1, F2= PiF2三、应力状态与强度理论二向应力状态斜截面应力：xyxy-cos 2-xysin 2 2 2xyxy-sin

15、2xycos22xy二向应力状态极值正应力及所在截面方位角：个变量，15个方程，在给定了边界条 件后，从理论上讲应能求解。但由(2)、(3)式可见，应变分量、应力分量和位 移分量之间不是彼此独立的，因此求解 弹性力学问题通常有两条途径。其一、 是以位移作为基本变量，归结为在给定 的边界条件下求解以位移表示的平衡 微分方程，这个方程可以从(1)、(2)、式中消去应变分量和应力分量而得 至叽其二、是以应力作为基本变量，应 力分量除了要满足平衡微分方程和静 力边界条件外，为保证物体变形的连续 性，对应的应变分量还须满足相容方 程：多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角 坐标系和无因次自然坐标， 有对称和

16、不对称等。常采用的无因次坐标是一 种局部坐标系，它的定义取决于单元 的几何形状，一维看作长度比，二维 看作面积比，三维看作体积比。在二 维有限元中，三角形单元应用的最 早，近来四边形等参元的应用也越来越广。 对于二维三角形和四边形电源 单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性 插值函数及二阶或更高阶插值函数、 面积坐标系中的线性插值函数、二阶 或更咼阶插值函数等。对于有限兀方法，其基 本思路精品可编辑maxminx ytg2o二向应力状态的极值剪应力:也护叱一代3：W妒程 2max2xy三向应力状态的主应力:1最大剪应力:2313max2相容方程(6)3 缶二向应力状态

17、的广义胡克定律:这组方程由几何方程消去位移分(1)、表达形式之一(用应力表示应变)yE( xE( xy)x)y)xyxyG(2)、表达形式之二(用应变表示应力)Er(xJ(2 yy)x)量而得到。对于不少具体问题，上述方 程还可以简化。在弹性力学中，为克服求解偏微分 方程(或方程组)的困难，通常采用试凑 法，即根据物体形状的几何特性和受载 情况，去试凑位移分量或应力分量；由 弹性力学解的唯一性定理，只要所试凑 的量满足全部方程和全部边界条件，即和解题步骤可归纳为：(1)建立积分方程， 根据变分原理 或方程余量与权函数正交化原理，建 立与微分方程初边值问题等价的积 分表达式，这是有限元法的出发点

18、。(2)区域单元剖分，根据求解区 域的形状及实际问题的物理特点，将 区域剖分为若干相互连接、不重叠的 单元。区域单元划分是采用有限元方 法的前期准备工作，这部分工作量比 较大，除了给计算单元和节点进行编 号和确定相互之间的关系之外，还要 表示节点的位置坐标，同时还需要列 出自然边界和本质边界的节点序号 和相应的边界值。精品可编辑精品可编辑xyGxy三向应力状态的广义胡克定律：1x百xyzX, y, Zxyxy =xy, yz, zxG强度理论（1）r111r2123bnb（2）r313|1 2 2 2r4I：1223312s平面应力状态下的应变分析（1）-cos2且sin22 2 2xyxys

19、in 2cos 22 2 22 2（2）maxxyxyxy_min2V22xytg2oxy为问题的精确解。从数学观点来看，弹性力学方程的 疋解冋题可变为求泛函的极值冋题。 例 女口，对于用位移作为基本变量求解的问 题，又可以归结为求解变分方程：sn仁o(7)ni是物体的总势能，它是一切满 足位移边界条件的位移的泛函。对于稳 定平衡状态，精确的位移将使总势能ni取最小值的称为最小势能原理。又 如对于用应力作为基本变量求解的冋 题，可归结为求解变分方程：sn2=0(8)n2为物体的总余能，它是一切满 足平衡微分方程和静力边界条件的应(3)确定单元基函数，根据单元 中节点数目及对近似解精度的要求，

20、选择满足一定插值条件的插值函数 作为单元基函数。有限元方法中的基 函数是在单元中选取的，由于各单元 具有规则的几何形状，在选取基函数 时可遵循一定的法则。(4)单元分析：将各个单元中的 求解函数用单元基函数的线性组合 表达式进行逼近；再将近似函数代入 积分方程，并对单元区域进行积分， 可获得含有待定系数(即单元中各节 点的参数值)的代数方程组，称为单 元有限元方程。(5)总体合成：在得出单元有限精品可编辑力分量的泛函。精确的应力分量将使总 余能n2取最小值的称为最小余能原 理。（7）式等价于用位移表示的平衡微 分方程和静力边界条件，而（8）式则等 价于用应力表示的相容方程。在求问题 的近似解时，上述泛函的极值问题又进 而变为函数的极值问题，最后归结为求 解线性非齐次代数方程组。还