力学2-加速度质点运动学求解课件

1、2022-1-231力学力学2-加速度质点运动学求解加速度质点运动学求解在直角坐标系中可写成：在直角坐标系中可写成：xyzora直角坐标系直角坐标系(A)jik分别是分别是x、y、z方方向的单位矢量向的单位矢量ijkrxiyjzkkjizyxkajaiaazyx大小大小222zyx222zyxaaaa2022-1-232力学力学2-加速度质点运动学求解加速度质点运动学求解由基本关系式由基本关系式rattvvddddxyzxyztttvvvdddddd222222ddddddddddddyxzxyzxyzaaattttttvvv有：有：比较比较(A)(B)两组式子，有：两组式子，有：(B)ddd

2、dddxyzijktttddddddyxzaijkttt思考：思考：(B)式中为式中为什么没有什么没有出现出现dditddjtddkt2022-1-233力学力学2-加速度质点运动学求解加速度质点运动学求解总结总结三个基本量三个基本量ra从不同方面描写同一质点从不同方面描写同一质点运动的规律。三者之间有着密切的联系：运动的规律。三者之间有着密切的联系：1、相同点、相同点a) 均为矢量（方向性）均为矢量（方向性）b) 均为时间均为时间t 的函数（瞬时性）的函数（瞬时性）c) 在不同的参照系中，各矢量的大小方向不同（相对性）在不同的参照系中，各矢量的大小方向不同（相对性）2、联系、联系从数学上看是

3、微分与积分的关系从数学上看是微分与积分的关系ra微分法微分法积分法积分法微分法微分法积分法积分法ra第一类问题（微分法）第一类问题（微分法）第二类问题（积分法）第二类问题（积分法）ar2022-1-234力学力学2-加速度质点运动学求解加速度质点运动学求解解解等式两端分别积分：等式两端分别积分：首先判断质点作什么运动？首先判断质点作什么运动？例例已知质点沿已知质点沿x轴运动，轴运动，t =0 时，质点在原点时，质点在原点212m s,t 右方右方2m处。处。 求求：(1) 质点在质点在t=2s时的加速度；时的加速度；(2) t=2s时，质点的位置。时，质点的位置。初速度不为零的变加速直线运动初

4、速度不为零的变加速直线运动(1)a微分法微分法22d48 m sdtatt(2)x积分法积分法由定义：由定义：2d12dxtt 分离变量2d(12 )dxtttx023322ttx 32229.33 m3txtt 2022-1-235力学力学2-加速度质点运动学求解加速度质点运动学求解例例质点沿质点沿x轴运动，加速度轴运动，加速度2at，已知，已知t0时，质点的位置时，质点的位置00 x 00坐标坐标，速度，速度，试求，试求t2s时质点的速度和位置。时质点的速度和位置。解解 a2t 是变量，是变量， 不能用匀变速直线运动公式不能用匀变速直线运动公式ax积分法积分法(1) 由定义：由定义： 分离

5、分离变量变量 积分初始值（下限）由初始条件确定积分初始值（下限）由初始条件确定d2dattd2 dt tt00224 m stt(2) 由定义：由定义： 2ddxtt2ddxtttx003218m2.67 m33txt 等式两边积分变量的积分限一一对应等式两边积分变量的积分限一一对应注意注意2022-1-236力学力学2-加速度质点运动学求解加速度质点运动学求解例例ax已知质点匀加速直线运动，已知质点匀加速直线运动，a为常数，为常数，t0时时0 xx，0，求质点的速度方程和运动方程。，求质点的速度方程和运动方程。解解由题意由题意积分法积分法（t为参变量）为参变量）（速度方程）（速度方程）由定义

6、：由定义：ddatdda t00tat0由定义：由定义：ddxt0dd()dxtatt000 xttx20021attxx（运动方程）（运动方程）若变换初始条件若变换初始条件:已知已知x0时，时，0，求，求x2m处，处，?解解（x为参变量）为参变量）由定义：由定义：ddatdxdxd dda x 00 x)(21202axaaxx422022022022-1-237力学力学2-加速度质点运动学求解加速度质点运动学求解 方向：沿切向（方向：沿切向（ ） 大小：大小：ddst 设质点作曲线运动，且轨迹已知，则设质点作曲线运动，且轨迹已知，则选参考点和正方向即可建立自然坐标。运选参考点和正方向即可建

7、立自然坐标。运动方程为：动方程为：（用自然坐标（用自然坐标 s 表示质点位置）表示质点位置）OSnnn： 长度为长度为1，沿切向指向运动方向，沿切向指向运动方向： 长度为长度为1，沿法向指向凹的一侧，沿法向指向凹的一侧)(tss ddst2022-1-238力学力学2-加速度质点运动学求解加速度质点运动学求解用以描述速度随时间用以描述速度随时间 t 变化的规律变化的规律naaa法向加速度法向加速度切向加速度切向加速度( ) t v()tt vv大小变化大小变化方向变化方向变化1、匀速圆周运动、匀速圆周运动（速度大小不变方向变）（速度大小不变方向变）oR( ) t()tt ( ) t()ttRr

8、200limlimttrattRR （沿法向）（沿法向）nRa22022-1-239力学力学2-加速度质点运动学求解加速度质点运动学求解2、变速圆周运动、变速圆周运动OR()tt( ) t()ttn( ) tn将将分解为两个分量分解为两个分量 按照加速度的矢量定义，加速度既应反映速按照加速度的矢量定义，加速度既应反映速度大小的变化率，又应反映速度方向的变化率。度大小的变化率，又应反映速度方向的变化率。000limlimlimntttattt aaan法向加速度法向加速度2ddnnantRddddatt切向加速度切向加速度dtdnR22022-1-2310力学力学2-加速度质点运动学求解加速度质

9、点运动学求解3、一般曲线运动、一般曲线运动 在一般曲线运动中，速度方向在一般曲线运动中，速度方向 变化快慢与轨道形状有关，变化快慢与轨道形状有关，显然，轨道弯曲越厉害，速度方向变化越快。显然，轨道弯曲越厉害，速度方向变化越快。如何描述曲线弯曲的程度？如何描述曲线弯曲的程度？ABPABABAB曲率半径曲率半径 Rnn2ddnnatddtddat（指向曲率中心）（指向曲率中心）（沿切向）（沿切向）2022-1-2311力学力学2-加速度质点运动学求解加速度质点运动学求解讨论讨论 1) 切向加速度切向加速度 a沿切线，沿切线，na法向加速度法向加速度 指向曲率中心，指向曲率中心，质点总加速度质点总加

10、速度 永指向曲线凹向的一侧。永指向曲线凹向的一侧。a2) 注意注意ddtddtddt的区别的区别aaa3) 自然坐标系中自然坐标系中sa微分法微分法积分法积分法微分法微分法积分法积分法例例 抛体运动：求抛体运动：求A、B两点的曲率。两点的曲率。Oxy 0v 解解 由题意：由题意：A点：点：naagcos02B点：点：ga 220cosgcosgan202cos20gBAgg2022-1-2312力学力学2-加速度质点运动学求解加速度质点运动学求解例例一汽车在半径一汽车在半径R=200m 的圆弧形公路上行驶，其运动学方的圆弧形公路上行驶，其运动学方tts4 . 020ddv根据速度和加速度的表示

11、形式，有根据速度和加速度的表示形式，有4 . 0ddtav92. 14 . 02022R)t(Ranv222292. 14 . 0naaa119.6 m/st21.44 m/s汽车在汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度时的速度和加速度。求求解解4 . 092. 1na自然坐标中自然坐标中（第一类问题）（第一类问题） 微分法微分法（t为变量）为变量）as程为程为s =20t - 0.2 t 2 (SI) .2022-1-2313力学力学2-加速度质点运动学求解加速度质点运动学求解例例质点作圆周运动，质点作圆周运动，R3m。已知。已知23 m sa，t0时质点时质点在在O点，点，00求求1)

12、t=1s时，速度和加速度？时，速度和加速度？2) 第二秒内质点通过的路程？第二秒内质点通过的路程？解解sa 积分法（积分法（t为变量）为变量）1) 由定义：由定义：d3datt 313m st3392Ran33 naaan2) 由定义：由定义：d3dsttd3 dst t2121ss2tsss2312214.5 m（第二类问题）（第二类问题）2022-1-2314力学力学2-加速度质点运动学求解加速度质点运动学求解例例xy 平面内有一质点，运动方程为（坐标法）：平面内有一质点，运动方程为（坐标法）：2103xtyt 求求ana解解 由题意由题意aj yi xrddrtji t320ddati2094009)20(22ttddat94004009400280022tttt94006094001600400222ttt22aaanjtit31022022-1-2315力学力学2-加速度质点运动学求解加速度质点运动学求解将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿钢丝向下滑动。已知质点运动的切向加速度为钢丝向下